来源 | 图灵社区，遇见数学

数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念。

——经济学家亚当·斯密

很多人讨厌数学，是因为它太复杂太抽象，可数学之所以被创造出来，却是为了解决我们生活中的具体问题。为了看清数学这门学问的本来面目，我们有必要回到它的起始点，在从未开化人变成数学家的道路上再走一遍。

不要觉得自己数学不好而打退堂鼓，即使是讨厌数学、对计算觉得棘手的人，实际上也是懂得相当多的数学、很会应用数学的人。只要想一下在每天的报纸上出现多少数字就明白了。 站在未开化人当中，我们就是第一流的数学家。

▌数的黎明

从前——距现在大约50万年，在现在北京郊外周口店的洞穴里，居住着人类的祖先北京猿人。从他们遗留下来的石器和动物的骨骼，可以大致知道他们从事什么样的劳动，吃什么样的食物。但是要推测他们懂什么数学就非常困难了。为什么呢？因为数这个东西是无形的，没有一种直接了解的线索。

但这并不是说就没有一种间接的线索，去了解人类在太古时期如何建立数字或图形的知识。这线索就是考察在文明进步中遗留下来的未开化人的数学，另外就是观察在幼儿当中，数的概念是怎样建立的。

首先产生的问题是，除了人类以外是否真有动物了解数？

有人认为鸟知道数。例如，杜鹃悄悄把自己的蛋产到黄莺的巢里，让黄莺替它孵蛋，它会把和自己的蛋数相同的黄莺蛋去掉。从这个事实来看，人们自然会产生这样的疑问：鸟不是会数数吗？德国的动物学家奥·凯拉作了鸟能数到什么程度的试验。但是以往这种试验，由于准备不充分，结果难以信赖。从前也曾有过这样奇怪的事情——马戏团的马因为会计算而闻名，可仔细研究一下就知道，是马的主人在不知不觉中送出一个什么信号，然后敏感的马回应了这个信号。

凯拉为了防止一些杂音混进来，把小鸟放到一个院子里，让小鸟和实验者彼此都看不见，小鸟的动作用照相机自动拍下来。

实验对象就是乌鸦和鹦鹉。在鸟的前面放五个箱子（见图1），箱子盖上画着标记点，分别是2,3,4,5,6。箱子前面也放着画有标记点的盖子。预先让鸟作挑出与盖子上标记点相同的箱子的练习。经过充分练习之后，再让鸟作挑出同样数目的试验时，鸟能够出色地取得成功。而且即使把五个箱子的排列方法作各种变化或改变标记点的画法，也不会失败。

图1

上面的试验是让鸟同时认标记点的个数。接着又作了按时间顺序数数的试验，先让乌鸦作这个练习，就是从许多食饵中按特定的数，例如取5个食饵来吃。取食的时候，摆好几个内部装有食饵的小箱，而顺序放入这些小箱里的食饵的数量是1,2,1,0,1，......这个试验就是把箱子打开，让鸟只吃5个食饵。当吃的食饵少于5个时，就必定让乌鸦回笼子去。

这样一来，就会有惊人的事情发生。当鸟吃完装有一个食饵的第1箱以后，它就点一下头（见图2），吃完装有两个食饵的第2箱以后就点两下头，第3箱吃完点一下头，对空着的第4箱就不闻不问地跳过去，到吃完第5箱之后又点一下头，然后，据说脸上好像是“我吃完了”的样子，对第6箱不予理睬就离开了。

图2

点头的次数就是箱子里的食饵数，也许这是乌鸦预先记住食饵的数目，知道是不是够数吧。从这样的试验来看，会数数的不仅是人呢。我们人类的优越感就只好化为乌有了。

但是只凭这一点就断定鸟类知道数似乎还早了一些。为什么呢？这是因为要说知道数，必须有几个条件。我们看看这些条件吧。

▌一一对应

英国的数理哲学家巴特兰多·拉赛尔说：“要觉察到两天的2和两只雉鸡的2是同样的2，需要有无限长的岁月。”确实像拉赛尔说的那样，2这个数对于两个鸡蛋、两条狗、两个人、两只鸟、两本书都是共同的，所以即使把两个鸡蛋换成两棵树，2还是有没有变化（见图3）。

图3

像这样把一个一个的鸡蛋和一棵一棵的树联系起来就叫做一一对应。但即使一一对应起来，2还是不变的。我们利用一一对应而数不变的这件事，就想出一种用容易数的东西来替换不容易数的东西。据说丰臣秀吉为了数山上的树木，就在每棵树上系一根绳头儿，然后再数这些绳头儿。这就是把树的集合以一一对应的方法转换为绳头儿的集合，然后再数。另外，根据一位旅行家的手记，说在马达加斯加岛，为了数有多少士兵，让每一名士兵走过队长面前时，投下一粒石子，然后数那堆石子。这也是因为士兵的集合与小石子的集合是一一对应的。寿司店在顾客每吃一个寿司饭团时，就在柜台上粘一个饭粒，以此来数吃过的寿司饭团数，这也是利用了一一对应而数不变的原则。

可是杜鹃知道这件事吗？它即使能找到与自己的蛋数相同的黄莺的蛋，那也是因为这两种蛋很相像吧。它似乎不会想到3个蛋与3棵树是同样的3。

不仅是鸟，很小的孩子好像也不知道这事。瑞士的心理学家皮亚杰做了以下的实验。把几个花瓶和一些花给一个5岁零8个月的孩子，让他在每一个花瓶里插一枝花。接着再把花拢在一起，问他是花多还是花瓶多，孩子回答说是花瓶多，因为把花拢在一起，能看见的少了（见图4）。

图4

把花一枝一枝地插在花瓶里就是一一对应的事，可是这个孩子却想不到花瓶与花的数目是相等的。我们必须认为这个孩子对于一一对应而数不变的事还不明白，如果人在孩提时代还不懂数是一一对应而不变的话，那么鸟或者蜜蜂就更不懂了吧。

▌分割而不变

和把蛋换成完全不相同的树枝不一样，我们知道“把某个集合分成两个部分或更多时，其总数仍不变”，这是知道数的第二个条件。这是因为把装在一个容器里的玻璃球移到形状不同的另一个容器中时，其数目是不变的。

即使再分到两个容器里，总数还是不变的。这也是皮亚杰的实验，四五岁左右的孩子好像不明白虽然分割而数不变的原则。让五岁半的孩子把一个容器里装的玻璃球分装到两个容器时，孩子说玻璃球比原来多了。这大概是因为孩子被两个容器迷惑了。

据说，开始知道不论分割还是合并，玻璃球的总数是不变的这件事，是在孩子6岁到7岁左右。

第三个条件是“即使改变计数的顺序，数也不变”。

盘子里放着玻璃球，不论以什么顺序来数，答案都是一样的。7个人的家庭，按年龄顺序从祖父、父、母……数起是7个人，从最小的孩子开始数也是7个人。也就是说，不论怎样改变计数顺序，数是相同的。

据说很小的孩子也不知道这一点。把两种东西的集合按照某种顺序一一对应时，要是把其中一种集合的顺序打乱，孩子就会奇怪为什么数还是一样的。

下面这种抽签方法就是利用了这一事实。这个抽签是给A，B，C，D四个人标上1，2，3，4号。首先在A，B，C，D与1，2，3，4之间各连一条直线。在直线之间随意画上一些横线（见图5）。图5预先规定好，碰到横线和竖线的交点就必须向下或向左右拐弯。A和B之间画一条横线就改变了A和B的顺序。横线虽然起到交换两个文字的作用，可是文字的总数绝不会变，所以用不着担心从A出发的人没有地方可去。4这个数不会因顺序的交替而变化。当然这不仅是4，100也好，1000也好，都是同样的。这样用一一对应来替换、分割或改变顺序而不变的东西就是数。

图5

▌数的语言

假设搞清楚了数的一一对应，就能知道分割、改变顺序时数是不变的，就是知道了数，也就没有必要另外去了解数的语言了。即便能说出一个大数，也就是掌握了数词，也未必能说明一个民族的数的思想就很发达。通古岛居民掌握了10万以内的数词，但文明程度却极为低下，他们还不知道数的一一对应，也不知道分割或改变顺序时数是不变的。幼儿也能够机械地数到100或数到1000，但仅仅这些还不能说是很清楚地具备了数的思想。

但是，以上这些实属例外。一般来说，文明程度低下的种族掌握的数词也都是很小的数。

一个极端的例子就是南美玻利维亚的契基特族，他们只知道相当于1的数词叫“埃塔玛”。当然，即使是契基特族的“埃塔玛”，也可以运用到一个人、一支枪或一条狗。与不会语言的动物来比，已经是天壤之别了。

还有，在亚马孙河流域的洋柯族也是把2这样一个数词说成是“波埃塔拉林科阿洛阿库”，这是由于使用2这个数的机会不多，所以流传下来这么长的数词。如果经常使用2，就一定会用个更为简单的数词。

▌数词的发展

即使是未开化人，像契基特族或洋柯族那样也是极少见的，要是生活水平稍微提高一点，就会掌握更多的数词。

例如，英属新几内亚的比由基莱族就掌握了以下的数词：

1——塔兰杰萨

2——米塔•基那

3——格基米塔

4——托潘

5——曼达

6——格本

7——托兰库金贝

8——佰达依

9——恩格玛

10——达拉

据说这些都是身体各部分的名称。把数和身体各部分联系起来进行计数，用这种方法可以数到几百，可是要记住它们决不是件容易事，那就得过度使用记忆力了。

面对这种困难，人们就想到不是一个一个地给数命名，而是把一定的数归纳成一束来命名的方法。最初出现的好像是每两个数归成一束，这就是二进制的萌芽，它的原产地却是人们称之为最落后的未开化状态的澳大利亚大陆。

研究一下澳大利亚波特玛凯地方的方言，就是

1——瓦尔布尔

2——布莱拉

3——布莱拉•瓦尔布尔

把3说成是布莱拉•瓦尔布尔(2+1)，所以我们可以知道这就是把2归成一束。维因梅拉地方的数词更先进一些，那是

1——凯亚布

2——波立特

3——波立特•凯亚布(2+1)

4——波立特•波立特(2+2)

这些例子确实都包含着“逢2归1”的非凡的想法。但这是有意识地做的呢，还是因为想节约数词而歪打正着的呢，就不得而知了。当然节约是数学的重要想法之一，这是事实。

若把“归束计数”的想法作为数学史的起点，二进制也仍然是最幼稚的数词，除澳大利亚之外是极少见的。当然，现代的文明国家里也没有一个国家使用二进制。

但是，如果有人不屑地认为二进制是完全不足取的计算法，那就有点过早地下结论了，这是因为最新式的电子计算机都在使用二进制。即使是用十几个小时就能把圆周率3.141 59…的值计算到2000位数的大型电子计算机，也是把十进制的数字翻译成二进制之后再计算的。

二进制在历史上的各个时期曾经多次出现过。中国古代的《易经》也是基于阴阳两种东西的对立，自然也与二进制有关系。

此外，在发掘古代印度河流域的繁荣都市时，据说从宝石商店的遗址和类似的地方发现了以1，2，4，8，16，32，64为重量比例的砝码。这些也都清楚地说明了古人曾经使用过二进制。

热心主张二进制的人，就是那位伟大的哲学家、数学家莱布尼茨(1646—1716)。

根据二进制，所有的数都可以用0，1两个数字来写。例如下面这些数

1——1

2——10

3——11

4——100

5——101

…

莱布尼茨似乎注意到这件事。因为他认为1象征神，0象征虚无，是神和虚无创造了整个宇宙。他把自己的空想写了下来，送给当时派遣到中国的杰西特派的传教士，并叫他交给中国的皇帝，劝中国皇帝改信仰为基督教。

二进制之所以用在电子计算机上，就是基于电流有“流”与“不流”的两种情况。

图6电子计算机的原理很简单，可以说是一个珠的算盘。但是用不着重新制造一个珠的算盘，只要利用普通算盘的上珠就可以了，38用二进制来写就是100 110，这一个珠的算盘就是如图6所示的样子。

图6

二进制的加法极其简单：

记住以上四种情况，把它们加以组合，什么样的加法都可以。例如：

进位的计算本来很简单，但在二进制里却是非常之多，这也没有办法。

乘法的“九九表”也极简单，只不过是

写成表格,就是表1。

表1

全部只有四个。对于懒得记忆的人来说，二进制是最合适的算法了。

“20门”的原理就是二进制的一个例子。这个游戏就是重复20次“是”和“不是”来猜中一件事。如果把“是”作为1，“不是”作为0，就可以翻译成二进制的语言。要用二进制来猜对20位数，只要把是0还是1的问题重复20次就可以。所以“20门”在数学上是和猜中20位的数一样。开始时有一个还不知道的20位数。对于每一问，就可以知道一位数字，是0还是1（见图7）。