工业机器人轨迹规划的研究方法综述

摘

要

在轨迹规划的过程中，通常需要根据工作要求和已知的点位信息，来选择合适的插值曲线：如果是点对点运动轨迹规划，如物料搬运、装配、加工等，则一般选择直线、多项式曲线、S型曲线作为插值曲线；如果是连续路径轨迹规划，如自动化装配、焊接、喷涂等，则一般选择圆弧、B样条曲线作为插值曲线。之后，再通过对机器人求运动学逆解来得到各关节变量，将关节变量发送至控制器以控制各关节运动到要求位姿。

此外，在对机器人轨迹规划的过程中，还需综合考虑生产效率、能耗、安全性和操作要求等因素来寻找最佳的运动轨迹，以提高工业机器人的生产效率、精度和安全性。现有对工业机器人最佳的运动轨迹研究主要围绕时间最优、冲击最优、能耗最优及多目标优化四个方面进行。在寻找最优轨迹的过程中，还需考虑避障、机械振动、冲击、运动平稳性等因素。

轨迹规划可以提高机器人的生产效率、降低机器人的生产成本、延长机器人的使用寿命，因此工业机器人轨迹规划的研究一直是国内外许多学者研究的重要方向[7-8]。自工业机器人问世以来，工业机器人轨迹规划研究取得了重大成果和突破。为了了解和掌握工业机器人轨迹规划的研究现状和研究方法，本文对不同轨迹规划方法进行分类总结，分析不同方法的特点。在此基础上，指出工业机器人轨迹规划的研究发展趋势，为今后的研究提供一定的参考。

从图 3中可以看出，该方法包括3个阶段：加速阶段、匀速阶段和减速阶段[24]：

1) 加速阶段：在t ₀ ~t ₁ 阶段，机器人末端的加速度为A _peak 且保持恒定，速度由V _initial 增加至V _peak ，机器人末端从初始位置P _initial 开始运行。

2) 匀速阶段：在t ₁ ~t ₂ 阶段，机器人末端的加速度为0，以V _peak 稳定运行。

3) 减速阶段：在t ₂ ~t _n 阶段，机器人末端的加速度为-A _peak 且保持恒定，速度由V _peak 减小至V _initial ，机器人末端刚好运动至目标位置P _end 。

这种规划方法可以确保机器人在直线运动过程中平滑地加速和减速，避免突然变化和冲击，提高运动的质量和控制精度。需要注意的是，直线加减速轨迹规划仅适用于简单直线运动的情况[25]。在复杂的路径规划中，可能需要考虑更复杂的插值方法和优化算法，以实现平滑轨迹和避开障碍物。

多项式曲线轨迹规划是一种常见的轨迹规划方法，它使用多项式函数来描述机器人或移动物体的轨迹，这种方法通常用于生成平滑的、连续的轨迹，具有良好的运动控制性能。多项式曲线轨迹规划的基本思想是根据运动约束条件，通过选择适当的多项式函数来表示轨迹，然后确定多项式的系数以满足约束条件，通常采用的插值函数为3次到7次多项式，如果次数过高，将会在插值区两端出现振动，也就是龙格现象[26]。

3次多项式曲线的位移函数为

(2)

式中，a ₀ 、a ₁ 、a ₂ 、a ₃ 为位移函数的4个参数。如果对位移函数求导，即可得到速度函数，这时，只需将机器人末端起始和终止位置的位移和速度分别代入位移函数和速度函数，就可求得a ₀ 、a ₁ 、a ₂ 、a ₃ 这4个参数的值，从而就可以确定轨迹。

由于3次多项式曲线只考虑了机器人末端的位移和速度，并没有对加速度进行限制，所以无法保证机器人末端加速度的连续，可能会对机器人形成冲击[27]。针对这个问题，可以采用5次多项式曲线，其位移函数为

(3)

式中，a ₀ 、a ₁ 、a ₂ 、a ₃ 、a ₄ 、a ₅ 为位移函数的6个参数。如果求位移函数的1阶导数，就得到了速度函数；求位移函数的2阶导数，就得出加速度函数。此时，分别为位移函数、速度函数、加速度函数中代入机器人起始位置和终止位置的位移、速度、加速度，就可以求得a ₀ 、a ₁ 、a ₂ 、a ₃ 、a ₄ 、a ₅ 这6个参数的值，从而可以确定机器人末端的轨迹。相比于3次多项式曲线，5次多项式曲线综合考虑了位移、速度、加速度，可以确保机器人末端加速度的连续，轨迹更为平滑、冲击较小，但计算量偏大。在处理器计算性能较高时，采用5次多项式作为插值曲线来进行轨迹规划，可以得到更好的效果。孙玥等[28]采用3次和5次多项式曲线对工业机器人的轨迹进行规划，结果表明，任一曲线都能提供机器人运动轨迹的平滑过渡，还解决了5次多项式机器人轨迹的加速度突变问题。

S型曲线轨迹规划是一种常见的轨迹规划方法，用于实现平滑的加速、匀速和减速过程。它常被应用于机器人控制、自动化系统和运动控制等领域[29-30]。典型的S型曲线的速度、加速度、冲击曲线如图 4所示。

S型曲线轨迹规划通常包括几个阶段：

1) 加速阶段。在此阶段中，机器人逐渐增加速度以实现加速。加速阶段的持续时间取决于所需的最大加速度和期望的速度增量。

2) 匀速阶段。一旦机器人达到期望的最大速度，它将保持匀速运动。匀速阶段的持续时间取决于所需的匀速运动时间。

3) 减速阶段。在此阶段中，机器人逐渐减小速度以实现减速。减速阶段的持续时间与加速阶段的时间相等，以确保平滑的过渡。

S型曲线轨迹规划可以实现平滑的加速、匀速和减速过程，避免机器人或系统的冲击和突然变化[31]。这种方法常用于工业机器人、自动化设备和运动控制系统中，用于实现精确、稳定的轨迹控制。

吴明月等[32]还提出了一种基于S型曲线的抑制硅片传输机器人低频振动的轨迹规划方法，该方法的原理是通过缩短S型曲线的加减速阶段的运行时间以抑制低频振幅，实验结果表明：机器人末端执行器的频率振动幅度在X方向上减少了53. 9%，在Y方向上减少了45%。

圆弧轨迹规划可以实现平滑的运动轨迹，减少机器人在路径上的震动和冲击，提高运动的稳定性和精度；圆弧轨迹规划可以通过优化路径来实现更高的运动效率，缩短机器人的运动时间并减少能耗；圆弧轨迹规划可以利用机器人工作空间的曲线区域，从而在有限的空间内完成更复杂的任务；圆弧轨迹规划可以适应不同形状和大小的工件，因此适用于各种应用领域，如焊接、切割、喷涂、装配等[34]。

陈国梁等[35]使用具有误差上限的多段等弦直线来近似逼近实际的圆弧，由单段轨迹起始点、终止点和圆心三点来确定插值圆弧。任秉银等[36]提出使用齐次矩阵和四元数法分别对机器人位置和姿态进行规划，结合三次有理插值保形样条构造连续的运动轨迹。这个方法可以确保机器人的空间位置精度和姿态的 平滑过渡，对于位置精度有较高要求的工作场合非常适用。

但是，与直线轨迹规划相比，圆弧轨迹规划的算法和计算复杂度较高，需要更多的计算资源和时间，并且圆弧轨迹规划对环境的要求较高，需要确保机器人周围没有障碍物，并且工作空间充足[37]。

1) 定义目标和约束。明确问题的目标，如最小化时间、最小化冲击、最小化能耗等，并定义相关的约束条件，如工作空间限制、碰撞避免、关节限制等。

2) 建立系统模型。根据机器人的动力学特性和运动约束，建立机器人的数学模型。这个模型可以是运动学模型、动力学模型或组合模型，根据实际情况选择合适的模型。

3) 选择优化方法。根据问题的复杂性和约束条件，选择适合的最优化方法。常见的方法包括数学优化方法(如线性规划、非线性规划、二次规划等)、模型预测控制、遗传算法、深度强化学习等。

4) 设计目标函数。根据问题的目标，设计一个目标函数来评估轨迹的优劣。目标函数可以包括多个因素的加权和，如时间、冲击、能耗等。目标函数的设计应该能够量化问题的目标，并反映约束条件的满足程度。

5) 进行优化。根据选择的优化方法和目标函数，对机器人的轨迹进行优化。优化过程可以是迭代的，通过不断调整轨迹的参数或控制序列来逼近最优解。优化过程中需要考虑约束条件的满足和问题的收敛性。

6) 验证和调整。对得到的最优轨迹进行验证和调整。使用仿真工具或实际机器人系统进行验证，评估轨迹的性能和满足程度。如果需要，可以根据实际情况对轨迹进行调整和优化。

时间最优轨迹规划是机器人运动规划领域的重要研究方向之一，旨在通过最小化机器人的运动时间来提高生产效率和运动速度[43-45]。在当前的研究中，有许多方法和算法[46-47]被提出来，用以解决时间最优轨迹规划问题。以下是一些常见的研究方法和技术：

1) 数学优化方法。数学优化方法是时间最优轨迹规划中常用的一类方法，包括线性规划、非线性规划、二次规划等。这些方法通过定义优化目标函数和约束条件，求解出使时间最小化的最优轨迹。经典的优化算法如梯度下降、牛顿法、拟牛顿法等都可以应用于时间最优轨迹规划问题。KANG等[48]通过提高关节速度的办法，提高了机器人的运行速度，从而缩短了轨迹运行时间。

2) 动态规划方法。动态规划方法在时间最优轨迹规划中也得到了广泛应用。这种方法将问题划分为多个子问题，通过求解子问题的最优解来得到整体的最优轨迹。动态规划方法具有高效性和全局最优性的特点，但在问题复杂度较高时可能会面临维度爆炸的困境。沈东东等[49]通过二分法求解满足各关节速度和动量约束的随时间变化的最佳运动路线，可以有效缩短机器人的工作周期。

3) 采样优化方法。采样优化方法将时间最优轨迹规划问题转化为路径搜索和优化的组合问题。通过在状态空间中进行采样和评估，搜索出使时间最小化的最优路径。这类方法可以通过启发式搜索、遗传算法、粒子群优化等技术来实现。付荣等[50]利用粒子群算法来优化多项式曲线，在运动学约束的前提下，进行迭代来求最短的时间，使得轨迹运行时间缩短了0. 48 s。

4) 近似和逼近方法。由于时间最优轨迹规划问题往往是复杂的非线性优化问题，近似和逼近方法被广泛应用于简化问题求解的过程。这些方法包括多项式逼近、样条曲线逼近、快速梯度下降等，通过在合适的参数化路径上近似求解最优轨迹。陈学锋[41]提出了一种码垛机器人的轨迹优化算法，该方法以3 - 5 - 3三段样条函数作为插值曲线，分别求出每一段的最小时间，然后利用遗传算法进行优化，使得轨迹运行时间缩短了40%。

5) 机器学习方法。近年来，机器学习方法在时间最优轨迹规划中得到了越来越多的应用。通过使用神经网络、强化学习等技术，可以学习出使时间最小化的最优轨迹的策略。机器学习方法能够处理复杂的问题和环境，但需要大量的训练数据和计算资源。

当前的研究中，主要通过将运动学参数作为优化变量求最值，从而达到优化轨迹总体时间的目的，还有许多关于时间最优轨迹规划的扩展和改进。例如考虑机器人的动力学约束、避免碰撞和障碍物等问题，以及在不确定环境下的鲁棒性规划等。此外，多目标时间最优轨迹规划、协同机器人的时间最优轨迹规划等也是当前的研究方向之一。

冲击最优轨迹规划是机器人运动规划中的一个重要研究方向，旨在减小机器人在运动过程中的冲击力和振动，提高机器人的稳定性和运动质量[51]。以下是一些常见的研究方法及其研究现状：

1) 基于优化的方法。优化方法是冲击最优轨迹规划中常用的一类方法。通过定义冲击力和振动的指标函数，设计约束条件，利用数学优化方法求解使指标函数最小化的最优轨迹。优化方法可以是线性规划、非线性规划、二次规划等，可以综合考虑机器人的动力学模型、力矩限制、加速度约束等因素。LIN等[52]在整段轨迹中插补一些路径点，并且使用粒子群算法对路径点进行优化，从而得到了冲击最优的轨迹。

2) 模型预测控制方法。模型预测控制方法在冲击最优轨迹规划中也得到广泛应用。这种方法基于机器人的动力学模型，将轨迹规划问题转化为一个优化问题，通过预测机器人在未来时间段内的运动状态，优化控制输入，从而减小冲击力和振动。模型预测控制方法具有较好的实时性和适应性，能够处理动态环境和多变约束条件。ZANOTTO[53]认为冲击最优轨迹规划就是对机器人关节力矩的变化率进行约束，可以对关节加加速度进行积分，并将这一结果作为目标函数。

3) 仿生学方法。仿生学方法借鉴生物系统中的原理和机制，对冲击最优轨迹规划进行研究。例如，通过模仿人类运动的优雅和协调性，设计出平滑的运动轨迹。同时，仿生学方法也可以参考昆虫的觅食行为、动物的群体行为等，从中获得优化规划的启示。

4) 机器学习方法。机器学习方法在冲击最优轨迹规划中的应用也逐渐增多。通过使用神经网络、强化学习等技术，可以学习出使冲击力和振动最小化的最优控制策略。机器学习方法能够处理复杂的问题和环境，但需要大量的训练数据和计算资源。

当前的研究中，还有许多关于冲击最优轨迹规划的扩展和改进。例如考虑不确定环境下的鲁棒性规划、多机器人的冲击最优轨迹规划、柔性结构机器人的冲击最优轨迹规划等。此外，也有研究关注于结合力觉反馈、传感器信息等进行冲击最优轨迹规划的方法。

能耗最优轨迹规划是机器人运动规划中的一个重要研究方向，旨在减小机器人在运动过程中的能源消耗，提高能源的利用效率[54-56]。以下是能耗最优轨迹规划的研究现状和常用方法：

1) 基于优化的方法。优化方法是能耗最优轨迹规划中常用的方法之一。通过定义能耗的目标函数，设计约束条件，利用数学优化方法求解使目标函数最小化的最优轨迹。优化方法可以是线性规划、非线性规划、二次规划等。优化方法可以综合考虑机器人的动力学模型、能耗模型、约束条件等因素。GREGORY等[57]综合考虑机器人的动力学模型、系统的初态和终态以及各种约束条件，将有约束的最优问题转化为无约束的变量问题，使获得能量的最优运行轨迹成为可能。

2) 动态规划方法。动态规划方法也被广泛应用于能耗最优轨迹规划。动态规划将问题划分为多个子问题，通过求解子问题的最优解来得到整体的最优轨迹。动态规划方法具有高效性和全局最优性的特点，但在问题复杂度较高时可能会面临维度爆炸的困境。LUO等[58]通过利用拉格朗日插值法求得机器人各关节的轨迹函数，以位置和稳定性作为约束条件，然后迭代得到能量最优轨迹。

3) 模型预测控制方法。模型预测控制方法在能耗最优轨迹规划中也得到广泛应用。这种方法基于机器人的动力学模型和能耗模型，将轨迹规划问题转化为一个优化问题，通过预测机器人在未来时间段内的能耗，优化控制输入，从而得到能耗最小化的最优轨迹。KONE等[59]提出了一种机器人能量最优轨迹规划的方法，该方法通过拉格朗日动力学方程建立了机器人的动态参数化模型，以工作空间、关节速度和加速度作为约束条件，然后进行时间- 能量最优轨迹规划，得到的最优轨迹较原来的相比，运行时间缩短3%，能量效率提高4%。

4) 机器学习方法。机器学习方法在能耗最优轨迹规划中也有一定的应用。通过使用神经网络、强化学习等技术，可以学习出使能耗最小化的最优控制策略。机器学习方法能够处理复杂的问题和环境，但需要大量的训练数据和计算资源。YIN等[60]提出一种基于机器学习轨迹规划方法，结合实测能耗数据生成数据集，训练机器学习模型以获得最优能耗轨迹。

当前的研究中，还有许多关于能耗最优轨迹规划的扩展和改进。例如考虑不确定环境下的鲁棒性规划、多机器人的能耗最优轨迹规划、动态能耗模型的建模等。此外，也有研究关注于结合能量回收、智能调度等策略进行能耗最优轨迹规划的方法。随着技术的不断进步和算法的创新，能耗最优轨迹规划将在工业自动化、无人系统、智能交通等领域发挥重要作用。

工业机器人的多目标优化[61-63]轨迹规划是指在规划机器人运动轨迹时同时考虑多个优化目标，以实现多个目标的平衡和最优化。常见的多目标优化轨迹规划包括以下几个方面：

1) 多目标优化目标。多目标优化轨迹规划可以涉及多个目标，如能耗最小化、运动时间最短化、冲击力最小化、轨迹平滑化、碰撞风险最小化等。这些目标可能存在相互冲突的情况，需要在规划过程中进行权衡和优化。将多优化目标转换为单优化目标，通过定义归一化函数以达到降维的目的[64]，即：

(5)

式中，ω为归一化权重系数，使优化指标处于同一范围。

2) 多目标优化方法。多目标优化方法用于求解具有多个目标函数的轨迹规划问题。常用的方法包括权衡法、加权法、多目标遗传算法、粒子群优化算法等。这些方法能够生成一组非劣解(Pareto最优解集)，其中没有解能够在所有目标上超越其他解，从而提供了多种可行的轨迹规划选择。GASPARETTO等[65]提出了一种机械臂时间- 冲击优化模型：

(6)