对数

让计算变得简单

欧拉公式e^(iπ)+1=0，被称为数学中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五个元素还分别被比喻成射雕英雄传里的五大高手：东邪西毒南帝北丐中神通。

鉴于常常有人在后台问超模君，e和π为什么常常会出现在似乎不相关的领域？e和π之间有什么联系吗？e^π和π^e谁大？之类的问题。

今天超模君就给大家扒一扒e和π。

e的出身

说到e，又得提欧拉了，哪哪都有他，真是一个神奇的男子。自然数e正是以

Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的是Euler的首字母“e ”。

但，事实上第一个发现e的人不是欧拉，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），伯努利是不是很熟悉？

在17~18世纪，伯努利家族是一个学术世家，雅可比·伯努利是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。

扯远了，我们回到e。要去理解e的话，我们可以从生活中常见的例子讲起，就是银行利率与收益的问题。

假如你有1块钱存入银行，银行同意付给你100%的年利率。

那么当然到了一年后，你手里的钱就增长为（1+100%）=2块钱；

现银行同意按复利计算，把一年期的年利率拆成两个半年期利率50%，那么年底到手的钱为： （1+50%）×（1+50%）=2.25块钱；

现银行按照季度计算复利，那么年底到手的钱为： （1+25%）×（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）=2.44块钱；

我们可以看到分的越细，总收入越多。如果把这个复利计算过程继续细分，按天算，年底到手的钱为：

如果在细分为时分秒呢？经过迭代运算，可以得到一下数值：

可以发现结算利率期数n越大，年底到手的钱越多，最终无限接近e值。

也就是说， 本金一块钱定了，银行的年利率（100%）定了，无论分多少期结算利息，年底到手的钱无限接近一个值（2.7183）。

e的本质含义就是累积增长的极限 ，e写成高等数学微积分的形式，也是e的定义式为：

π的出身

说到圆周率就简单了，不就是圆的周长和直径的比值嘛。

圆周率π最早提出来是在1748年，欧拉的代表作《无穷小分析引论》出版，在这本著作里，欧拉建议用符号“π”来表示圆周率，并且直接在里面使用了π。在欧拉的积极倡导下，π才成为了圆周率的代名词。

这会又说到欧拉，请给我5秒钟，容我恰个饭。

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广告时间结束，话说回来！ 虽然π的定义很简单，但是关于圆周率的计算却历经了几千年，都还没有算到尽头呀。

最近的记录是今年，3月14日，谷歌宣布圆周率现已到小数点后 31.4万亿位。

关于圆周率的计算方法五花八门，甚至到了无奇不有的境界 （超模君在之前盘点过的算法传送门） 。

说到圆周率还有一个不得不提的人，就是我国的数学家祖冲之。

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。正确位数达7位数，在那个时候可以说是非常精准，在之后的900多年都没人打破记录。

祖冲之牛批！

e和π的那些事儿

讲完了e和π的出身了，那么e个π之间是否存在什么关系呢？

毕竟有时候会出现这样的现象：带e的定积分积出来里头有π，而三角函数的积分有一些积出来里头有e。

其实e和π在本质上是没有任何关系的。

之所以出现“带e的定积分积出来里头有π，而三角函数的积分有一些积出来里头有e”这种情况，是因为傅里叶展开与e有关的函数，如e^x或者lnx在傅立叶展开后都可以变成一个三角函数的级数，只要取好合适的积分区间自然会出现π。

加上欧拉用了一条公式把它们巧妙地连接在一起，那条公式就是非常出名的欧拉公式：e^(iπ)+1=0。这让很多人误以为，e和π本来就存在着某种关系。

也有人会不解：为什么e和π会常常出现在那些似乎不太相关的学科呢？比如说物理化学等学科。

那是因为涉及到微积分和指数对数的运算，e和π都喜欢来凑热闹。高斯曾经说过，数学是科学之王。王自然掌控这一切，数学掌控着科学。

e^π 和π^e哪个大？

说到了e和π，自然逃不掉e^π和π^e哪个大的问题。

超模君也准备了好几个比较的方法，最简单的方法当然是计算器啦，拿出你的科学计算器，输入e^π和π^e，即可得到对应的值：

显然，e^π要大于π^e。

好了，今天就讲到这了， 别闹，超模君才不会这么小儿科的方法了，下面给大家展示一下逼格稍微高一点的解题方法：

e的定义法 ，你看这名字，逼格就上来了，顾名思义，用e的定义去解题。

由

得

令

则

即

这个方法，看起来稍微有点复杂，没有那么好理解。

为了让大伙能看明白，那来个简单的 构造函数求导法：

设

求导得

在 严格单调递减，因此

可得

这个方法就容易理解一点了。在对比 e^π 和π^e的大小的方法中， 取对数求导法 才是最简单明了的计算方法。

18世纪， 欧拉 发现了指数与对数的互逆关系。 在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用来定义 ，他指出：“对数源于指数”。

对数曾经和解析几何、微积分被公认是17世纪数学的三大重要成就，许多科学家对对数的提出表示高度的赞扬。

这里的取对数求导法可见一斑。

先分别取对数

设

则

即

乍一看，e^π 和π^e的值相差很近，但用简单的加减乘除法根本无法完成大小的比较，对数的出现让这一切变得简单。

本来还以为 e^π 和π^e哪个大是什么大难题，这不很简单吗？搞得多难似的 ，超模君8岁的表妹都会比较了， 对比e^π 和π^e大小也就是一个一分钟不到的小问题嘛。

作者简介： 超模君 ，数学与交叉科学教育自媒体博主，中大数学博士，有俩崽崽和一洁癖的太太。 爱分享有用的数学建模知识，爱深挖有趣的交叉科学人物故事，爱为靠谱的现代教育、提升幸福感的产品打call。著有 《芥子须弥·大科学家的小故事》 、 《数学之旅：闪耀人类的54个数学家》 、 《漫画数学：闪耀人类的54个数学家》 、《一份钟数学》 （已售罄） 、《薛定谔的猫：漫画大科学家的小萌宠》 （已售罄）、 超模君幽灵魔方 、 超模君丙烯马克笔 等广受大人与孩子们喜爱的作品。

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