小学数学：数学动点最值问题

趣味数学题 · 公众号 · · 2024-11-21 16:48

正文

数学动点最值问题，一直是考试中考察的重点。今天和大家分享一道数学几何动点问题。

题目如下，AB为半圆的直径，已知AB=2，P为弧AB上的动点，求PA+PB的最大值是多少。

一般解答这种类型的题目，最常用的还是利用均值不等式。根据a²+b²≥2ab来求解。

根据题意，我们可以列出如下式子

PA²+PB²≥2PA×PB

（PA+PB）²=PA²+PB²+2PA×PB

根据圆的性质可得，∠APB=90度，那么等式可进一步化简

（PA+PB）²=4+2PA×PB

PA×PB可以看成是△PAB的面积，也就是AB×h（三角形底边的高），

（PA+PB）²=4+4h

当h最大时，PA+PB有最大值，此时最大值是8，那么PA+PB最大值是2√2。

如果我们用另外一种传统的图形法，也可以解答。

既然要求PA+PB，那么我们可以把它们转换到一条直线上。此时PC=PB，我们只需要求出PC即可。

我们延长CB至点D，因为∠PCB=45度，可以得出∠PAD=45度，当AD最大时，PC最大，我们也可以求出答案。

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