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展示数学美丽和力量的11个方程式，你最喜欢哪一个？

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2019-08-22 15:20

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翻译小组成员介绍: 劉雄威

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数学方程式不仅有用，而且非常漂亮。许多科学家承认，他们常常喜欢某些公式，不仅因为它们的实用，还因为它们的形式及其所包含的简单、诗意的真理。

虽然某些著名的方程式为大众所熟知，如阿尔伯特爱因斯坦的E=mc²，但许多不为人知的方程式却仅仅被科学家视为珍宝。 LiveScience向物理学家、天文学家和数学家询问他们最喜欢的方程式，于是发现了：

▌广义相对论

上述方程是爱因斯坦在1915年作为其开创性的广义相对论的一部分而提出的。这一理论通过将引力描述为时空结构的扭曲，彻底改变了科学家对引力的理解。

空间望远镜科学研究所的天体物理学家马里奥·利维奥（MarioLivio）说： “有一个这样的数学方程可以描述时空的一切，这对我来说仍然是匪夷所思的。 ”所有爱因斯坦的真正的天才都体现在这个方程式中。

利维奥解释说： “这个方程式的右侧表示我们宇宙的能量含量（包括推动当前宇宙加速度的‘暗能量’）。左侧表示时空的几何结构。这个方程反映了这样一个事实：在爱因斯坦的广义相对论中，质量和能量决定了几何结构，同时也决定了曲率，即我们所谓的重力的一种表现形式。

“这是一个非常优雅的方程，”纽约大学的物理学家凯尔·克兰默（Kyle Cranmer）说，他补充道，“这个方程揭示了时空、物质和能量之间的关系。这个方程告诉你它们是如何联系的——太阳的存在如何扭曲时空，使地球在轨道上绕着它运动等等。它还告诉你宇宙是如何从大爆炸开始演化的，并预测应该存在黑洞。 ”

▌标准模型

另一个物理学的主要理论，也就是标准模型，描述了目前被认为构成我们宇宙的基本粒子的集合。

这个理论可被概括到一个称为标准模型拉格朗日方程中（以18世纪法国数学家和天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名），这个方程是加利福尼亚州SLAC国家加速器实验室的理论物理学家兰斯·迪克森（Lance Dixon）选择的，也是他喜欢的公式。

迪克森告诉LiveScience说：“它成功地描述了迄今为止我们在实验室观察到的所有基本粒子和力，除了重力。”当然，所描述的基本粒子包括公式中最近发现的希格斯玻色子phi。它完全符合量子力学和狭义相对论。”

然而，标准模型理论还没有与广义相对论相结合，这就是它不能描述重力的原因。

▌微积分

虽然前两个方程描述了我们宇宙中特定的具体事物，但另一个我们喜欢的方程可以应用于普遍的抽象事物。微积分的基本定理构成了称为微积分的数学方法的主干，并把它的两个主要思想，积分的概念和导数的概念联系起来。

“简单地说，这个方程表示在给定的时间间隔内，平滑和连续的量（如行驶距离）的净变化等于该量变化率的积分，即速度积分”，福特汉姆大学数学系主任梅尔卡纳·布拉卡洛娃·特雷维希克（Melkana Brakalova-Trevithick）选择了这个方程作为自己的最爱，她说，“微积分基本定理（FTC）使我们能根据某个区间的变化率来确定该区间的净变化。 ”

微积分的起源于古代，但大部分微积分都是17世纪牛顿用微积分来描述行星围绕太阳的运动时才被提出的。

▌勾股定理

每个刚开始学几何的学生都会学习的“老套但好用”的方程式，便是著名的毕达哥拉斯定理。

这个公式描述了对于任何直角三角形，斜边长度的平方c（直角三角形的最长边）如何等于其他两条边（a和b）长度的平方和。因此，a^2+b^2=c^2。

康奈尔大学的数学家戴娜·泰米娜（Daina Taimina）说： “第一个令我吃惊的数学定理就是毕达哥拉斯定理。 ”那时我还是个孩子，在我看来，它在几何学中起作用，在数字中起作用，真是太神奇了！ ”

▌1 = 0.999999999….

康奈尔大学的数学家史蒂芬·斯特罗加茨最喜欢这个简单的式子，它表明0.999...这个无限循环小数等于1。

斯特罗加茨（Strogatz）说： “我喜欢它的原因是它如此地简单——每个人都理解它说的话——但它是多么的挑衅。很多人不相信这是真的。它也非常平衡。左边代表数学的开始，右边代表无穷大的奥秘。 ”

▌狭义相对论

爱因斯坦再次用狭义相对论列出了这个公式，它描述了时间和空间不是绝对概念，而是相对的，取决于观察者的速度。上面的公式显示了一个人在任何方向上移动的越快，他的时间便膨胀或减慢。

“关键是它非常简单，”日内瓦CERN实验室的粒子物理学家比尔·默里（Bill Murray）说“没有什么是一个优等生不能解决的，何况这个式子没有复杂的导数和矩阵的迹。但它所体现的是一种全新的看待世界的方式，一种对现实的整体态度，以及我们与现实的关系。突然间，僵硬不变的宇宙被冲走，取而代之的是一个由你的视角决定的个人世界。就像你在宇宙之外，看到宇宙内部组成的一部分。而任何想要了解这个宇宙的人都能通过这些概念与公式得以瞥见。 ”

默里说，他更喜欢狭义相对论方程，而不是爱因斯坦后期理论中更复杂的公式。 ”我可能永远也学不会广义相对论的数学。 ”他说。

▌欧拉方程

这个简单的公式包含了一些关于球体性质的内容：

马萨诸塞州威廉斯学院的数学家科林·亚当斯（Colin Adams）说： “如果你把一个球体的表面经切割得到面、边和顶点，并令F为面数，E为边数，V为顶点数，那么你总是得到V–E+F=2。 ”

亚当斯解释说： “以四面体为例，四面体由四个三角形、六个边和四个顶点组成。 ”r如果你用力地给这个四面体内部吹气，这个四面体就会膨胀成一个球体，从这个意义上说，一个球体可以被切割成四个面，六个边和四个顶点。我们看到V–E+F=2。同样的道理也适用于有五个面的金字塔，它有四个三角形、一个正方形、八条边和五个顶点。 ”其他几何体也一样。

“这是一件非常酷的事情！顶点、边和面的关系可能揭示着球体的一些基本性质”亚当斯说。

▌欧拉-拉格朗日方程和诺瑟定理

纽约大学的克兰默（Cranmer）说： “这些在物理学的重要革命中（比如量子力学和相对论）流传下来的对物理学的思考方式非常有意思，这些思考方式虽然很抽象，但却非常强大。 ”

这里，L代表拉格朗日量，拉格朗日量是物理系统中能量的度量，这些物理系统包括弹簧、杠杆或基本粒子等。 ”解这个方程可以得出系统将如何随时间的变化而变化，”克兰默说。

20世纪德国数学家艾美·诺瑟（Emmy Noether）由拉格朗日方程发展出了诺瑟定理。克兰默说： “这个定理实际上是物理学和对称性作用的基础。 ”通俗来讲，这个定理是，如果一个系统是对称的，那么就有一个对应的守恒定律。例如，今天物理学的基本定律与明天的相同（时间对称性）的观点意味着能量是守恒的。物理学定律在这里和在外层空间中一样的观点意味着动量是守恒的。对称性可能是基础物理中的驱动概念，这主要是由于诺瑟的贡献。 ”

▌凯伦-赛曼兹克方程

罗格斯大学的理论物理学家马特·斯特拉斯勒（Matt Strassler）说： “凯伦-西蒙兹克方程是1970年出现的一个至关重要的第一原理方程，它强调了量子世界中那些天真的观点是如何错误的。 ”

这个方程有许多应用，包括使物理学家对组成原子核的质子和中子的质量和大小进行估计。

基础物理学告诉我们，两个物体之间的重力和电力，与它们之间距离的平方成反比。简单来讲，同样的道理也适用于强大的核力，核力把质子和中子结合在一起形成原子核，把夸克结合在一起形成质子和中子。然而，微小的量子涨落可以稍微改变一个力对距离的依赖性，这对强大的核力有着巨大的影响。

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