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一个数学玩笑

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2021-05-29 11:15

正文

作者 | 陈永明

来源 |《写给青少年的数学故事（上）：代数奇思》，陈永明著，人民邮电出版社，2021年1月

在1975年《科学美国人》的4月号上，数学游戏专栏作家马丁·加德纳推出了一个“定理”：

是一个整数。

式中的e等于2.718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49…同π一样，是一个著名的无理数，不过e在对数和高等数学中用得多一些。

如果这个命题正确，那么人们就找到了一个联结两个重要的无理数π和e的简单关系式。法国巴黎有个“发现宫”，其中有一个数学陈列室，在古代数学展览室与近代数学展览室之间的墙壁上写着一个式子：。这个式子表示了e与π之间的关系，这已经是很了不起的事了。但是这个式子中包含了一个复杂的因素——复数i，没有来得简单明白。而且，由三个无理数e、和组成的这个数竟然是整数，实在让人吃惊。

《科学美国人》杂志的读者中有不少数学爱好者，一开始，他们企图用袖珍计算器进行验算，但是马上发现验算无法进行，因为这个结果太大，计算器用科学记数法给出了答案，它是2.625 374 1× ，无法判断它是不是整数。

有人用电子计算机验算，一开始，他们算出具有20位有效数字的结果：

N=262 537 412 640 768 743.99

这个0.99是十分模糊的东西，它说明N可能不是整数，也可能是整数，是计算造成了这0.01的误差。没有办法，必须再算得精确些，算到25位有效数字！结果是

N=262 337 412 640 768 743.999 999 9

糟糕，仍是一个捉摸不定的结果。

直到算出33位有效数字时，这才水落石出，真相大白。这时计算机告诉我们，

N= 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 250

这说明N根本不是一个整数！

原来，4月1日是西方的愚人节，在这一天，开玩笑无罪。这个“定理”就发表在4月1日，是马丁·加德纳跟读者开的一个玩笑。

这个问题是由印度的“奇才”、数学家拉马努金首先提出的，当时他怀疑N是个整数。问题经马丁·加德纳一推广，影响就大了。有人认真地去计算，也有人以讹传讹，直到1991年，《数学趣闻集锦》一书 (作者是美国人 T.帕柏斯，这本书直到1996年还在重印) 还声称“美国亚利桑那大学的约翰·布里洛证明了这个数等于262 537412 640 768744”。不过该书的作者谨慎地加了一句话：“他真的证明了吗？” (在该书被译为中文版时，译者纠正了这个错误。) 可见，这个玩笑被误传到了什么程度。