一周一定理No.2 求一术与方程术

刘徽在《九章算术注》中提出了对矩阵同时做行列变换求解方程组的方法.

作者 | 林开亮

在本栏目第1期 一周一定理No.1 中国剩余定理 ，我们向大家介绍了著名的中国剩余定理，并引发了读者的热烈反响，感谢大家对本栏目的鼓励支持，以及对具体内容的建议和评论。今天我们想给大家介绍一下 求一术 及其推广 方程术 。前者在中国剩余定理的介绍中已经出现，我们先简单回顾一下。

前文 一周一定理No.1 中国剩余定理 所叙述的中国剩余定理，其关键思想有两个：一是通过（线性方程组的） 叠加原理 将一个一般的同余方程组分解为多个特殊的同余方程组；二是将特殊的同余方程组（通过换元）转化为一次同余方程的求解，而后者可以用 求一术 来求解。

按照古人的叙述（注，下述表述与 一周一定理No.1 中国剩余定理 中的表述略有不同，但实质一样，且更与历史相符），求一术可以表述如下：

求解方程

的整数解的求一术：

首先写出矩阵

然后对第一行两个元素辗转相除，并将对应的操作应用于第二行(用矩阵的语言说，相当于对A做初等列变换)，直至第一行的两个元素都变成 不能更小的正整数 ，此时：若此两个数中有一个数是1，则它下方的那个数是（♣）的一个特解；否则，（♣）无整数解。此外，若已得到（♣）的一个特解，比方说，

那么，（♣）的通解为

我们举个例子。

求一术可以推广成下述求解丢番图方程的 方程术 。

作为例子，我们来求解“猴子分桃”问题中的丢番图方程，参见 张景中院士：五猴分桃问题