奇妙的幻方——奇数阶幻方的构造

传说上古伏羲氏时，有龙马从黄河里跳出来，背上负着河图；有神龟从洛水里跳出来，背上负有洛书。伏羲氏根据河图、洛书演化成八卦。洛书便是最早的幻方，用现代数学语言解释，就是用1~9九个数字，填在九个格子里，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15。

河图洛书

用数学语言表述，幻方是指在n×n(n行n列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上n个连续的自然数，每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的几个自然数的和都相等，这个和叫幻和，n叫幻方的阶，这样的数表叫n阶幻方。

下面介绍几种构造幻方的方法。

我们宋代数学家杨辉总结“洛书”幻方的编排方法是：九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。

第一步：九子排列，把1~9按下图排列出来。

第二步：上下对易，把上下两个数9和1对换。

第三步：左右相更，把左右两个数3和7对换。

第四步：四维挺出，把4，2，8，6四个数突出来。

这样就构造出一个三阶幻方。

九子排列法只可用于构造三阶幻方，而巴舍法可以用于构造任何奇数阶幻方。这里我们以构造三阶幻方为例来讲解巴舍法。

假设有一个三行三列的格子。

第一步：先在两侧制造阳台，上下造天台、地下室。

第二步：爬梯填数。

第三步：把原来没有的阳台、天台、地下室的数填到它所在位置的对面。具体操作时可用数格的方法，1往右数三格就是所要填的位置，3往下数三格，7和9同理分别向上和向左数三格。

第四步：把所造两侧的阳台、天台、地下室及里边的数去掉，一个三阶幻方就制作成功了。

罗伯法可以构造出所有的奇数阶幻方。罗伯法还有个口诀：

1居上行正中央，依次斜填切莫忘；

上出框界往下写，右出框界左边放；

排重便在下格填，右上出格一个样。

以三阶幻方为例，具体填法如下：

（1）1居上行正中央——在第一行正中央的方格内填1。

（2）依次斜填切莫忘——在1的右上方虚拟方格内填上2。

上出框界往下写——在1的右上方填的2出了上框界，此时需要将2向下移到最下边的方格内。

（3）右出框界左边放——在2的右上方虚拟方格内填上3，由于3出了右框界，此时需要将3向左移到最左边的方格内。

（4）排重便在下格填——在3的右上方格内填上4，但此时3的右上方格内已经填了1，重复了，所以将4填在3的下方。

（5）在4的右上方格内依次斜填5和6。

（6）右上出格一个样——接下来应该将7填在6的右上方格内，但此时既出了上框界又出了下框界（右上出格），所以应将7移到6的下方。

（7）用同样的方法依次把8、9填入相应的方格内。

这样，我们就用罗伯法编制出了一个三阶幻方。

相对于巴舍法，在编制更高阶的幻方时，罗伯法将显示出它的优势，而且罗伯法更加有利于计算机编程实现。

有兴趣的读者不妨利用上述方法构造一个五阶幻方和七阶幻方试试。有关偶数阶幻方的构造方法，敬请期待下文。