五次方程里的英雄泪

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2017-02-17 10:03

正文

作者：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）

前两天，我们先后了解了《三次方程的求解之路》和《五次方程的征途》，有不少童鞋在后台留言想听“小贝”、“小伽”的故事，我们本次数学史连载的最后一期就讲讲这两位在人类科学史上熠熠生辉的数学明星。

地球诞生以来，从最早的智人到如今的人类，总数加起来大约有600亿人曾经生活在这个古老的星球上。每个人都像划破寰宇的一颗流星，在历史的天空中转瞬即逝。偶尔，天边会出现几颗耀眼的流星，给人类的文明洒下余辉后又悄然离去，然而，他们毕竟作为天空中最闪亮的那些星星，给人们留下过灿烂的光明。

在求解五次方程的道路上，就聚集过人类历史上最耀眼的数学明星。

不世天才阿贝尔

自从鲁菲尼的证明乏人问津以来，如何求解五次方程仍然在困扰着主流数学界，此时，年仅17岁的阿贝尔走上了数学的历史舞台。

尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel ，1802年~1829）

阿贝尔是挪威人，在他出生以前，父亲因为经商而家境显赫，不过父母婚后正赶上挪威和英国开战，父亲的贸易被迫中止，从此家道中落。

15岁那年，阿贝尔被父亲送进了教会学校。在那里，老师洪堡很欣赏阿贝尔的数学天赋，经常引导阿贝尔接触数学的一些前沿问题。

经过苦心钻研，阿贝尔在17岁高中毕业那年感觉自己已经解决了五次方程的求解问题，于是他将自己的证明过程写成论文让洪堡检查。

洪堡没有发现错误，于是将阿贝尔的证明递交给了两位专家审查。这份证明最后被数学家戴根看到，他要求阿贝尔写出一份详细严谨的推导过程。

此后，阿贝尔很快发现了一个无法修复的错误。尽管遭受了重大打击，阿贝尔却展示了卓越的数学天赋，其才华也被越来越多的数学家欣赏。

18岁那年，阿贝尔的父亲去世，在大学就读的阿贝尔愈加窘迫，幸运的是，得知他困境的数位大学教授共同出资支持他的大学生活。

阿贝尔终于不负众望，在21岁时证明了五次方程没有通项公式的表达解，其表述如下：一般五次方程的解不能通过简单的代数公式(即加减乘除和开方)表达出来，但也并不意味着其不能求解。

踌躇满志的阿贝尔将这份证明寄给了高斯，可惜高斯终其一生还是把它忽略了。直到高斯去世后多年，人们才在其书页夹层里发现了阿贝尔的这份原稿，并且强烈推荐挪威政府资助他。只是谁也未曾想到，这次旅程等待他的竟然是天妒英才的悲悯浩劫。

1825年9月，欧洲的科学大陆上第一次留下了年仅23岁的阿贝尔的身影。他先后游览了哥本哈根、柏林，最后于第二年的7月抵达了当时的世界科学中心之一：巴黎。

阿贝尔在巴黎呆了3个月以后终于完成了一篇关于超越函数性质的重要论文。他将这篇文章投稿给了当时的世界科学中心——法国科学院，大数学家傅里叶让柯西和勒让德审稿。然而两人都没有意识到这篇文章的重要性，勒让德只是将文章束之高阁，而柯西更是遗失了阿贝尔的论文。在穷困潦倒之下，没有等到科学院回信的阿贝尔被迫返程回挪威。

极其不幸的是，阿贝尔在归程途中染上了肺结核。他在病榻上又完成了另外一项惊世骇俗的工作：关于椭圆函数的研究。1827年6月，阿贝尔终于回到了挪威老家。回到挪威的阿贝尔只能依靠微薄的代课教职维持生计，而对五次方程的进一步研究也因为自身的情况搁置下来。

阿贝尔的一生充满坎坷，他21岁游历欧洲时遇到了未婚妻，两人还未成婚他就撒手人寰。临终前，他将未婚妻托付给了朋友，成全了他们的婚姻。

1829年4月6日，阿贝尔在饥寒交迫中去世。落后的医学没能挽救这位不世天才的生命。

百年悲情伽罗瓦

1826年冬天，翘首期盼法国科学院回复的阿贝尔最终却等来了肺结核，而在距他下榻的旅店10公里远的地方，另外一位天才也在琢磨着同样的求解问题，他就是五次方程求解过程中最具传奇色彩的伽罗瓦。

埃瓦里斯特·伽罗华（Évariste Galois，1811年~1832年）

1811年10月25日，伽罗瓦出生在巴黎近郊的一个知识分子家庭。12岁那年，伽罗瓦进了中学，并遇到了数学老师维纳。维纳十分重视伽罗瓦的数学天赋，推荐他尽早研读更专业的数学书籍。在老师的鼓励和自己的兴趣驱动下，16岁的伽罗瓦瞄准了当时数学界炙手可热的难题：寻找五次方程的解。

当时欧洲大陆的通讯相对闭塞，鲁菲尼和阿贝尔关于五次方程没有公式解的证明并没有广泛流传。这一次，由于伽罗瓦的加入，五次方程终于开启了全新的篇章。

之前阿尔贝已经证明五次方程的通项公式不能仅仅使用加减乘除和开根号表示出来。伽罗瓦进一步证明：哪些五次方程的解可以用简单的代数公式来表达，而哪些五次方程又不能。为了完美解答这个问题，伽罗瓦创立了石破天惊的群论，群论后来发展成为量子力学、固体物理等等前沿科学的根基。

伽罗瓦的论文在整理好以后很快由另一位欣赏他的高中老师理查德寄给了柯西。柯西在4年前曾经遗失了阿贝尔的论文，这次，伽罗瓦的论文也遭受了同样的命运：被柯西丢失。

17岁的伽罗瓦左等右等也不见回信，于是，他在1830年又提交了修改版的论文给法国科学院。这篇论文由傅里叶审稿，然而62岁的傅里叶在三个月后就撒手人寰，而伽罗瓦的论文从此又音讯全无。

1829年，伽罗瓦的父亲在选举中被人恶意中伤而自杀。伽罗瓦第二次报考巴黎综合技术学院，却因为名单已经被内定而名落孙山。无奈之下，他只能就读于巴黎综合技术学院下属的师范学院。

在入校后不久，年轻又冲动的他满怀热情地参加了革命，并且因为反对学校的教学制度很快就被开除。此后，伽罗瓦应征入伍，成了国民警察卫队的一员，这也成了他一生悲剧命运的转折点。

不久以后，伽罗瓦因为参与了暴力反抗而被逮捕，但很快又被无罪释放。生性正直的父亲的冤死，个人在政治上的不满，数学上的不得志，这一切让年轻的伽罗瓦只能在革命中发泄自己的怒火，他很快再次被抓。

在入狱两个月后，伽罗瓦被批准保外就医。在医院的康复中心，伽罗瓦遇到了自己的初恋：17岁的斯蒂芬妮，然而这份爱情没有给伽罗瓦带来生活的希望，却让他余生遍尝相思的痛苦。

1832年5月30日，伽罗瓦走到了人生的十字路口。因为与斯蒂芬妮的这段感情，伽罗瓦接受了两个共和党人的决斗要求。当天，伽罗瓦右侧腹部中弹。第二天上午10点，一代天才伽罗瓦遗憾离世。

伽罗瓦去世后，刘维尔读到了他的证明。在惊叹伽罗瓦的天才时，他积极推广了伽罗瓦关于群论的惊世思想。刘维尔的努力很快得到了回报，在伽罗瓦去世24年后，他的群论已经在德国和法国的大学里成为了高级代数的基本课程。

迟到的荣誉终于回归到了属于他的英雄。曾经开除伽罗瓦的巴黎综合技术师范学院，在其百年庆典上为他热情致辞，并且盛赞伽罗瓦的伟大成就。

在伽罗瓦去世77年后的1909年，这所师范学院的校长在伽罗瓦的墓前发表了题为“我的过失”的演讲，以此表达对他特别的敬意。

在演讲里，校长居里斯·坦内里哽咽地说道：“因为我的位置，我拥有演讲的荣誉，市长先生，感谢您允许我以这个学校的名义向天才伽罗瓦表示歉意。他原本不愿意进入这个学校，在这里他受到了误解还被驱逐。但是我们永远不能忘记，他是我们学校最绚丽夺目的那一颗星辰”。

在二百五十多年间，五次方程吸引了人类最杰出的数学大家，它的接力棒终于在阿贝尔和伽罗瓦那里跑到了终点。

这两位为五次方程贡献毕生才华的天才都是单亲家庭，幸运的是，他们在成长的过程中都遇到了伯乐。他们同时为一个问题废寝忘食，也都同时被法国科学院的失误所累，两人的论文都被柯西搁置和耽误，两人的爱情都坎坷无比——阿贝尔没能和相爱的女子相守一生就因病辞世，而伽罗瓦为相思暗恋的女子备受折磨，在绝望之中决斗身亡。

然而，世界不会忘记，曾经有两颗划破历史的耀眼流星，永远地在人类的文明历程中留下自己的熠熠光辉。

大数学家埃尔米特曾说：阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年；刘维尔也曾在众多场合宣布：回顾19世纪数学史，伽罗瓦的数学成就在开创性和概念的深邃方面无人能及。

享受着现代文明的人们，理应一面缅怀科学英才，一面追寻英雄的足迹，在真理的海洋里披荆斩棘、造福后人。

斯人已逝，思想永存。