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柯西不等式的变体——减号柯西不等式

高考数学左老师 · 公众号 · 初高中 · 2019-10-27 20:00

正文

今天一位微信昵称为“充实每一天”的读者朋友，问到下面这张图：

他的问题是：请问这里使用的是什么不等式？

柯西不等式

读者朋友们都知道二维的柯西不等式.

(a^2+b^2)（c^2+d^2）≥（ac+bd）^2.

取等条件是ad=bc.

证明起来也容易.

方法1：用向量法证明——数量积小于模长乘积

方法2：用代数法证明——展开作差

从证明过程能够看出，取等条件是ad=bc.

减号柯西不等式

这个朋友问到的不等式长这样：

（a^2-b^2）（c^2-d^2）≤（ac-bd）^2

老实说，和柯西不等式关系不大，只是和柯西不等式长的神似——把加号全部换成了减号，同时不等号反向了.

如果一定追根溯源的话，它是Aczel不等式的简单形式，不管了.

证明也不难.

从证明过程能够看出，取等条件依然是ad=bc.

既然和柯西不等式长的这样像，取等条件也一样，不妨叫做——减号柯西不等式吧.