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灵机一动 | 第309期孤立路

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2017-09-14 07:20

正文

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 309

孤立路

甲从 A 到 B，乙从 C 到 D，两人每一次都只能向上或者向右，如果两人的线路不相交，则这两个人就走了孤立路，那么不同的孤立路一共有几种？

★ 右下角 写留言 开始答题，鼓励大家把思考的过程写出来。

★ 如果想不出来，可以转发朋友圈向朋友求助哦！答案将在下期公布。

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上期问题回顾

NO. 308

擦擦数

黑板上有11个1，22个2，33个3，44个4，做以下操作：每次擦掉3个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写2个。例如：某次操作擦掉1个1，1个2，1个3，那就在写上2个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下3个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下哪3个数？

分析与解答

答案：最后剩下的3个数为2，2，3。

初始状态时，1、2、3、4这四个数的个数分别为11、22、33、44，共计110个，每一轮操作都是擦掉三个再增加两个，相当于每一轮总数减1，由最后剩下3个数可知一共擦数107轮。

接下来，我们考察每一轮操作之后，四个数的个数除以3的余数是否有什么规律。

容易知道，初始状态时四个数的个数除以3的余数分别为2、1、0、2。每一轮操作，每一个数的个数不是减1，就是加2，而无论是减1，还是加2，它们除以3的余数是一样的。例如，11减1之后除以3的余为1，而11加2之后除以3的余数也是1，等等。所以，第一轮操作之后，四数的个数除以3的余数变为1、0、2、1。同理，第二轮操作之后，四数的个数除以3的余数将变为0、2、1、0，第三轮操作之后，余数又变回初始的2、1、0、2，依次循环……