今天是2024年的感恩节，终于得以有时间整理思绪，回顾总结今年的《计算共形几何》的教学。自暑期以来，受丘成桐先生的嘱托，笔者一直坚持讲解计算共形几何课程，与往年相比，今年的课程增加了三维流形的基本理论与计算，同时也兼顾了最优传输的理论。
从很多方面而言，2024年将是历史的一个转折点：以ChatGPT为代表的生成式AI正在颠覆着很多传统领域，而AI的理论基础之一就是最优传输。同时，近期以来Cadence花费$40亿收购BetaCAE，Synopsys以$350亿收购Ansys，西门子以$106亿收购Altair，这意味着工业软件世界格局正在发生剧变，CAD/CAE领域将迎来产业革命。工业的发展对现代几何的计算理论和方法提出了更高的要求。
在传统的CAE领域中，物理定律由各种偏微分方程来描述，为了模拟仿真多物理场，人们发明了有限元方法。基于传统CAD方法设计的形状不能过于复杂，否则无法用数控机床进行机械加工。近些年来，依随3D打印技术的发展，增材制造日益成熟，以前无法加工的复杂形状也可以被生产出来，这促使拓扑优化等方法迅猛发展。复杂拓扑几何曲面、实体的表达成为CAD领域的核心问题，基于物理的形状优化也成为模拟仿真的重要课题之一。形状优化，几何设计等问题往往归结为求解非常复杂的非线性几何偏微分方程，传统的有限元方法无能为力。计算共形几何基于丘先生创立的几何分析理论，专门求解与拓扑几何相关的非线性偏微分方程，从而为现代CAD/CAE提供了强有力的计算工具。
共形几何是曲面微分几何、代数拓扑、黎曼面理论、几何偏微分方程、代数曲线等很多数学理论的交汇点，也是对现代数学理论登堂入室的起点。深入透彻理解共形几何，在纯粹数学层面会带来强烈的审美体验，在工程实践层面更会掌握强大的计算方法。下面我们挂一漏万地简述一下课程中的几个关键定理及其计算方法，大家可以体会一下理论的优美和算法的潜力。
黎曼面理论中的单值化定理本质上是说任何带有黎曼度量的曲面，最终都可以经过共形变换（保角变换）映射到三种标准曲面中的一种：球面，欧氏平面或者双曲圆盘。这意味着“降维打击”，即所有三维曲面上的几何问题都可以在平面上进行处理，从而简化计算。更为一般的，任意给定带有黎曼度量的曲面（生活中的所有表面），给定目标高斯曲率，都存在唯一的黎曼度量实现给定的曲率，同时与初始度量共形等价。这意味着我们可以用高斯曲率完全控制黎曼度量，从而找到最佳形状。
图1. 黎曼面单值化定理。
单值化定理的计算归结为求解非线性的Yamabe方程，目前的有限元方法无法求解，唯一真正能够计算的方法就是离散里奇流方法。里奇流方法由Hamilton先生发明，用于证明三维流形的Poincare猜想，最终由Perelman完成。里奇流依随曲率变化黎曼度量，变化速度正比于当前的里奇曲率，使得曲率遵循非线性扩散演化，最终成为常值。依赖于流形的拓扑，里奇流有可能在有限时间之内，在某些点出现曲率爆破现象，这些需要对流形进行拓扑手术，分割后的每个连通分支继续流下去，直至最后收敛。
在实际情形，所有曲面都表示成三角剖分，黎曼度量、高斯曲率、共形变化这些基本概念需要被离散化。Perelman发现Hamilton提出的里奇流是所谓熵能量的梯度流。我们提出了离散熵能量的定义，从而将离散里奇流归结为离散熵能量的优化。而这个离散熵能量是某个凸三维双曲流形的体积，并且这个能量与经典的Hilbert-Einstein作用一脉相承。离散里奇流过程中的拓扑手术确保曲面三角剖分的Delaunay性质，从而确保双曲三流形的凸性，而双曲三流形的凸性保证Alexandrov刚性（即边界曲面的黎曼度量决定三流形内部的双曲度量）。
与工程领域中的大量算法相比，里奇流方法具有严格的理论基础（解的存在唯一性、适定性有理论保证），广泛的普适性（适用于任意拓扑和几何），强大的鲁棒性（对三角网格质量没有任何要求），并且是目前唯一的方法可以通过曲率来设计黎曼度量。相信里奇流的理论和实际意义必将超越时代。
所有现代几何教材的第一个定义就是流形，而现代CAD领域中最为困难的核心问题就是流形的表达，这显示了理论和实践之间的巨大落差。很多纯粹数学中不成为问题的问题，在应用中却是难以逾越的天堑。这个问题的本质在于CAD领域中所有的形状都是用NURBS样条来表达，而样条的构造依赖于曲面的仿射几何结构，而拓扑复杂的曲面上没有整体仿射结构。因此在实践中，工业设计师们将曲面分割成拓扑简单的曲面片，为每一片建立NURBS曲面，不同曲面片交界的地方只要小于可容许误差即可。这些误差对于设计和制造而言是可以容忍的，但是对于CAE模拟仿真而言，这些断裂的狭缝是无法接受的，如何消除这些裂缝成为CAE领域最为棘手的问题。并且这些问题本身没有几何结构，完全是人为错误所导致。
图2. 曲面上的静电场。
设计整体水密、高阶光滑的NURBS成为问题的关键。这归结为求取一些特定的黎曼度量，其和乐群（holonomy）满足特殊条件。里奇流虽然可以通过曲率来计算黎曼度量，但是和乐群条件无法直接得到。而和乐群条件本质上由黎曼-罗赫定理所刻画。
如图2左帧所示，我们考察复平面上的亚纯函数。我们在平面上放置两个与平面垂直的无限长直线电极，一正一负，平面上的电场分布如图，蓝色曲线是等势线，红色曲线是电力线，彼此垂直。理论上电势函数是调和的，将电力场逆时针旋转90度（即每一点处的电场力矢量逆时针旋转90度），所得的矢量场依然可积，其积分所得函数是电势函数的共轭函数。电势与其共轭构成一个复值函数，我们称之为复势函数。静电场的复势函数就是一个亚纯函数，其极点就是电荷。如右帧所示，我们将人脸曲面通过黎曼映照共形映射到平面圆盘，将亚纯函数拉回到曲面上，即得到曲面上的亚纯函数。因为黎曼映照保角，曲面上电力线和等势线依然处处垂直。
图3. 曲面上的亚纯函数。
图3显示了亏格为一曲面上的一个亚纯函数的对数，这样亚纯函数的零点和极点变成了对数函数的一阶极点，对应着源和汇，零点、极点的阶数变成了相应极点的留数，即进入或者发出电力线的根数。每根电力线都连接着源和汇，因此零点和极点总阶数相同。电势的局部极值（鞍点）变成了零点（红十字交叉点）。我们看到等势线和电力线的全局分布和流向。
图4. 曲面上亚纯函数的导数。
图4显示了图3中亚纯函数的导数，原来的零点消失了，极点依然保留，并且阶数减一，原来的鞍点变成了零点，并且出现了更多的新的鞍点。曲面上有着丰富的亚纯函数，在通常意义的加法和乘法下构成一个域。两张曲面的亚纯函数域在代数上同构，当且仅当两张黎曼面共形等价。黎曼面上的亚纯函数由其零极点的位置和阶数所决定，这些点的局部性质决定整体性状，可谓牵一发动全身，这就是所谓的共形刚性。
图2的圆盘上，我们可以任意设置零点和极点的位置，从而构造亚纯函数。图3和图4的曲面上，我们仔细观察会发现亚纯函数的零点和极点位置满足特定规律，无法任意设置。这一规律就是Abel-Jacobi理论。更进一步，如果我们预先设置零点和极点的位置，然后寻找特定的亚纯函数，使得其零极点在指定位置上，这样的亚纯函数构成特殊的线性空间，对于这个线性空间的刻画就是著名的黎曼-罗赫定理。如果预先设置的位置不合理，那么解空间为零。如何计算黎曼-罗赫问题解空间的基底，成为核心问题。
图5. 曲面上的阿贝尔微分。
黎曼面上的阿贝尔微分局部上是亚纯函数的微分，可以被视为曲面上的静电场。图5显示了亏格为一的曲面上三类阿贝尔微分。与复平面情形不同，拓扑复杂曲面上即便是没有电荷，依然存在电场，即所谓的全纯微分，第一类阿贝尔微分，如图5左帧所示。如果曲面上有一对电荷，电量相反，则所生成的电场为第三类阿贝尔微分，如图右帧所示。如果曲面上只有一个偶极子，则生成的电场是第二类阿贝尔微分。这些阿贝尔微分在曲面基本群的基底上的周期，与一阶极点处的留数之间存在特定的双线性关系。阿贝尔微分的周期是黎曼面的全系共形不变量，特定阿贝尔微分的积分将曲面映成标准平面区域，从而给出了曲面的共形不变量，例如图2给出了经典的黎曼映照，图6给出了经典的Hilbert定理将拓扑多洞环带映到平面环带具有多条同心圆弧狭缝，图7将曲面映射到平面圆域（单位圆盘挖掉多个小圆盘）。这些计算都依赖于阿贝尔微分的构造，计算方法是将经典有限元方法推广到流形的外微分，从而求解椭圆型几何偏微分方程。
图6. Hilbert定理，狭缝映射。
图7. Koebe迭代法生成的标准共形映射。
阿贝尔微分可以看成是黎曼面全纯余切丛的整体截面，更加一般的，物理场可以视为流形上特定矢量丛的全局截面。我们取曲面的一个开覆盖，在每个开集上构造全纯线丛的局部截面，这些局部截面构成特定的层。局部截面拼接成整体截面时，会遇到整体障碍，只有当所有局部截面的零极点的并集满足特定条件时，局部截面才能严丝合缝地拼接成整体截面。对这种障碍的数学描述就是层的上同调群。层的上同调群维数的交错和就是黎曼-罗赫定理。
里奇流可以依据曲率来得到黎曼度量，但是无法直接从黎曼度量得到流形在欧氏空间中的等距实现（嵌入）。例如Minkowski就问过如下的问题：我们在单位球面上给出正值实函数，如何求取一张凸曲面，在极坐标表示下对应点处的高斯曲率等于给定函数值。图8右帧显示了Minkowski问题的一个解，左帧是其球面Legendre变换。
这个问题可以归结为球面最优传输：在单位球面上有两个测度，一个是标准的球面面元（即Hausdorff测度），另一个是由给定曲率函数给出的测度，球面两点之间的传输代价由测地距离的某个凸函数给出，我们希望找到一个球面的自同胚，将标准测度映射到指定的曲率测度，并且使得总的传输代价最小。
图8. Minkowski问题。
球面最优传输问题可以表述成球面的蒙日-安培方程，强烈非线性，传统的有限元方法无法直接求解。最优传输理论指出，最优传输映射就是某个定义在球面极坐标系下的凸函数的梯度映射，这个凸函数被称为是Alexandrov势能函数。我们用几何变分方法来求得Alexandrov势能函数，其函数图像就是Minkowski问题的解，即我们可以用曲率来求得凸曲面在三维欧氏空间中的嵌入。图9显示了球面最优传输映射。
图9. 球面最优传输。
2024年最热的科技当属AI内容生成，而生成式AI算法中最为关键的步骤是计算概率测度之间的传输变换和衡量两个概率测度之间的相异程度。恰是在这里，最优传输理论大显身手。与流行的扩散方法相比，这种基于几何的最优传输计算方法可以更加精确地揭示映射的正则性，从而探测测度支集的边界信息，而扩散方法无法检测到这些信息，只能盲目地穿越支集的边界。而数据分布支集的边界往往意味着物理定律所规定的限制，盲目穿越造成了生成数据中的物理荒谬和所谓的AI幻觉。
流形的等距嵌入问题更为抽象的提法由外尔（Weyl）给出：单位球面上给出一个正曲率的黎曼度量，如何将曲面等距嵌入在三维欧氏空间之中。在离散情形，Alexandrov定理给出了解答：令M是单位球面上配备凸多面体度量，那么存在欧氏空间中的一个凸多面体P，P的边界与M等距，并且这种P彼此相差一个欧氏刚体变换。如果将单位球面换成单位圆盘，就得到类似的Alexandrov凸帽定理，这时要求凸多面体P的边界落在xy平面上成为一个凸帽（convex cap），存在一个凸帽其上边界与M（拓扑圆盘带有给定凸曲率度量）等距，并且这样的凸帽彼此相差一个旋转平移。
Alexandrov凸帽定理的证明比较有代表性：首先单位圆盘上给定离散顶点集合，给定一个多面体度量（即欧氏度量，顶点为锥奇异点），并且每个顶点处的锥角小于周角（即顶点的离散高斯曲率为正）。我们根据这个度量，计算唯一的Delaunay三角剖分。每个顶点指定一个高度，每个三角形面和三个高度决定一个三棱柱，这些三棱柱沿着侧面等距粘贴，得到一个三维多面体。一般情形，这个三维多面体无法在三维欧氏空间中等距实现，因为围绕每条高所有棱柱的二面角之和不等于周角，其与周角之差定义为这条高的标量曲率。当所有高的曲率为零时，三维多面体才能够等距嵌入三维欧氏空间中。我们将这个三维多面体的体积定义为Hilbert-Eistein泛函，通过调节所有顶点处的高度，使得体积达到极值。三维多面体的体积关于高度的梯度就是每条高的曲率。在体积极值处，曲率处处为零，三维多面体可以等距嵌入在欧氏空间之中。在这里，我们构造了三维多面体，有两个边界曲面，上表面的度量保持不变，三角剖分取成Delaunay剖分，从而整体三流形保持凸性。通过优化体积泛函，得到曲率条件，求得嵌入。
图10. Alexandrov 等距嵌入定理。
如图10所示，Alexandrov定理告诉我们可以通过控制三角网格每条边的长度来控制整个三角网格的形状。对于给定的一个三角剖分，我们在每个顶点处放置一个圆盘，使得每条边上的两个圆盘彼此相切（即圆盘填充）。调节圆盘半径，保持相切关系，可以调节整个三角网格的隆起形状。
图11. 高亏格曲面上的单值化双曲度量。
Alexandrov定理本质是说对于凸多面体而言，皮儿上的度量决定了瓤儿里面的度量。这个定理可以直接推广到双曲情形。如图11所示，给定高亏格曲面带有三角剖分。如果三角剖分足够细密，我们可以假设每个三角形都是双曲三角形，过每个顶点向无穷远平面投影，得到一个理想三棱柱，其底面为这个三角形，顶面为理想双曲三角形。将这些三棱柱沿着侧面粘贴，得到三维双曲凸多面体，其边界为两张曲面，内部度量由边界度量所决定。保持顶部边界度量不变，变换底面曲面双曲度量，得到一系列双曲凸多面体。底部曲面的Delaunay三角剖分可以保证三维多面体的凸性。定义Hilbert-Einstein泛函为三维双曲凸多面体的体积，当达到全局最优时，底面边界的度量为单值化双曲度量，Hilbert-Einstein泛函的梯度流就是离散曲面双曲里奇流。如此，我们用凸双曲三流形的Alexandrov刚性定理证明了离散里奇流解的存在唯一性。
更进一步，高维双曲流形都具有刚性。拓扑相同的曲面上可以配备彼此不等距的双曲度量，这些度量构成了所谓的Teichmuller空间。Mostow刚性定理断言，三维双曲流形如果拓扑同胚，必然等距。这意味着双曲三维流形的度量是拓扑不变量，我们可以通过研究黎曼度量来探测拓扑信息。Mostow定理的证明依赖于Gromov的单纯体积定理，这一定理是高斯-博纳定理的自然推广。
高斯-博纳定理是说给定曲面的拓扑，我们可以为曲面配上不同的黎曼度量，因此曲率函数千变万化，但是总曲率万变不离其宗，一直等于曲面的欧拉示性数与周角的乘积。这一定理给出了黎曼几何与拓扑之间的内在联系。Gromov单纯体积定理是说双曲三流形的双曲体积等于流形单纯体积乘以规则理想双曲四面体的体积，而单纯体积来自流形的奇异同调。这一定理也给出了拓扑与黎曼几何的内在桥梁。
扭结是理解三流形拓扑的关键。经典的Lickorish–Wallace断言：可定向、连通、闭的三维流形都可以通过三维球面沿着一些扭结进行Dehn手术得到。Thurston将所有的扭结分成三类：轮胎扭结、卫星扭结和双曲扭结。两个双曲扭结同痕等价，当且仅当它们的补空间同伦等价，当且仅当它们补空间的双曲度量等距。
图12. Thurston Y-shape，双曲三流形带有测地边界。
图13. Thurston Y-shape的双曲度量。
离散里奇流方法可以推广到三维流形。首先我们将三流形进行三角剖分，然后将边长依随时间演化，演化速度正比于边上的曲率，在平衡点处边上曲率为零。图12显示了一个双曲三流形，带有测地边界曲面；我们用离散三流形的里奇流计算双曲度量，图13显示了三流形的万有复叠空间（配备了计算得到的双曲度量）在三维双曲空间中的等距嵌入。
今年课程的主题是计算黎曼度量，课程设置围绕这个中心。因此我们用古典方法讲解黎曼-罗赫定理，而没有选择全纯线丛和层的上同调理论，因为后者虽然在抽象层面上简洁明了，但是对于具体计算没有太多启发。对于三流形理论，我们也强调用组合方法证明曲面映射类群理论，用Thurston的火车道来介绍曲面叶状结构理论，而非采用Teichmuller理论和全纯二次微分，其目的也在于便于计算。课程中提出了大量的开放问题，特别是有关黎曼-罗赫理论的计算问题和双曲三流形的计算问题，期待这些问题在未来能够得以彻底解决。
课程受到了丘成桐先生的嘱托，得到邬荣领老师的大力支持。助教刘熠博士，陈伟老师都花费了大量的心血组织学习，帮助准备作业。Cadence全球副总裁、多物理场仿真事业部总经理的顾鑫先生，Cadence多物理系统分析研发总监吕传林先生也给与了大力支持和无私帮助。笔者与Rutgers大学的罗锋教授，前UCLA、现上海数学与交叉学科研究院的刘克峰教授，Cadence的斯杭博士，Ansys的吴天琦研究员进行了很多学术讨论，受益良多。朱一鸣，孙嗣权，赵洲博士等同学都实现了算法，为课程准备了精美的算例和插图。笔者在此对以上所有的老师和同学们表达由衷感谢！
很多同学参加了这门相对艰深的课程，他们的努力与坚持令笔者深感欣慰。笔者由衷地感谢每一位同学的积极参与、认真思考，以及在课堂内外的精彩表现。希望在未来的日子里，这段学习经历能为同学们的学术旅程增添一份光彩，也希望同学们继续保持这份探索和热情，无论面对何种挑战，都能从容自信，勇往直前，为纯粹数学和计算机科学做出杰出贡献！
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