为了彻底理解量子世界，人类可能需要发探索新的数学领域
数学，从本质上，是我们观察到的自然世界规律的严密表达。古埃及和巴比伦的原始天文学和建筑学是几何学的摇篮，而17世纪对机械运动的研究引出了微积分学。
尽管我们不可能看到微观粒子，但是量子力学也成为推动数学发展的强大力量。量子世界的各种奇怪现象，不仅向我们揭示了之前从未意识到的世界的深层本质，还为现代数学提供了丰富的养分。那么，量子理论的研究，能引发“量子数学”这个全新的领域吗？
的确，数学和物理的联姻从几百年前就开始了。伽利略曾写道：“自然是一本无穷无尽的大书，规律被写在这本书中。但是人类若想阅读该书，必须先理解写成该书的语言——数学语言。”物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）在数学上也颇有建树，他说：“如果不懂数学，那么一个人很难穿越事物的表面，接触到自然最美的一面...如果你希望理解大自然，那么你必须学会数学的语言。”另一方面，费曼也说：“如果数学知识在一瞬间消失，物理学只会倒退7天。（费曼认为：没有数学知识，物理知识本身不会消失）”对于费曼的话，一个数学家回复到：“不过这7天是上帝创造世界的7天。（数学家认为：没有数学，人类不可能理性认识真实世界）”
数学物理学家，诺奖得主尤金·维格纳写道：“数学对于自然科学是无比有效的工具。”然而今天，情况似乎倒过来了：量子理论对于现代数学是无比有效的工具——从粒子物理中产生的问题推动着多个数学领域的发展，特别是弦论。量子理论对数学——分析学、几何学、代数学、拓扑学、群伦、组合数学、概率论和其他分支——的刺激都会留下深远的影响，无论最终量子力学本身会走向何方。学习量子力学的学生真是有点可怜！
为什么量子理论对数学有如此大的推动作用？也许原因在于：量子世界中，任何“可能”发生的事情，最后都会发生。
举个例子。在牛顿力学下，粒子从空间一点到另一点，肯定走的是最短的路径。在量子力学下，粒子可能走的路径有无数条——哪怕绕N个弯也是有可能的。费曼把这叫做“可能路径集合”。然后，根据物理定律，每条路径被赋予特定权重，决定粒子走这条路径的概率——只不过，牛顿力学下的最短路径是可能性最大的路径。因此，量子物理研究的是“加权路径集合”。
科学家安德里亚·凯恩在普林斯顿高等研究院
这种同时考虑所有路径的思路是现代数学的核心：研究一个集合中元素之间的相互作用，而不仅仅是单个元素。这仅仅是量子理论对数学的贡献之一。
量子计算器
在几何学中引发革命的镜像对称是另外一个例子。举个例子。科学家希望计算某个卡拉比-丘空间（爱因斯坦引力方程中的6维解，弦理论的热门研究方向）中的曲线数目。
你可以把一根橡皮筋绕一个圆柱体N次，同样地，卡拉比-丘空间中的曲线用“度”这个整数描述该曲线发生卷曲的次数。即使对于最简单的卡拉比-丘空间，求解一个给定空间中的曲线数目也是非常困难的。19世纪获得的1度曲线数目为2875。直到1980年才计算出，2度曲线的数目是609250。然而，3度曲线数目的计算方法仍待寻找。
1990年，一批弦论科学家向几何学家请教计算方法。几何学家发明了一种复杂的计算机算法，并给出了答案。然而，弦论科学家怀疑答案有误——软件有bug。几何学家检查后确认了这一点。但是弦论科学家是如何发现的？
因为，弦论科学家构建了这个几何问题的物理模型，然后他们发明了一种计算任意度曲线数目的方法。这个消息对数学圈是极大的震撼——这相当于发明了登上任何一座山峰的通用方法！
量子理论下，任意度的曲线数目被整合到1个优雅的方程中，这个方程有明确的物理解释。该方程的解，是一根卡拉比-丘空间中的弦的概率大小。一根弦可以看做是所有可能度的所有曲线在同一时间的合集，因此是一种极其有效的“量子计算器”。
然后科学家考虑第二个问题：镜像卡拉比-丘空间。量子理论中的“镜像”跟日常世界不同，原始空间和它的镜像形状非常不同，他们甚至未必是同一个拓扑——不过他们仍然有很多相同的性质。特别地，在原空间和镜像空间传播的弦是相同的，因此，在原空间中非常困难的计算，可以通过变换到镜像空间获得简单解法——这太棒了！
对偶等价性
镜像对称体现了量子理论的对偶性：2个经典模型在量子理论下是相等的。对偶性在量子理论中有重要地位，但是目前，人类对对偶性的认识还不够深入——预示着人类对量子理论的认识也有待深入。
对偶型的最著名例子是波粒二象性——对于每个微观粒子，比如电子，既可以看做波，也可以看做粒子，每种视角都有独特的优势。
数学有着联系不同世界的惊人能力，比如，“等号”是最被人低估的符号。爱因斯坦的质能方程E=MC²是人类历史上最著名的方程——它的物理意义是：物质和能量能够相互转化，尽管之前它们被认为是无关的。爱因斯坦广义相对论——尽管没有E=MC²这么直观——则联系了几何学和物质：物质决定空间如何扭曲，空间决定物质如何运动。
镜像对称的惊人之处还在于，它能沟通2个不同的数学世界，比如辛几何和代数几何。量子物理提供了将这两个数学领域统一的手段。
到底还有多少数学领域能够被量子力学改变，并转化为严格的证明？这里有个例子。数学家正在通过一个名为“同调镜像对称”的项目，将原始的弦理论-镜像对称进行拓展。他们枚举了2个数学领域中的元素和元素之间的关系，并进行推导。当然，推导过程中，数学家们开发出了新的方法，而不拘泥于量子力学的原始形态。这个项目加深了人们对量子世界的认识。
尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）很喜欢互补对这个概念。互补性来自于维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）证明的测不准原理——对微观粒子位置和速度的测量结果的误差的乘积不可能无限小。沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）对测不准原理进行了拓展，并于1926年10月19日致信海森堡：“有人以位置视角看世界，有人以速度视角看世界，但是如果你同时以两种视角看世界，你会陷入混乱。”
玻尔晚年还制造了另一个有趣的互补对：真实和简洁。数学的严格和物理的直觉应该也算一对。不过可以确定的是，如果你同时用数学和物理的视角看世界，那么你会看得更清楚。
编译：离子心
参考：https://www.quantamagazine.org/20170330-how-quantum-theory-is-inspiring-new-math/
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