信息论和交叉熵损失函数

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在机器学习和深度学习中,很多时候需要进行分类,这时会涉及到决策边界,比如sigmod激活函数;
但是当面对多分类的时候(比如经典的MNIST),我们需要预测每一个种类output的概率,比如softmax,这时候我们需要对:
信息论和交叉熵有 一个清晰的认识
那么我们的文章将会对 信息论和交叉熵损失函数 进行一个讲解;

1.信息论
2.自信息
3.香农熵
4.交叉熵

1.信息论

1.1 信息论是从物理学中借鉴过来的,我们只讲其数学意义:

其实信息论是一种用来描述 概率分布或者蒋概率分布之间的相似性 的一种思想
信息论的核心思想就是用来表示 意外程度 ,即小概率事件发生的信息量大

• 1.必然事件的信息量为0
• 2.事件发生的概率越小,其提供的信息量就越大
• 3.信息是具有增量的特征的,即同一事件,发生一次的信息量是 I $I$ I ,则重复投递两次的信息量是 2 I $2I$ 2I
  那么为了实现我们的目的 将概率事件的信息量进行量化

2.自信息

就是单个事件的信息量的量化值

我们构建这样一个公式:
I (x) =−l og (p( x)) $I\left(x\right)=-log\left(p\right(x\left)\right)$ I ( x)= −lo g( p(x))

• 这里 P (x) $P\left(x\right)$ P ( x) 就是随机事件 X =x $X=x$ X = x 时候事件发生的概率
• l og 对 数 函 数 式 增 函 数 , 那 么 − lo g 函 数 就 是 减 函 数 $log对数函数式增函数,那么-log函数就是减函数$ log对 数函数式增 函数, 那 么− l og函数 就是减函数 ,这样构建出来的函数就实现了我们的某种目的,随着概率的减小,信息量就越大
  但是自信息仅能预测一个事件的信息量
• I (x) $I\left(x\right)$ I ( x) 的单位是奈特 n at $nat$ na t ,就是说1 n at $nat$ na t 代表以 1 /e $1/e$ 1/ e 概率的一个事件的自信息量

3.香农熵

往往在我们的实际应用中我们需要使用 香农熵 来对整个事件概率分布中的不确定性总量进行量化

在这里我们可以借鉴 随机变量X的数学期望的求值公式
E (X )=∑ ∞ k =1 x k p k $E\left(X\right)=\underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_k{p}_k$ E( X)= k=1 ∑ ∞ ​ x k ​ p k ​
这里的香农熵其实可以看做是: 信息量 I(x) $I\left(x\right)$ I(x)的数学期望的求值公式
H (X )= ∑ n k =1 p k lo g( p k ) $H\left(X\right)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_{k}log\left(p_k\right)$ H (X) = k= 1 ∑ n ​ p k ​ log( p k ​ )

• 这里k是类别,n代表总类别

下面我们举例说明:

• 数组1: 111111

• 数组2: 111 222

• 数组3: 11 22 33

我们来算数组1 ,2 和 3的香农熵

H (1) = −1∗log ( p(1)) = 1∗ 0 =0 $H\left(1\right)=-1\ast log\left(p\right(1\left)\right)=1\ast 0=0$ H (1)= −1 ∗log(p (1))= 1 ∗ 0= 0

H (2) = −1/2∗ l og (p( 1)) +(−1/ 2 ∗l o g(p(2 ) )= − 1/2∗I n1/ 2+1 /2∗ I n 1/2 ≈ 0.7 $H\left(2\right)=-1/2\ast log\left(p\right(1\left)\right)+(-1/2\ast log(p\left(2\right))=-1/2\ast In1/2+1/2\ast In1/2\approx 0.7$ H (2)= − 1/ 2∗ lo g( p(1) ) + (−1 /2 ∗ log (p (2)) = −1/2 ∗ In1 /2 + 1 /2 ∗ In1/ 2 ≈ 0 .7

H (3) = −1/3∗ l og (p( 1)) +(−1/ 3 ∗l o g(p(2 ) )+ ( −1/3∗ lo g ( p( 3))≈1 $H\left(3\right)=-1/3\ast log\left(p\right(1\left)\right)+(-1/3\ast log(p\left(2\right))+(-1/3\ast log\left(p\right(3\left)\right)\approx 1$ H (3)= −1/ 3 ∗ lo g(p (1)) + (−1/3 ∗ log ( p(2)) + (−1 /3 ∗ log ( p(3)) ≈ 1

这样来看数组1的香农熵为0,则为必然事件,数组2居中,数组3最大,则其概率分布的概率最小

4.交叉熵

前面我们有讲到 自信息 和 香农熵
那么如何用到机器学习和深度学习中呢,不着急慢慢往下看
我们记得之前在多类别分类的模型中我们有用到 s of tma x $softmax$ so ftmax 进行每个类别概率估计,然后取最大概率做为预测值
而当我们反向更新soft为激活函数的模型或者神经网络时候,是将交叉熵做为 loss函数 $loss函数$ loss函数进行梯度调节的

那么让我们聚焦 交叉熵
在这之前我们需要看下 K L $KL$ K L 散列,这是基于香农熵用来衡量对于同一个随机变量X的两个单独分布 P (X )和 Q(X ) $P\left(X\right)和Q\left(X\right)$ P ( X)和Q( X) 的差异的途径:
D k l (P ∣∣Q )= E x −p [l og (P (x )/ Q(x ) )] =E x −p [ log (P (x ))−l og (P (x ))] $D_{kl}\left(P\mid \mid Q\right)=E_{x-p}\left[log\right(P\left(x\right)/Q\left(x\right)\left)\right]=E_{x-p}\left[log\right(P\left(x\right))-log(P\left(x\right)\left)\right]$ D kl ​ (P∣∣Q ) = E x−p ​ [log (P( x)/ Q(x ))] = E x−p ​ [lo g (P( x) ) − lo g( P(x )) ]
但是在深度学习中我们使用 K L $KL$ KL 散列的变形,也就是交叉熵来作为某些场景的 l os s $loss$ loss 函数,即:

H (P ,Q) =H (P )+D K L (P ∣∣Q ) $H(P,Q)=H\left(P\right)+D_{KL}\left(P\mid \mid Q\right)$ H (P,Q )= H(P) + D KL ​ (P∣∣Q )
根据 K L $KL$ K L 散列我们队上述公式进行变形:
H (P ,Q )= −E x −p [l o g P ( x )] +E x −p [ l o g P (x )]−E x −p [ l o g Q( x) ] $H(P,Q)=-E_{x-p}\left[logP\right(x\left)\right]+E_{x-p}\left[logP\right(x\left)\right]-E_{x-p}\left[logQ\right(x\left)\right]$ H(P, Q) = −E x− p ​ [logP( x )]+ E x− p ​ [lo gP(x )]− E x− p ​ [l o gQ (x) ]
经过变形就得到:

H (P ,Q) =− E x −p [l og Q(x)] $H(P,Q)=-E_{x-p}\left[logQ\right(x\left)\right]$ H (P,Q )= −E x−p ​ [log Q(x)]
接着,我们变化成易于理解的 l oss $loss$ l oss 函数
H (P ,Q )= ∑ x P (x )l og Q( x) $H(P,Q)=\underset{x}{\sum }P\left(x\right)logQ\left(x\right)$ H (P, Q )= x ∑ ​ P( x )log Q(x )
到这里我们看到了我们熟悉的成本函数, s of tm ax $softmax$ s oft ma x 回归分类器的成本函数

接着我们探讨为什么使用这个成本函数

主要是softmax等多分类器,在评估真实值( y $y$ y )和预测值( y e xc p t $y^{excpt}$ y excp t )距离时,更多的是在评估概率之间的距离,这样使用传统的均方根误差做为 l oss $loss$ l oss 函数毫无意义

我们来举个例子(以MNIST为例: 识别0~9的数字图片):
假设输出层是 s of tma x $softmax$ so ftmax 为激活函数:

那么我们假设用两组标签相同的实例 A 和B $A和B$ A和 B 来进行分析
首先我们的 l abel $label$ l a bel 都是0,所以真实值得向量组合是(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

• A的预测值向量组合(0.9,0.2,0.1,0,0,0,0,0,0,0)
• B的预测值向量组合(0.8,0,0.1,0,0.5,0,0,0,0,0)

接着算A和B的交叉熵(也就是 l oss $loss$ l o ss 函数) :
H (P ,Q) =−(1∗ log ( 0.9)+ 0∗l og (0.2)+0 ∗l o g( 0.1) + 7∗ ( 0∗ l og (0) )≈ 0.1 $H(P,Q)=-(1\ast log(0.9)+0\ast log(0.2)+0\ast log(0.1)+7\ast (0\ast log\left(0\right))\approx 0.1$ H (P, Q )= −( 1∗ l o g(0 .9) + 0∗ l o g(0 .2) + 0∗ l og (0. 1 )+ 7 ∗ (0 ∗ l og( 0) ) ≈ 0. 1
H (P ,Q )= −( 1∗ l o g ( 0.8 ) + 0 ∗ l o g ( 0.1 ) + 0 ∗ l o g ( 0.5 ) + 7 ∗ ( 0 ∗ l o g ( 0 ) ) ≈ 0.2 $H(P,Q)=-(1\ast log(0.8)+0\ast log(0.1)+0\ast log(0.5)+7\ast (0\ast log\left(0\right))\approx 0.2$ H( P , Q ) = − ( 1 ∗ l o g ( 0 . 8 ) + 0 ∗ l o g ( 0 . 1 ) + 0 ∗ l o g ( 0 . 5 ) + 7 ∗ ( 0 ∗ l o g ( 0 ) ) ≈ 0 . 2

• P代表真实值
• Q代表预测值
  因为 0.1 &lt;0.2 $0.1\&lt;0.2$ 0.1 < 0 .2 ,所以明显第一组要由于第二组

补充一点:交叉熵 H (P ,Q) $H(P,Q)$ H ( P,Q) 不是对称的,所以 H (P ,Q) ≠H (Q, P) $H(P,Q)\ne H(Q,P)$ H (P,Q ) ̸ ​ = H(Q, P) 所以要注意P和Q的顺序,一版情况下,P代表真实值,Q代表预测值

最近很热,大家谨防中暑,但是学习不能断 ^^

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