在 20 世纪的剑桥，我们目睹了一场思想的盛宴：艾伦·图灵，“人工智能之父” 计算机科学的先锋，逻辑的剑客，他以图灵机和图灵测试定义了一个新时代；而路德维希·维特根斯坦，哲学界的拳击手，以其深邃的《逻辑哲学论》和《哲学研究》革新了语言哲学。
这两位天才在 1939 年的剑桥数学基础课堂上展开了一场激烈的“对掐”，他们就数学证明的本质、悖论问题以及计算过程进行了深入的讨论和较量。这场智慧的碰撞被记录在《维特根斯坦剑桥数学基础讲义》中，不仅展现了他们对逻辑和语言的深刻理解，也成为了科学与哲学交汇的历史见证。
今天是图灵诞辰 112 周年，我们重温一下这场对决，缅怀他为我们留下的宝贵财富，致敬他对知识的追求和探索。这场思想的碰撞，无疑给我们带来了无尽的启发和思考。
英国老式的教授系统是，老同志不退休，后面的讲师甭管多“高级”，也得熬着。上个世纪，英国大学一个系一般只有两到三位教授，现在在美国高校系统影响下，人数略微增加。教授再下一级的职称就是 Reader（准教授，或者“如教授”）和高级讲师了。
维特根斯坦 1929 年重归剑桥，当时去火车站接他的凯恩斯私下跟自己老婆说：“上帝来了。”但“上帝”在剑桥熬了十年，才升成教授——那还是因为剑桥的另一位大佬摩尔（Moore）退休，给维特根斯坦让出位子。
维特根斯坦此时已经年届五十了。维特根斯坦出生于欧洲最富豪的家庭之一。像他的家庭成员一样，他有极高的艺术品位，尤其在音乐上。但他在读了弗雷格（Frege）的《算术基础》和罗素的《数学原则》（
Principles of Mathematics
）（注意，不是同怀特海合著的《数学原理》，
Principia Mathematica
，从某种意义上说，《数学原则》是《数学原理》的热身）后，他的兴趣转向逻辑。他在一个夏天跑到耶拿找分析哲学的鼻祖弗雷格。
弗雷格把他推荐给了罗素，于是他成了罗素最出名的学生。他在一战时当兵期间写了《逻辑哲学论》，深刻影响了英美系和欧洲的维也纳学圈。朋友兼学生马尔科姆（Malcolm）第一次见到维特根斯坦是在 1938 年，他觉得大师年轻，看上去只有 35 岁左右。其实维特根斯坦是长得少兴，也爱捯饬。
1939 年，维特根斯坦在焦急地等待着消息：自己是否能被提名为摩尔的继承人。很多人，包括罗素，倾向于把维特根斯坦描绘成不食人间烟火的仙人，但面临剑桥的一个教授位置，维特根斯坦也沉不住气，他很担心另一位候选人被提名。
正是在这种忐忑心情中，他开讲数学基础课。这是一门关于数学哲学的课，基本是他转型期的各种思想杂烩。课时是一周两次，每次两个钟头。维特根斯坦回剑桥后，上课只在自己房间，不去教室，来听课的学生自带板凳，要不就坐地板上。“只闻来学，未闻往教”说的就是维特根斯坦。
比维特根斯坦年轻 23 岁的图灵此时 27 岁，是数学系的小字辈。图灵 1936 年发表了那篇其重要性用任何形容词都不会过分的文章《论可计算数》，奠定了整个计算机科学及相关所有数学和哲学的基础，但其价值当时并没有显现。
图灵的老师纽曼称图灵是“应用数学家”，这有点令人吃惊，因为现在看图灵的工作都是基础性的：逻辑、代数、概率论。但图灵的兴趣确实广泛，他解决问题的方式是工程师式的，这点从“图灵机”可看出，而且他最后的学术工作的大部分和造实际的计算机有关。这其实也没什么，维特根斯坦不也是工科出身嘛。
图灵被纽曼推荐给美国普林斯顿的数学家、逻辑学家丘奇，丘奇认识到图灵那篇文章的意义，在他主编的《符号逻辑杂志》上写了篇关于图灵1936年文章的评论，丘奇在评论中头一次使用“图灵机”来指图灵发明的装置。后来大家把丘奇和图灵工作的一个推断称为“丘奇–图灵论题”。这个论题断言图灵机就是最强的计算装置。这只是一个工作假设，没法数学地证明为定理，又大于物理地总结为定律的东西。从实践上看，人类想出来的所有计算装置和逻辑装置，如丘奇的λ 演算、Post 系统、哥德尔递归函数，都和图灵机等价。也就是说，一帮最聪明的大脑，独立想出来的东西，其实是一回事，英雄所见略同。
20 世纪 50 年代，乔姆斯基发明形式句法后，大家又证明乔姆斯基 0 型文法和图灵机等价。细想想，在某种意义上，只能例示但不能证明丘奇–图灵论题，恰是唯心和唯物的鸿沟。这是整个计算机理论和人工智能以及若干潜在新学科的起点。
图灵在丘奇的指导下得了个普林斯顿的博士学位。那时拿美国学位到英国教书是一件稀罕事，大部分的大脑流动是反方向的。图灵回到剑桥申请讲师未遂，只好接着当研究员。1939 学年，图灵接替他的老师纽曼讲“数学基础”。尽管有了图灵机的贡献，但与维特根斯坦相比，图灵此时尚是无名小卒，他是在看了学校的课程表后才知道维特根斯坦要开一门同名课程，于是决定旁听，去会会这位大名鼎鼎的人物。故事就从这儿开始了。
维特根斯坦活着的时候，只出版过一本《逻辑哲学论》，发表过一篇文章和一篇文风刻薄的书评。他的十几卷本的文集大部分是死后出版的，内容一方面是他的笔记，另一方面是他几个亲信学生的笔记。
维特根斯坦这学期数学基础的讲课内容，在他去世二十多年后被他的几个学生整理成了书：《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》。图灵和维特根斯坦的对话构成该书的很大一部分内容，图灵的发问最精彩（尼克，2014）。它给了我们机会，看看两个聪明人，就他们共同关心的话题是如何斗智斗勇的。顺便寄语一句中青年女读者：维特根斯坦是金牛座，图灵是巨蟹座。
维特根斯坦的坏脾气众所周知，在剑桥读书时就和老师罗素磕磕碰碰，掐架是家常便饭，从不给人台阶下。摩尔在道德科学俱乐部发表了一篇文章，那时发表论文都叫“宣读论文”（read a paper）。尽管现在进步了，大家都会使 PPT 了，但很多人还是喜欢拿个“小抄”念稿，都是当年“宣读”的流毒。
摩尔论文说的是人可以知道自己的感觉。这和维特根斯坦的观点相左，维特根斯坦认为知识和确定性无法应用到人的感觉上，通俗地说，就是经验和理性没法联系起来。摩尔宣读论文时，维特根斯坦赶巧不在，第二天听说了摩尔的观点，带着几个学生直奔摩尔的办公室，说：“你为啥在我不在时妄言与我观点不同的观点，当着各位老少爷们，有种再宣读一遍。”
摩尔仗着岁数大，而且马上要把教授座位禅让给维特根斯坦，就真把论文重念了一遍，话音还没落地，维特根斯坦就一通乱骂，把摩尔批得体无完肤，摩尔真是秀才遇见兵，但他有贵族气，不和维特根斯坦一般见识。
维特根斯坦和人掐架一般不动手，一次可疑的例外是 1947 年和卡尔·波普尔（Karl Popper）。波普尔到剑桥去读篇论文，听众中有罗素和维特根斯坦等人。波普尔和维特根斯坦一言不合，就起了冲突。据说维特根斯坦边说边冲着波普尔挥动手里的拨火棍。
大部分当事人早把这事忘了，但事发后，波普尔马上给所有他认识的欧洲哲学家满怀欣喜地写了封信，开头就是：“我被打了，是维特根斯坦打的，地点是在被罗素霸占的牛顿办公室。”大部分哲学家的私生活其实很平淡，闹点八卦不容易。于是一点破事，几十年后还被无聊地写成书，以讹传讹。
为什么维特根斯坦与波普尔对掐了半个小时，就有人八卦了一本书；而维特根斯坦和图灵智力交锋了一学期，却没人评论？可能是维特根斯坦与波普尔的对掐有戏剧性、有动作（一个拿着拨火棍追另一个）。另外，波普尔比较会营销，找名人掐架自然会抬高自己。现在看起来，微博上这点雕虫小技也是人家玩剩下的。
没人关注的另一个原因是学术的。维特根斯坦一生的传世之作是《逻辑哲学论》（前期哲学）和死后出版的《哲学研究》（后期哲学）。其实在这两本书之间的转型期，他研究最多的是数学哲学。除了《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》和《数学基础评论》（
Remarks on the Foundations of Mathematics
）之外，其他几本后人整理的著作和谈话录也是以数学哲学为主题。
逻辑学家克赖泽尔是维特根斯坦尊重的学生和朋友，也是哥德尔的好友，还是《哥德尔全集》的编委之一。他认为维特根斯坦这期间关于数学哲学的工作是无聊的（insignificant），浪费了他宝贵的大脑。他这话是 20 世纪 50 年代说的，那时，数学中构造主义还没开始流行，计算机科学尚不存在。现在似乎有人主张重新评估维特根斯坦的数学哲学。
维特根斯坦的早期著作喜用格言体，即使《逻辑哲学论》这样严谨的著作也如此。但格言体使得内容被极大地压缩，经常导致歧义，这反而给那些一点数学都不懂的人提供了诠释的机会。
而维特根斯坦的其他著作也多是微博体，如“我背着沉重的哲学包袱，爬行在数学的山路上”。这句话，把“哲学”和“数学”代换成其他名词，如“国学”和“佛学”，“代笔”和“抄袭”，“文盲”和“作家”，照样好使。格言体解读起来着实费劲。
在《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》中维特根斯坦就没那么文艺了。对于一个数学家（如图灵），歧义不是什么好事。你来我去的对话，减少了格言体语言的晦涩，它表达的思想，相对于文体，变得更重要。对话的好处是没有黑话，全直来直去。此时，反而是那些可以滔滔不绝就《逻辑哲学论》和《哲学研究》说三道四或故作深沉的人集体失言，生怕露怯。
下面说几个他们对话的例子。原文太长，枝节繁多。维特根斯坦（这里简称“维特”）的授课方式是苏格拉底式的，不备课，也没有讲稿，随着性子来，跑题是常态。这里是我的通俗的、总结性的转述。
维特
：说谎者悖论“我正在说谎”，我没说谎，所以我说谎；我说谎，所以我没说谎。这种车轱辘话，你可以一直说到小脸发青。但这只是个没意义的语言游戏而已。也不知道大家为啥会对这个悖论那么激动。
图灵
：让大家困惑的是，一般情况下，有矛盾肯定就是出错了，但在这个例子中，大家不知道哪儿出错了。
维特
：这里要分清数学矛盾和非数学矛盾。如果桥塌了，那是物理规律出错了。但数学中有矛盾，有什么可怕的？
图灵
：如果你不知道你的演算是不是有矛盾，怎么能信任你的计算结果呢？
维特
：哦，那你的意思是说，因为有了说谎者悖论，2 乘 2 就不等于 4 了，就等于 369 了，是吗？好，如果如此，那就不能管这叫“乘法”。
图灵
：如果没有矛盾，桥不一定会塌，但如果有矛盾，肯定会出错。
维特
：“史密斯画了一个正五边形”不是一个几何命题，而是一个实验命题，它可能真，也可能假。但是“史密斯画了一个正七边形”是真命题还是假命题？（注：用圆规和直尺画不出一个正七边形或正七角形，这就像尺规不能三等分一个角。）
维特
：那这两句话为什么如此不同呢？也许我们应该换一种说法：“有可能画一个正五边形”“不可能画一个正七边形”。因为不可能画一个正七边形，所以“史密斯画了正七边形”是一个假命题。图灵的意思是说只借助圆规和直尺不可能画一个正七边形。我们怎么证明一个五边形是正五边形，一种办法是用量角仪和直尺去验证，还有一种办法就是看一下画的过程，画的过程就是一种验证。
维特
：是，那不是唯一的原因，但如果把你的“其他原因”强加到这个过程中，画出来的不是正五边形，我们还能管这个过程叫“画正五边形”吗？当我们说不能数学地画一个正七边形时，到底是啥意思？
图灵
：就是说我们不能给出一系列画正七边形的指令。
维特
：但是一个人真要画出一个正七边形，我们又怎么说？我们说他没有遵照我们的“指令”？数学上证明不可能画出一个正七边形所取得的结论是排除了“画一个正七边形”这一短语，所以“史密斯画了一个正七边形”这句话不是假的，而是无意义的。
我们用实验的理由排除了它，尽管“不可能画一个正七边形”这句话不是一个实验的语句。也许我们可以给出指令去画一个正七边形，但这个指令序列是无穷长的。如果说我们可以证明有可能画一个正五边形，我们证明的是什么样的可能性？是目的（一个正五边形）还是手段（画这个正五边形的过程）？
维特
：数学家观察到一些规律，然后企图证明这些规律是必然的。这好像同我的观点有些矛盾：数学中的发现其实是发明。当然，你可以再问：一个小孩做算术，25 乘 25 等于 625，他不过是发现而已，没发明什么。说小孩发明数学事
实
，是不对的。但我们在此可以做个类比，发现一般是通过做实验。那做算术的小孩是在做实验吗？
图灵
：对一个熟悉乘法表的人来说，这不像做实验吗？
维特
：计算也有结果，实验也有结果，但它们是一回事儿吗？如果结果算错了，咋办？
维特
：哦，你的结果都是安排来的？当规则没有预设必然的结果时，当事先并不知道对错时，这是实验。当然，如果你非要在一种更加宽泛的意义下使用“实验”一词，我也拦不住你。
图灵
：那我们比较下物理实验和数学计算。一种情况，有个天平，你在一端放砝码，然后找平衡。另一种情况，给你两个数和一些表（如乘法表），然后你在表里头找结果。
维特
：听起来这两种情况蛮像的，但到底像在哪里呢？
维特：假设人们发明一种新的算术，2 加 2 等于 4 是这样证明的：拿个天平，在一边先放俩东西，再放俩东西，在另一边放 4 个东西，如果平了，就证明是对的。那如果你在一边放了两个球，再放两个球，在另一边放 4 个球，天平没平，你只得在一边再多放一个球，天平突然平了，那是不是 2+3=4 ？如果我们每次做乘法，每人都得出不同的结果，那还能管这叫计算吗？
图灵
：如果你想给我们每个人 4 个小面包，你清点人数，一，二， 三，好了，然后你买了 12 个，这就是计数。
维特
：数出班里有多少人和数出一个五角形有 10 个交点，是两种计数。前一个不是数学命题，后一个是数学命题。在后一种情况下，你能说：根据定义，五角形有 10 个交点？
