卷积核的基本概况

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在机器学习篇章中，我们简单介绍了卷积核，今天，我们借助知乎的一篇文章，梳理一下对卷积核一些基本情况。

什么是卷积核

在数学上，卷积核的标准定义是 两个函数在反转和移位后的乘积的积分：

其中，函数g一般称为 过滤器(filters) ，函数f指的是 信号/图像 。在卷积神经网络里，卷积核其实就是一个过滤器，但在深度学习里，它不做反转，而是直接 执行 逐 元素的乘法和加法 ，我们把这个又称为 互相关 ，在深度学习里称为 卷积。

那为什么在图像处理上，需要进行卷积处理呢。实际上是借鉴于科学家的研究结果——上个世纪科学家就发现， 视觉皮层的很多神经元都有一个小的局部感受野，神经元只对有限区域的感受野上的刺激物做出反应 。 不同的感受野可以重叠，他们共同铺满整个视野。并且发现，一些神经元仅仅对横线有反应，有一些神经元对其他方向的线条有反应，有些神经元的感受野比较大 。因此， 高级别的神经元的刺激是源于相邻低级别神经元的反应 。

利用这个观点，经过不断的努力，逐渐发展成了现在的卷积神经网络。 通过卷积核提取图像的局部特征 ，生成一个个神经元，再经过深层的连接，就构建出了卷积神经网络。

我们已经知道，一个卷积核一般包括 核大小(Kernel Size) 、 步长(Stride) 以及 填充步数(Padding) ，我们逐一解释下。

卷积核大小 ：卷积核定义了卷积的大小范围，在网络中代表感受野的大小，二维卷积核最常见的就是 3*3 的卷积核。一般情况下， 卷积核越大，感受野越大，看到的图片信息越多，所获得的全局特征越好 。但大的卷积核会导致计算量的暴增，计算性能也会降低。

步长 ：卷积核的 步长代表提取的精度 , 步长定义了当卷积核在图像上面进行卷积操作的时候，每次卷积跨越的长度。对于size为2的卷积核，如果step为1，那么相邻步感受野之间就会有重复区域；如果step为2，那么相邻感受野不会重复，也不会有覆盖不到的地方；如果step为3，那么相邻步感受野之间会有一道大小为1颗像素的缝隙，从某种程度来说，这样就遗漏了原图的信息。

填充 ：卷积核与图像尺寸不匹配，会造成了卷积后的图片和卷积前的图片尺寸不一致，为了避免这种情况，需要先对原始图片做边界填充处理。

卷积的通道形式

所谓的通道数，可以理解为 有多少张二维矩阵图 。

• 单通道形式

对于具有1个通道的图像，下图演示了卷积的运算形式：

这里的filter是一个3*3矩阵， 步长是1，填充为0。filter在输入数据中滑动。在每个位置，它都在进行逐元素的乘法和加法。每个滑动位置以一个数字结尾，最终输出为3 x 3矩阵。

• 多通道形式

多通道也很容易理解，最典型的就是处理彩色图片，一般有三个通道（RGB)：

实际上，一个filter也可以包含多个矩阵，也即kernels，比如一个包含三个kernels的filter，对于输入是三个通道的图像：

这里输入层是一个5 x 5 x 3矩阵，有3个通道，filters是3 x 3 x 3矩阵。首先，filters中的每个kernels分别应用于输入层中的三个通道，执行三次卷积，产生3个尺寸为3×3的通道。

然后， 将这三个通道相加（逐个元素相加）以形成一个单个通道（3 x 3 x 1），该通道是使用filters（3 x 3 x 3矩阵）对输入层（5 x 5 x 3矩阵）进行卷积的结果：

由此，我们引出卷积核的另外一个参数—— 输入输出通道数。

输入和输出通道数 ：卷积核的输入通道数由输入矩阵的通道数所决定（输入深度）；输出矩阵的通道数由卷积核的输出通道数（卷积层深度，即多少个filters）所决定。

2D卷积与3D卷积

上面的多通道过程解释的详细点：

假设输入层有 Din 个通道，而想让输出层的通道数量变成 Dout，我们需要做的仅仅是将 Dout个filters应用到输入层中。每一个filters都有Din个卷积核，都提供一个输出通道。在应用Dout个filters后，Dout个通道可以共同组成一个输出层。

我们把上面的卷积过程称为 2D-卷积—— 通过使用Dout个filters，将深度为Din的层映射为另一个深度为Dout的层。

进一步，我们给出2D-卷积的公式：

特别的，对于卷积核，如果w=h=1，那么就退化为1*1卷积核，它具有以下三个优点：

• 降维以实现高效计算
• 高效的低维嵌入特征池
• 卷积后再次应用非线性

下图是一个例子：

在一个维度为 H x W x D 的输入层上经过大小为 1 x 1 x D 的filters的 1 x 1 卷积，输出通道的维度为 H x W x 1。如果我们执行 N 次这样的 1 x 1 卷积，然后将这些结果结合起来，我们能得到一个维度为 H x W x N 的输出层。

通过将2D-卷积的推广，在 3D-卷积 定义为 filters的深度小于输入层的深度（即卷积核的个数小于输入层通道数）

因此，3D-filters需要在三个维度上滑动（输入层的长、宽、高）。在filters上滑动的每个位置执行一次卷积操作，得到一个数值。当filters滑过整个3D空间，输出的结构也是3D的：

2D-卷积和3D-卷积的主要区别为filters滑动的空间维度，3D-卷积的优势在于描述3D空间中的对象关系,它的计算过程是：

卷积核的种类

除了普通的卷积操作外，也有一些变种，本文我们先介绍概念，对于每一种卷积的作用，我们会再出文章介绍。

• 转置卷积（反卷积）
  

一般正常卷积称为下采样，相反方向的转换称为上采样。 转置卷积是相对正常卷积的相反操作，但它只恢复尺寸 ，因为卷积是一个不可逆操作。下面通过一个例子来说明转置卷积的具体操作过程。

假设一个3*3的卷积核，其输入矩阵是4*4的形状，经过步长为1，填充为0的卷积结果为：

转置卷积过程为，第一步，将卷积核矩阵重新排列为4*16形状：

第二步，将卷积结果重新排列为1维行向量：

第三步，将重排矩阵转置后与行向量转置后相乘，得到16个元素的1维列向量：

第四步，对列向量进行重排为4*4的矩阵，得到最终结果：

这样就通过转置卷积将2x2的矩阵反卷为一个4x4的矩阵，但从结果也可以看出反卷积的结果与原始输入信号不同。只是保留了位置信息，以及得到了想要的形状。

• 空洞卷积（扩张卷积）

空洞卷积也叫扩张卷积， 指的是 在正常的卷积核的点之间插入空洞 。它是相对正常的离散卷积而言的，对于步长为2，填充为1的正常卷积如下图：

插入空洞后，卷积过程变为：

空洞卷积通过 空洞率(dilation_rate) 控制，上图是空洞率为2的情况。

• 可分离卷积

可分离卷积分为 空间可分离卷积 和 深度可分离卷积 。

空间可分离卷积有个前提条件，就是卷积核可以表示为两个向量的乘积：

这样， 3x1的kennel首先与图像进行卷积，然后应用1x3的kennel。在执行相同操作时 ，可以减少参数数量。所以，空间可分离卷积节省了成本，但是一般不使用它做训练，而 深度可分离卷积 是更常见的形式。

深度可分离卷积包括两个步骤： 深度卷积 和 1*1卷积. 下面是一个深度可分离卷积的例子：

对于形状是7*7*3的输入层，有3个通道。

第一步在输入层上应用 深度卷积 。我们在2D-卷积中分别使用 3 个卷积核（每个filter的大小为3*3*1），每个卷积核仅对输入层的 1 个通道做卷积，这样的卷积每次都得到大小为5*5*1 的映射，之后再将这些映射堆叠在一起创建一个 5*5*3 的特征图：

第二步进行扩大深度 。 我们用大小为1*1*3 的卷积核做1x1卷积。每个 卷积核对5*5*3 输入图像做卷积后都得到一个大小为5*5*1 的特征图， 重复做128次1*1卷积，就得到了最终的结果：

从本质上说， 深度可分离卷积就是3D卷积kernels的分解（在深度上的分解），而空间可分离卷积就是2D卷积kernels的分解（在WH上的分解）

• 分组卷积

分组卷积，顾名思义，filters被拆分为不同的组，每一个组都负责具有一定深度的传统 2D 卷积的工作。

比如下面这张图就展示了分组卷积的原理：