IMMC 2018冬季赛A题点评——中学数学建模教学的思考

作者 | 秦汉（上海市嘉定一中）

本文获授权转载自上海《数学教学》2019年第2期。

国际数学建模挑战赛IMMC (International Mathematical Modeling Challenge) 作为一项国际性数学建模竞赛，在价值取向上与我国2017年版的普通高中数学课程标准是一致的。IMMC的宗旨在于鼓励参赛中学生应用数学建模，探索和解决现实世界的重要问题，以普及数学建模的教育，增强中学生科技创新核心素养与关键能力，提升中学生自主发展能力与沟通合作能力。IMMC体现STEM（Science、Technology、Engineering、Mathematics）教育所提倡的数学与科技、工程的学科交叉，数学与社会生产生活的应用结合的教育理念。

2018年IMMC冬季赛是国际数学建模竞赛中华区独立命题的第二年，命题保持着学科交叉、开放与创新的特性，并紧紧围绕着新课标所要求的培养学生数学建模核心素养而选择命题方向。 本次冬季赛A题是关于电动汽车充电站资源配置问题，包括选址和价格定制。 这是当前社会的热点问题，突显了数学建模与生产生活实践的紧密联系。电动汽车的推广使用是社会发展所要求的，据中国《电动汽车充电基础设施发展指南》提出，到2020年全国电动汽车保有量将超过500万辆。其中电动公交车超过20万辆，电动出租车超过30万辆，电动物流和环卫用车超过20万辆，电动公务与私人乘用车超过430万辆，在不久的将来电动汽车会完全主宰市场。然而关于电动汽车的充电不方便问题却阻碍了电动汽车的快速发展，因此电动汽车充电站资源配置问题已是社会关注的热点和紧迫的问题，然而解决该问题对中学生而言是一个不小的挑战。本文将从该问题出发，在教师引导和学生自我探索的基础上阐述如何运用中学知识建立模型，求解该热点问题，并提出学校对数学建模教育的一些策略。

1. 问题介绍

（1）充电站选址。已知在城市的一个区域内候选充电站为10个、用户需求点的数目为30个，需求点与候选点位置如附件1所示，其坐标如附件2所示，充电站的等级及其建设成本如附件中的附件3所示。假设电动汽车的单位里程充电成本为1元/公里，根据电动汽车客户分布的特点，请建立一个同时考虑充电站、初始建设成本和用户充电成本最小化的多等级充电站选址模型，并确定出充电站选址的位置、每个充电站的建设等级及各个需求点车辆选择充电站的分布情况。

（2）分时价格配置。对于快充模式且配有储能电池的充电站，试在考虑工业分时电价（附件4），并在分析影响电动汽车充电行为的主要因素（例如充电价格、一天中充电车辆的时间分布等因素）的基础上，建立模型，通过调节分时充电价格，以实现充电站购买一般工业用电的成本最低。

IMMC2018冬季赛A题电动汽车充电站优化配置问题主命题人滴滴出行首席工程师张俊俊与中学生对话，支持IMMC延伸教学

2. 基于教师的分析

该题中两个问题是不同角度的问题，但都属于优化问题的范畴。相对来说第（1）题的思维程度更高，考虑的方向需要更加全面，因此评分标准中占比较大，本文中我将主要对第（1）题展开分析。

2.1对第（1）题的分析

目的是建立一个同时考虑充电站，初始建设成本和用户充电成本最小化的多等级充电站选址模型。该问题看似是选址问题，其实是一个优化问题，该问题需要学生建立一个成本最小的优化模型，约束条件是可以满足各个充电需求点的需求。因此充电站的选址是基于成本最小下的呈现形式，决定选址的因素是充电站的个数，并建立充电站与需求点的对应关系。在明确该问题后，我们分几步进行剖析。

（1）关于度量的准备工作.

1）附件中图上的距离与实际距离存在比例关系，需要学生建立符合题目要求的比例关系；从附件给出的充电站位置及其坐标中发现，题中y轴的方向与教科书上规定的正相反，提醒学生在解题过程中要注意。

2）本问题中关于距离的定义与教科书上不同，教科书上定义，在给定两点坐标P(x ₁ ,y ₁ )，Q(x ₂ ,y ₂ )后，其间的距离为 ，这是欧氏距离的计算公式，即平面上两点间的最短距离。然而现实生活中，欧氏距离并不都是有效的，尤其是在城市中，两点间的障碍物影响了欧氏距离的有效性。学生们在这里会有两种不同的方法获得距离，方法一是直接在百度地图上查询距离，方法二是寻找其他的计算方法。其中方法一需要明确具体的地点和途径，否则软件提供的距离不一定是最合理的距离。方法二中提到的寻找其他的距离计算公式可行吗？其实，在得到该区域的地图后，我们发现，该城市道路布局较为规则，因此所谓的曼哈顿距离（又称城市距离）是一个不错的选择，而且学生比较容易理解和学习。

曼哈顿距离定义：在给定两点坐标P(x ₁ ,y ₁ )，Q(x ₂ ,y ₂ )后，其间距离定义为 。

（2）关于优化模型的确定

1）目标函数。根据题意，总成本=建设成本+使用成本，然而不难发现使用成本的定义并不容易。如果单纯用一天的使用情况来看，该使用成本数量级明显小于建设成本，则在整个模型中失去调节的意义，因此调节两者之间的数量级非常重要，这也将是学生的难点所在。调节数量级的一般方法是添加两个参数α、β，使总成本=α·建设成本+ β ·使用成本，调节参数则是模型的关键，原则上应该趋于平衡。

2）约束条件。该问题的约束条件是充电站的总服务能力要满足所有的需求点。该约束条件是一个理论上的约束条件，它建立在确定充电站数量的基础上，在实际求解中较难直接进行。

（3）问题的求解和思维拓展

1）模型的简化。根据上述的模型分析，需要在成本最小的优化模型下同时确定充电站个数和充电站位置（即充电站和需求点的对应关系）。枚举法是可以解决的方法之一，通过1-10个充电站，分别再确定使用成本，然而该方法计算量庞大，同时也失去了原本有的数学内涵，对中学生并不可取，因而可以对学生有以下几点引导和思考：

i）充电站数量是否有上界和下界，进而缩小讨论范围。

ii）需求点分布不均匀，能否根据充电站的数量将需求点进行聚类，简化使用成本的计算。

2）思维的拓展。上述的工作并不容易实现，首先需求点聚类后，充电站不一定具备足够的承载能力；其次对于不能够承载的区域，微调和组内分类哪一种方式更好？最后，组内分类与组间分类哪一种方式更好，仍需要多次试验的对比。这些对学生的逻辑思维要求较高。

2.2 对第（2）题的分析

目的是建立模型，通过调节分时充电价格，以实现充电站购买一般工业用电的成本最低。成本=价格*购买数量（需求数量），其主要影响因素是需求数量，根据工业用电价格，峰时段的需求越小，则成本越小，因此移峰填谷是解决本题的关键所在。当然该问题更要求学生找到充电价格与需求数量之间的某种对应关系。因此该问题存在以下几个难点：

（1）优化模型的建立（包括约束条件的选取）。

（2）用户对充电价格的响应函数。

教师可从下面几个方面对学生进行引导：

（1）用户对充电价格的响应是怎样的，是否存在对应的函数关系？

（2）储能电池是移峰填谷的有效措施，它会影响怎样的电量购买数量？

（3）用户是否有特定的需求，即存在峰谷时段的充电下界。

3. 基于竞赛学生的分析

3.1 对第（1）题的分析

（1）确定比例尺，测量并计算出的附件1中的1个单位相当于0.135公里。

（2）确定距离计算方式为曼哈顿距离 。

（3）建立优化模型

求解模型方法如下：

首先利用Excel统计软件对各点数据进行处理。由于总需求量为996，而一个一级充电站的服务能力为350，所以笔者得出至少建立3个一级充电站才能满足需求。可以采用聚类分析法对需求点进行分类并逐步优化求得最优解。

第一步，采用聚类分析法将30个点分为3类，划分3个区域，并求出成本。

第二步，在此基础上将3个区域中密集区域进行重新划分、微调，讨论四个站点情况。

第三步，将30个点直接采用聚类分析法分为四类、五类进行划分及微调，讨论成本。

第四步，将以上情况进行比对，得出最优解。

（4）最终结果如下：

五种讨论结果成本（万元）分别为：

3.2 对第（2）题的分析

（1）建立用户价格响应模型

根据消费心理学原理，价格对消费者的刺激有一个最小可觉差（即下阈值），在此范围内，消费者对价格的变化基本无响应，超过此范围则消费者会对价格有所响应，响应程度与刺激程度相关；同时，若超过刺激的饱和值（即上阈值），消费者会停止进一步的响应，变化趋势如图1、图2。

以峰-谷转移模式为例，用户价格响应模型可表示为

其中，K _pv 表示线性区域的曲线斜率，△c _pv,1 、△c _pv,2 分别表示用户开始产生响应时与响应程度恰达到饱和时的峰谷价格差，α _pv,max 表示该模式下用户价格响应度的饱和值。

（2）基于购电成本最小的优化建立

方案一：未考虑储能电池

其中，β _min 与 β _max 表示用户价格响应模型下电动汽车负荷允许调节系数，取决于用户对充电价格的响应度，由用户价格响应度曲线模型，选取 β 的取值在用户响应程度恰好达到饱和时考虑，文章在此取 β _min =0.6，β _max =1.4；P _max 表示电网额定配电容量，即最大负荷功率，查询资料得，其值约为3268.2万千瓦，该数据相对充电总负荷比较大，即 P' _E,i

max 显然成立，在模型求解中可忽略,只需考虑 P' _E,i ≥P，即每一时段至少有1辆汽车充电；N _ch 表示充电站充电桩个数，北京为例，取值为45个；P为车辆充电的恒定功率，取值为25kW。

方案二：考虑储能电池

充电站若具备储能电池等储能系统，则可在谷时段储存一定量的电能，在峰时段时再使用，以减少充电站购电的成本，在此以储能能力为300kWh的储能电池为例，则价格可减去由于使用储能电池产生的价格差，可以得出 △J _b =300×(1.322-0.832)=147 元，同时由于谷时段储能电池的使用，谷时段功率会增加，即提高上限，而峰时段充电的功率则可以增加，即提高下限。

目标函数修改为

约束条件修改为：

方案三：考虑储能电池及商用车、乘用车具体情况

根据调查，其在商用车中占比为20%，而其他商用车并无此特殊情况，由于工作的使用，其必须在谷时段充电，其相应在商用车中占比为80%，而乘用车的充电时间可任意调节，根据模型假设，商用车与乘用车数量之比为1:2，谷时段的充电负荷应大于必须在此时段充电的商用车的充电负荷，峰时段的充电负荷也应大于必须在此时段充电的商用车的充电负荷，约束条件由此应加上：

（3）结果分析

费用分析：

方案一 z=6041.3863

方案二 z=6049.4863-147=5902.4863

方案三 z=6049.4863-147=5902.4863

定价调整：

最终定价结果，峰、平、谷时段分别为：c _v =1.0692，c _f =1.6692，c _p =2.1692。

4. 学生在具体实施中的问题：

（1）在第（1）题中为了使得建设成本与使用成本在同一个数量级上，建设成本前的参数取值为1/17，使用成本前的参数取值为365存在一定的争议，需要学生对模型进行足够的解释。实际上，实际生活中建设成本是政府投资更为关注的对象。

（2）在第（1）题中聚类的过程比较粗糙，微调的方法对学生计算能力要求较高，可能会出现同样的聚类，通过微调后得出完全不同的结果，因此需要学生对模型的合理解释。

（3）在第（2）题中，用户响应函数是通过问卷调查拟合得到的，对于该函数得出的饱和值直接用于模型存在一定的主观性。

（4） 在第（2）题中样本数据对于方案二和方案三有决定的作用，可能存在结果相同的情况，需要作出合理的解释。

5. 对中学数学建模教学的思考