灵机一动 | 第320期 米鼠与唐鸭

本期问题来了

上期问题回顾

分析与解答

答案：下一个数是 311311222112，在后续的数里面不会出现4。

这个数列有人称之为“外观数列”，因为从第2项起每一个数都是对上一个数的描述。比如132112，从左至右它里面有“1个1，1个3，1个2，2个1，1个2”，把“个”字和逗号省略就成了 1113122112，正好是数列中 132112 的下一个数，其他数亦如此。

在 1113122112 中，从左至右它里面有“3个1，1个3，1个1，2个2，2个1，1个2”，所以，它的下一个数就是 311311222112。

在外观数列中，除了第一项，每一项都有偶数个数字，将这偶数个数字两两分组的话，每组第1个数字表示第2个数在上一个数中连续出现的次数。

外观数列有一个惊奇的性质，就是无论后续的数有多长，始终都不会出现 4 这个数字。下面我们就来说明这一点。

假设在某一个数中出现 4，那么在它的上一个数中一定存在 4 个连续相同的数字片段，记为 maaaan，这里 m、n 表示 aaaa 前一个数字和后一个数字，当然 m、n 也可能不存在。

将片段 maaaan 两两分组的话，有两种分法。

第一种分法：m aa aa n，表明在它的上一个数中有 a 个连续的 a，又 a 个连续的 a，相当于是 2a 个连续的  a，与 aaaa 的描述矛盾。

第二种分法：ma aa an，表明在它的上一个数中有 m 个连续的 a，又 a 个连续的 a，相当于是 m+a 个连续的  a，与 maaa 的描述矛盾。

这就说明了在外观数列中始终不会出现 4，当然大于 4 的数也不会出现。

不过这里要吐槽一下的是，如果允许外观数列的第一个数是 4 的话，后续每一个数中都会出现 4 啦，而且 4 永远只会出现在每一个数的最后一位。

4

14

1114

3114

132114

1113122114

311311222114

……

当外观数列中第一个数 a 取 4~9 中的任意数，那么在后续的数中，每一个数的最后一位都是 a，除此之外再没有大于 3 的数出现。

注：关于外观数列的其他性质，推荐阅读今天的头条文章《Conway常数是怎么得来的？》

- END -