从勾股定理的证明看《几何原本》的两个特点

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作者 | 刘瑞祥

来源 | 数学赏析

勾股定理位于《几何原本》第一卷命题47。它和紧随其后的逆命题构成了第一卷最后两个命题。从这个命题的重要性上来说，说整个第一卷前面都是为这一命题作准备，或者更确切的说，第一卷在这里达到了高潮，并不为过。从这个著名定理的证明过程中，我们可以一窥《几何原本》的思想和风格。以下所说命题均指第一卷。

一、先保证“存在”，再究其“性质”

尺规作图不仅是初等几何的重要组成部分，在《几何原本》里还是证明图形存在性的重要手段。

在欧几里得的时代，可能人们已经认识到了单凭定义不足以说明对象的存在性，而必须加以论证。因此我们可以看出，在《几何原本》里，欲证一事，必先论其前提存在。即以勾股定理的证明来说，作者在此前先给出了垂线作法（命题11、12）、平行线作法（命题31）、正方形作法（命题46），然后才进行证明。而在作平行线之前，先给出了等角作法（命题23）及平行线判定定理（命题27）。由此我们可以看出，在《几何原本》里一般是先通过尺规作图证明图形的存在，再论证其性质。

《几何原本》里用“做出图形”来保证图形存在的方法，就是所谓的“构造法”。和这不同的是，现代数学里有时只要证明出某事物存在就满足了。比如众所周知的是，当年康托证明非代数数存在的时候，数学界无人知道哪个数是非代数数——尽管非代数数比代数数要多得多。这就是所谓“非构造性”的证明。这虽然也很重要，但究竟不如构造性证明来得真切。

即使在现代，构造性证明仍然具有强大的生命力。比如数学家要否定一个猜想，最有力的方法就是提出反例。在实验科学里，科学家要证明某事物的存在，最好的方法是把它制造出来。比如当年居里夫妇提出放射性元素的时候，受到很多反对，等他们提炼出镭元素以后，即迅速获得认可。

二、“虽浅必书”的严谨治学态度

《几何原本》能成为经典，应该和作者的严谨治学态度有很大关系。这一态度，我称之为“虽浅必书”。我们细看勾股定理的证明，会发现十分繁琐，远不及下面的图示来得显然。

但是，这样的证明真的能简化其论述过程吗？未必，让我们看看这里都需要证明什么吧。首先要证明的是，左图中的四个直角三角形均全等，右图亦然，然后要证明左右两图中的三角形也全等，再证明左右两图外围均为正方形且边长相等。以《几何原本》风格，必经如此论述，方可得出结论。

上图是见于《九章算术》刘徽注“出入相补”的证明过程。如以此为证明过程，则需证“朱出”与“朱入”、“青出”与“青入”分别相等。而“朱出”“朱入”是四边形，需要进一步切割，“青出”“青入”都是两部分。何况，还要证明右图实心部分确实是斜边上的正方形，要写的东西多着呢。