撰文：Robbert Dijkgraaf
翻译：赵昌昊
审校：吴非
在我们的印象中，数学似乎总是自带高贵的气质，它所追寻的都是一些永恒的真理。然而其实数学的发展也是因势利导的结果，许多数学概念的起源都与日常生活经验相关。例如，占星术、建筑学的发展，启发古埃及人和古巴比伦人研究几何学；在17世纪的科学革命中，力学的发展则带来了微积分。
在量子理论当中，尽管基本粒子与我们的日常经验无关，但物理学与数学之间的手足情谊，在此表现得尤为热切。量子世界中有许多奇怪的现象，比如一个物体可以同时存在于两个不同的位置，其演化则遵循概率规则。与经典物理相比，这些违背直觉的性质其实更接近大自然的本质，同时也为现代数学的发展提供了广阔的平台。于是我们不禁遐想，一旦我们完全理解、接受了量子理论，那么量子理论的内在逻辑结构是否有可能开启一个全新的“量子数学”研究领域呢？
数学与物理之间的亲密关系由来已久。伽利略曾道：“宇宙是一部鸿篇巨著，记载了所有的知识与智慧，随时可供人类阅读。然而，唯有识得书中文字，方能理解其奥义，而这部巨著恰恰是用数学的语言写就。”若将眼光放在现代，费曼亦有言：“一个人如果不懂数学，那就很难体会到大自然最深层次的美……如果你想要认识自然，欣赏她的美，那就必须要通晓她的语言。”（费曼还曾说过：“如果数学突然消失，那么物理学将倒退整整一星期。”对此，一位数学家机智作解：“这正是上帝创世的那一个星期。”）
数学物理学家、诺贝尔奖得主尤金·维格纳曾经盛赞，数学描述客观世界的能力惊人，“它应用于自然科学时的有效性简直‘不科学’”，同一个数学概念竟然可以应用于大量不同的具体研究问题当中。然而，随着量子理论开始在现代数学研究中发挥难以估量的推动作用，我们正在目睹情况发生反转。粒子物理中的概念，尤其是弦理论，似乎与大量不同的数学研究领域有着奇特的关联。不管弦理论最终能否在物理学体系中站稳脚跟，它都对于数学产生了深远的影响，它与分析学、几何学、代数学、拓扑学、表象理论、组合数学、概率论等一些列令人眼花缭乱的数学领域都有关联。想到数学系的学生要学这么多东西，不禁为他们心疼1秒钟。
那么，量子理论对于数学如此有用，背后是否有什么深层次原因？在笔者看来，这或许是源于量子世界的另一个有悖常理的特征：所有可能发生的情况，都确实会发生。
简单来说，经典力学所做的，是计算一个粒子如何从A点运动到B点。例如，实际的运动轨迹可能是一条测地线，即曲面上连接两点的最短曲线。而在量子力学中，我们则需要把从A到B所有可能的路径都考虑在内，甚至包括像耳机线一样纠结缠绕的路径。这就是费曼著名的“历史求和”思想。根据物理定律，每一条可能的路径都有一定的权重，代表其可能发生的概率。而经典的牛顿运动定律给出的结果，正是所有路径中可能性最大的那一条。因此，量子物理是将所有的路径视为一个带权的系综，让我们能够通过求和的方式将所有的可能性都考虑在内。
“历史求和”其实是一种全局思想，一次性处理了所有可能的情况。这与现代数学的精神不谋而合，例如数学家在研究对象的“类”时，更多关注的是对象之间的关系而非单个对象。正是量子理论的这种高屋建瓴的大局观，引发了数学与物理之间的又一次联姻。
以弦理论中的“镜像对称”为例，它涉及不同空间之间奇特的等价性，在带来几何学革命的同时，也充分体现出量子物理的魔力。故事要从枚举几何学（enumerative geometry）讲起——这是代数几何学的一个发展成熟的分支，用于计数几何问题的解的个数。在弦理论中，时空维度可能是十维甚至更高，而我们可以借助六维的卡拉比-丘成桐空间（Calabi-Yau spaces）来隐藏额外的时空维度。若将爱因斯坦引力方程应用于六维卡-丘空间，那么其几何解将是六维空间中的曲线。现在我们关心的是，如何计数这些曲线的个数？
在三维空间中，我们可以将一根绳子在圆柱上绕很多圈；在卡-丘空间中，相应也有一个名为“度”（degree）的参量，取值为整数，用来描述曲线盘绕的程度。计算一定度数的曲线的个数非常困难，即便是在最简单的卡-丘空间——所谓的五次空间（quintic）当中也是如此。早在19世纪，数学家用经典方法算出，1度曲线共有2875种；2度曲线的结果则在1980年前后才计算出来，共有609 250种；而要想计算3度曲线的数目，就只能求助于弦理论科学家了。
大约在1990年，一个弦理论科学家团队请几何学家来计算3度曲线的数目。几何学家编写了复杂的计算机程序，最终得到了一个结果，但弦理论家觉得这个结果有问题，可能是代码中出现了错误。经过仔细检查，最终确认代码确实有误——可是弦理论家究竟是怎么知道的？
事实上，弦理论家一直在尝试把这个几何学问题转化成物理问题。在此过程中，他们已经研究出了一套可以一次性计算出所有度数曲线的数目的方法。此结果一出，数学界便炸开了锅。这就像是找到了一种同时攀登所有山峰的方法，而不论这些山峰有多高。
在量子理论中，将所有度数曲线的个数融合进一个单独的函数，这是一种自然而然的优雅，有着明确的物理含义。我们可以将这个函数视为一根弦在卡-丘空间中传播的概率幅，并应用“历史求和”原理。弦在运动的过程中，同时探测到了所有可能的曲线，涉及所有可能的度数，因此它是一个效率超高的“量子计算器”。
不过，要想求出具体的解，还需要借助“镜像”卡-丘空间。真实的镜子可以呈现与现实世界完全对称的影像，而镜像卡-丘空间则没那么简单：镜像空间与原空间的形状差别很大，甚至连拓扑结构也不同。但在量子领域内，它们之间有很多相同点，而我们所关心的弦在其中的运动方式恰恰是完全相同的。因此，原空间中复杂的计算就能够在镜像空间中大大简化，只需要一个积分就能够完成。搞定！
镜像对称诠释了量子物理的一个显著特征，即二象性（duality）：两个不同的经典模型，如果放在量子框架内考虑，竟能够等价，仿佛是被施了魔法，两者之间的差异突然消失。二象性的存在，表明量子物理具有某种深刻而隐秘的对称性。通常，我们对二象性的理解都很有限，这意味着目前的量子理论还远非完善。
最早也最著名的例子，当属“波粒二象性”。波粒二象性是指，对于任何量子物体，比如电子，我们可以视之为粒子，也可以视之为波。两种视角有各自的优势，能够为同一种物理现象提供不同的理解方式。我们究竟应该把电子视为粒子还是波，并不取决于电子本身的性质，而是取决于我们提出问题的方式。与此类似，弦理论中的镜像对称，也为“量子几何学”提供了两种等价而均为有效的视角。
数学具有连接不同世界的奇妙能力。在任何一个公式中，最容易被忽视的部分正是那个低调却又不可或缺的“等号”。等号就像脑海中闪现的灵光，沟通了等式两边的智慧。爱因斯坦绝对是运用等号的高人。他所提出的质能方程 E = mc2，无疑是人类历史上最著名的等式，其优雅无论怎样夸赞都不为过。这个方程宣布，质量与能量，这两种在狭义相对论之前各自独立的物理概念，其实完全等价；质量可以转化为能量，而能量也可以转化为质量。后来，爱因斯坦进一步建立了广义相对论方程，它或许不如前者那么醒目而著名，但它将几何学与物质联系在一起，这一结果同样惊艳。简单来说，广义相对论方程表明，物质会影响时空的弯曲，而时空则影响物质的运动。
镜像对称，是另一个展现等号之强大力量的绝佳案例。它连接了两个不同的数学世界：一个是辛几何，它是数学的一个分支，构成了力学的主要基础；另一个则是代数几何，它涉及复数。现在，量子物理沟通了这两个数学领域，意外地促成了一次数学界的“大统一”。
学科之间能形成如此亲密的关系，确实令人欣慰。数学的发展正受益于量子物理与弦理论，并将其中粗糙的物理直觉转化为严谨的命题与证明。目前，数学家已经接近于完成对同调镜像对称（homological mirror symmetry）的严格证明，该理论是对弦理论中原始的镜像对称理论的大幅度扩展。打个比方，这就相当于为两个数学世界中的所有对象以及对象之间的关系编纂一部互译词典。当然，这些数学证明往往不会沿用物理论证的思路（数学家可不是给物理学家擦屁股的！），反而需要摸索全新的路径来完成证明。这进一步表明，量子理论与客观现实之间有着某种深层次且仍不为人所知的内在逻辑。
“互补性”是量子力学中的一个重要原理，以玻尔为首的哥本哈根学派便是该观念的忠实拥趸。在量子力学中，利用海森堡不确定性原理可以证明，任何一个系统都不可能同时具有确定的动量和确定的位置坐标。1926年10月19日，泡利在一封写给海森堡的信中巧妙地总结道：“这就仿佛我们有两只眼睛，一只眼睛可以观测动量，另一只眼睛可以观测位置坐标，但如果我们同时睁开两只眼，那就该精神分裂了。”在这种不确定现象的基础上，玻尔提出了互补性原理：动量能够反映物理系统的部分特征，位置坐标能够反映物理系统的另一些特征，两者是互补的；但我们没法同时获知系统全部的特征，具体得到什么样的结果，将取决于我们的观测方式。
晚年，玻尔努力将互补性原理推广为更普适的哲学命题，他最喜欢的一对互补关系就是“真实”与“清晰”。或许，数学的严谨与物理的直觉也可以构成科学研究中的一个互补对。我们可以用数学的眼睛来审视世界，也可以用物理的眼睛来看，不过现在，恐怕我们还没有足够的勇气把两只眼睛全部睁开。
原文链接：https://www.quantamagazine.org/20170330-how-quantum-theory-is-inspiring-new-math/
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