彭罗斯铺陈

作者 | 马丁·加德纳

译者 | 涂泓

节选自《分形、取子游戏及彭罗斯铺陈》，上海科技教育出版社

1957年（科学美国人》有一个专栏是关于周期性地用全等凸多边形来铺陈平面［重刊于《时间旅行和其他数学困惑》（ Time ravel and Other Mathematical Bewilderments）一书中]，在那个专栏的结尾处，我承诺以后会写篇关于非周期性铺陈方式的专栏文章。本章重新刊载我履行的那一承诺一一这是1977年的一篇专栏文章，它首次公布了一种非凡的非周期性铺陈方式，这是由著名英国数学物理学家和宇宙学家彭罗斯发现的。首先，让我来给出一些定义和背景。

周期性铺陈方式是指你可以描出一个区域的轮廓，通过平移这个区域就可以铺陈整个平面，所谓平移就是在不通过旋转或者翻转的情况下移动这个区域的位置。 荷兰艺术家埃舍尔 【译者注：埃舍尔（M.C. Escher，1898－1972），荷兰版画家，因其绘画中的数学性而闻名，作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点，从中可以看到分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达。】 对形似生物的形状进行周期性铺陈而创作了许多图画，从而闻名遐迩。图1.1就是他的一幅代表作。其中一对毗连的黑鸟和白鸟构成了一个平移铺陈的基本区域。想象这个平面上蒙着一层透明的纸，纸上描出了每片镶嵌片的轮廓。只有在铺陈方式为周期性时，你才能在不通过旋转的情况下将这张纸移动到一个新的位置，使得所有轮廓都再次恰好相符。

图1.1 埃舍尔的一幅周期性镶嵌图（1949）

有无限多种形状一一例如正六边形一一只能按照周期性方式铺陈。还有无限多种其他的形状既能按照周期性方式铺陈，也能按照非周期性方式铺陈。用全同的等腰直角三角形或四边形，很容易将国际象棋的棋盘转换为一种非周期性铺陈方式。只要如图1.2（A）的左图中所示的那样将每个正方形二等分，通过改变等分的取向来避免出现周期性。用多米诺骨牌也很容易进行非周期性铺陈。

图1.2 （A）用全等形状进行的非周期性铺陈；（B）一个九边形（左图中的虚线）和一对九边形构成一个周期性铺陈的八边形（右图）

等腰三角形也能像图1.2（A）的中间图那样以放射状方式进行铺陈。尽管这种铺陈方式高度有序，却明显不是周期性的。正如戈德堡（ Michael Goldberg）1955年在一篇题为“中心镶嵌图”的论文中所指出的那样，这样的一种铺陈方式可以对半切开，然后可以将这两个半平面移动一步或更多步，从而构成一个非周期性铺陈的螺旋形式，如图1.2（A）中的右图所示。通过用两条全等的线条来取代这种三角形的两条相等的边，就可以有无数种方法来扭曲这个三角形，如图1.2（B）中的左图所示。如果这些新的边均由直边构成，那么结果得到的有5、7、9、11条边的多边形就能螺旋状铺陈。图1.3显示了用一个九边形以这种方式获得的一个引人注目的图案。这是由沃德堡（Heinz Voderberg）用一种复杂的方法首先发现的。戈德保得出这个图形的方法使它几乎变得很平常了。

图1.3 沃德堡的一种螺旋形铺成方式

在人们知道的所有用全等图形构成的非周期性铺陈方式的例子中，图形也能以周期性方式铺陈。图1.2（B）中的右图显示了沃德堡的两个九边形如何组合成一个八边形，而这个八边形能以一种显而易见的方式进行周期性铺陈。

通过将一组图形铺陈在一起，构成它们本身的更大复本，可以得到另一种非周期性排列方式。戈洛姆（Solomon W.Golomb）将它们称为“爬行动物”（reptile）。（参见我的《意外的绞刑》（Unexpected Hanging）一书的第19章。）图1.4显示了一个被称为“狮身人面像”的形状如何通过产生出越来越大的狮身人面像而构成非周期性铺陈。与上例一样，两个师身人面像（其中一个旋转180°）能以种显而易见的方式进行周期性铺陈。

图1.4 以非周期性方式铺陈的三级狮身人面像

是否存在着一些只能非周期性铺陈的镶嵌片集合？我们说“只能”的意思是，无论是单一的形状或子集，还是整个集合，都不能作周期性铺陈，但是通使用它们全部，就有可能构成一种非周期性的铺陈方式。其中允许进行旋转和翻转。

在数十年间，专家们曾相信不存在这样的组合，但是结果证明这种猜想不成立。1961年，王浩 【译者注：王浩（1921－1995），华裔美籍哲学家、数理逻辑学家，曾先后任职于哈佛大学、牛津大学、洛克菲勒大学，并曾兼任巴勒斯公司的研究工程师、贝尔电话实验室技术专家、IBM研究中心客座科学家等一系列职务。】 开始对用各边以不同方式着色的单位正方形集合铺陈的平面感兴趣。这些单位正方形被称为 王氏砖 ，王浩还曾在1965年为《科学美国人》撰写过一篇极好的关于王氏砖的文章。王浩的问题是要去找到一种方法来确定：对于任意一组给定的骨牌，是否能以某种方式铺陈而使得其相邻边都具有相同颜色，铺陈时不允许旋转和翻转。这个问题的重要性在于，它与符号逻辑中的决策问题有关。王浩推测，任意一组能够铺陈为平面的镶嵌片都能够周期性地铺陈为平面；他还证明，如果事实确实如此的话，那么就存在着一种这种铺陈的决策方法。

1964年，伯杰（ Robert Berger）在哈佛大学应用数学专业博士学位论文中证明，王浩的推测不成立。不存在任何普遍适用的方法，因此只存在一组只能非周期性铺陈的王氏砖。伯杰用两万多块骨牌构造出了这样一个组合。后来他发现了一个小得多的组合，它由104块骨牌构成。而高德纳 【译者注：高德纳（Donald Knuth，1938— ），美国著名计算机科学家。他创造了算法分析领域，并发明了排版软件TEX和字体设计系统Metafont。“高德纳”这个中文名字是他1977年访问中国前取的。】 则将这个数字减小到92。

这样的一组王氏砖很容易转化为只能非周期性铺陈的多边形镶嵌片。你只要将其边缘做成凹凸形以构成一块块的拼图，而它们以先前用颜色规定的方式相配。一条先前某种颜色的边只能与另一条先前为同样颜色的边相配，并且对于其他各种颜色也能得出一种相同的关系。罗宾逊（ Raphael M. Robinson）通过允许这样的镶嵌片旋转和翻转，构造出六片从上文所解释的意义上来说强制产生非周期性铺陈的镶嵌片（见图1.5）。1977年安曼 【译者注：安曼（Robert Ammann，1946—1994）是一位美国业余数学家，他在准晶体理论和非周期性铺陈等方面都作出了多项重要贡献。】 发现了另一组不同的六片镶嵌片，它们也强制产生非周期性铺陈。这种正方形镶嵌片是否能减少到六片以下尚未可知，不过我们有充分的理由相信六就是最小值了。

图1.5 罗宾逊的六片强制产生非周期性铺陈的镶嵌片

彭罗斯在牛津大学担任劳斯·保尔数学教授，他在那里发现了几个强制产生非周期性铺陈的小型镶嵌片集合，它们不是正方形类型的。尽管他的大部分工作都是关于相对论和量子力学的，不过他对于趣味数学也保持着活跃的兴趣。他与他的父亲、遗传学家、已故的 L.S. 彭罗斯（L.S. Penrose）分享这方面的乐趣 （他们是著名的“ 彭罗斯阶梯 ”的发明者，这条阶梯周而复始地兜圈子却不通往更高处。埃舍尔在他的版画《上升与下降》中描绘了这条阶梯。） 1973年，彭罗斯发现了一组六片强制产生非周期性铺陈的镶嵌片。1974年，他发现了一种将它们减少为四片的方法。此后不久，他又将它们减少到两片。

由于这些嵌片适用于制成商业游戏拼图，彭罗斯直到申请了英国、美国和日本的专利后，才愿意将它们公开。这些专利现今仍然有效。我对于康韦研究彭罗斯铺陈而获得的许多结果同样不胜感激。

一对彭罗斯镶嵌片的形状是可以变化的，但是其中称为“飞镖”和“风筝的那一对最有趣，这是康韦给它们起的名称。图1.6（A）中显示了如何由一个内角为72度和108度的菱形来获得这两个形状。将长对角线按照我们熟悉的黄比例（1＋√5）/2＝1.61803398…分割， 【小编注：中国人一般取黄金分割比为（√5-1）/2＝0.618…，外国人一般取（1＋√5）/2＝1.618…，两者实为互为倒数，只是比的顺序不同。】 然后将该点与两个钝角顶点相连。就这么简单。用φ表示黄金比例。如图所示，每条线段不是1就是φ。最小的角度是36度，其他角度都是它的倍数。

图1.6 （A）构造飞镖和风筝的方法；（B）飞镖和风筝的一种着色方式（灰色和黑色）以强制产生非周期性；（C）加速构造过程的A尖和领结

这个菱形当然能周期性铺陈，不过我们不允许用这种方式来拼接这些镶嵌片。要禁止将相等长度的边拼接在一起，这可以通过凸起和凹陷的形状来强制实现，不过还有一些比较简单的方法。例如，我们可以按照图1.6（B）中所示将各顶点标注为H（“头”的英文head的首字母）和T（“尾”的英文tail的首字母），然后给出规则：在拼装边缘时，仅具有相同字母的顶点可以相合。可以在各个顶点处放置两种颜色的点来帮助确认此规则，不过康韦提出了一种更加优美的方法，在每片镶嵌片上画两种颜色的圆弧，在插图中用黑色和灰色来表示。每条弧都以黄金比例切割边和对称轴。我们的规则是，相邻的边必须连接相同颜色的圆弧。

为了充分理解彭罗斯铺陈的美和神秘，我们应该至少制作100片风筝和60片飞镖。这些镶嵌片只需要一面着色。这两种镶嵌片数量（同它们的面积一样）符合黄金比例。你也许会设想你需要较多小一些的飞镖，但是实际情况却与此相反。你需要的风等片数量是飞镖的1.618…倍。在无限铺陈的情况下，这个比例是精确的。由于这个比例是无理数，其潜在的结果就构成了彭罗斯的个证明：该铺陈是非周期性的，因为如果它是周期性的，那么这个比例显然就会是一个有理数。

一个很好的计划是：在一张纸上画尽可能多的飞镖和风筝，并且使其比例大约为五片风筝比三片飞镖，用一根细线来画出这些曲线。可以将这张纸复印许多次。然后可以将这些曲线着色，比如说用红色和绿色的毡尖笔。康韦发现，如果你将图1.6（C）中所示的这三个较大的形状复印许多次，那么就会加速构造过程，并且保持图案更加稳定。在你扩展一种图案的时候，你可以不断地用A尖和领结来取代飞镖和风筝。事实上，由飞镖和风筝构成的任意多对这样的形状对将可以铺陈出任何无穷无尽的图案。

有一种彭罗斯图案的构成方式是，先在一个顶点周围铺陈飞镖和风筝，然后再放射性地向外扩张。每次你在边缘增加一片，你就必须在飞镖和风筝之间作出选择。有时候这种选择是被迫的，有时候则不是。有时候两种都合适，但是稍后你可能会遭遇到一种与之相抵触的情况（在该点处，哪一片都不能合乎规则地添加上去），于是被迫回来作出另一种选择。绕着一条边界前进，首先放置所有别无选择的镶嵌片，这是一个很好的打算。它们不可能导致抵触的情况。然后你可以用那些有选择余地的镶嵌片来进行尝试。总有可能一直进行下去。你越是摆弄这些镶嵌片，就会愈加体验到那些提高效率的“强迫法则”。例如，一片飞镖在其凹处必须放置两片风筝，于是就创造出了无所不在的A尖。

有许多方法来证明彭罗斯铺陈的数量不可数，正如一条直线上有不可数个点一样。这些证明都依据彭罗斯发现的一种令人惊奇的现象。康韦把它称之为“膨胀”和“收缩”。图1.7中显示了膨胀的开始。试想把每片飞镖都切割成两半，然后再把原来的短边都黏合在一起。其结果是一种由更大的飞镖和风筝构成的新的铺陈方式（用黑色粗线表示）。

图1.7 一种图案如何发生膨胀

膨胀可以延续至无穷，其中每一“代”新的镶嵌片都比上一代要大。请注意第二代的风等虽然与第一代的A尖具有相同的大小和形状，但是其构成方式不同。出于这个原因，A尖也被称为傻瓜的风筝。绝不可把它错认为是第二代风筝。收缩就是将同样的进程逆向进行。在每一种彭罗斯铺陈上，我们都能画出一代一代越来越小的飞镖和风等。这种模式也可延续至无穷，从而创造出个分形（参见原书第3章）的结构。

康韦对彭罗斯的图案不可数的证明（彭罗斯早先曾用一种不同的方法证明过）可以作如下概述。在风筝对称轴的一边标注L（“左”的英文left的首字母），另一边标注R（“右”的英文 right 的首字母）。在飞镖上也如此操作，用l和r进行标注。然后在铺陈图案上随机选择一点。记录下表示它在镶嵌片上位置的那个字母。将这个图案膨胀一步，注意同一个点在第二代镶嵌片上的位置，并再次记录下那个字母。持续进行更高阶的膨胀，你就会创造出一个符号的无限序列，这个序列，可以说，独一无二地标记了从选择的那一点看到的原始图案。

在原始的图案上选择另一点这个过程可能会给出一个开头不同的序列不过它会到达一个字母，在这个字母之后直至无穷，它都会与前一个序列一致。如果不存在这样在某一个特定点之后的一致性，那么这两个序列所标识的就是截然不同的图案。由这四个符号构成的所有可能的序列并不都能通过这个方式产生，不过可以证明，标记不同图案的序列在数量上与一条线上的点的数量对应。

我们忽略了那些铺陈图案中的着色曲线，这是因为它们对观察这些镶嵌片造成了困难。不过，如果你用着色的镶嵌片来研究的话，你就会为这些曲线所创造出的各种美丽图样然心动。彭罗斯和康韦分别独立地证明：每当一条曲线闭合时，它就具有五轴对称性，并目这条曲线内部的整个区域都具有五重对称性。在一种图案中，对每种颜色而言，至多只能有两条曲线不闭合。在大多数图案中，所有曲线都闭合。

尽管我们有可能构造出一些具有高阶对称性的彭罗斯图案（有无穷多种图案都具有双侧对称性），但是大多数图案，都如同宇宙一样，是由有序和出乎意料地偏离有序所构成的一种神秘莫测的混合体。随着这些图案的扩张，它们似乎总是尽力重复自身，却又总是不能很好地做到这一点。切斯特顿曾经提出过，如果有一个外星人在观察人体上有多少特征是左右重复的，那么他就会合理地推断我们的身体两边各有一颗心脏。他说道，这个世界“看起来比实际情况恰好更数学一点、更有规律一点；它的精确性是显而易见的，但不精确性则隐置其中；其放荡不羁潜伏以待。”到处都存在着“对精确性少许悄无声息的背离，这是事物中恒有的一种怪异的要素……宇宙中一种隐秘的叛逆。”这段话很好地描述了彭罗斯的平面世界。

关于彭罗斯的宇宙，还存在某种更为令人惊奇的事情。从一种奇特的有限意义上来说，由于受到“局部同构定理”的制约，所有的影罗斯图案都是相似的。彭罗斯证明：任何图案中的每一个有限区域，都包含在所有其他图案中的某处。此外，它在每种图案中出现无穷多次。

为了理解这种情形有多么狂，请想象你正居住在一个无限大平面上，这个平面由不可数的无穷多种彭罗斯铺陈中的一种镶嵌而成。你可以在这不断扩张的面积上一片一片地检查你的图案。无论你探索多大的面积，你都无法确定自己是处在哪一种铺陈方式上。去往远处以及检查不相连的区域都毫无帮助，因为所有这些区域都属于一个大的、有限的区域，而这个区域在所有图案中都被精确地复制了无穷多次。当然，对于任何周期性镶嵌图而言，这都是显而易见的事实，然而彭罗斯宇宙并不是周期性的。它们有无穷多种方式使得彼此显得不同，却又只能在触不可及的极限上才能将它们彼此区分开来。

假设你已探究过一个直径为d的圆形区域。我们把它称为你所居住的“镇”。突然之间，你被传送到一个随机选择的平行的彭罗斯世界。你离一个与你家乡的镇里的街道一模一样的圆形区域有多远？康韦用一条超凡卓越的定理给出了答案。从你家乡的镇的边界到那个一模一样的镇的边界的距离，绝不会超过黄金比例的立方的一半的d倍，或者说就是2.11+ [ 译者注：这里的加号（+）表示（1.61803398…）³=2.1180399…] 乘以d。（这是一个上限，而不是平均值。）如果你朝着正确的方向走，那么你不需要超过这个距离，就会发现自己置身于你自己家乡的镇的精确复制品中。这条定理也适用于你身处的宇宙。每一种大的圆形图案（有无穷多种不同的图案）都可以朝某个方向走过一段距离而到达，这个距离必定小于这个图案直径的大约两倍，更有可能大约就等于该直径。

这条定理相当出人意料。考虑一列无模式的数字序列，例如π，展示出了一种类似的同构。如果你选择一列由10个数字构成的有限序列，然后从π中的一个随机位置开始，当你沿着π走得足够远的话，你就肯定会遇到与此相同的序列，不过你必须走的距离不存在已知的上限，并且预期的距离远多于10位数。这个有限数列越长，你可以预计要再次找到它就需要走得越远。在一种彭罗斯图案上，你总是非常靠近家乡的一个复制品。

飞镖和风筝恰好适合铺陈在一个顶点周围的方式只有七种。让我们首先来考虑（用康韦的术语来说）两种具有五轴对称性的方法。

图1.8 无限太阳图案

太阳（如图1.8中的白色部分所示）不强制其周围任何其他镶嵌片的放置方式。不过，如果你添加几片，使其一直保持五轴对称，那么就会迫使你构造出如图所示的这个美丽的图案。它是唯一确定的，直至无穷。

图1.9 无限星星图案

图1.9中的白色部分所表示的星星，强制在其周围铺陈10片浅灰色风筝将这个图案放大，始终保持其五轴对称，你就会创造出另一种如同花朵一般的图样，这种图样也是无穷的和独一无二的。各式星星和太阳图案是仅有的具有完美五轴对称性的彭罗斯宇宙，并且从一种令人愉快的意义上来讲，它们是等价的。膨胀或者收缩这两个图案中的任何一个，你就会得到另一个。

A尖是围绕一个顶点铺陈的第三种方法。它不强制使用任何其他镶嵌片。两点、杰克和王后在图1.10中用白色区域表示，四周包围着它们直接强制铺陈的镶嵌片。正如彭罗斯所发现的［后来巴赫（ Clive Bach）也独立作出了这一发其中现］，有些七顶点图形会使得一些并不与直接受到这种强迫作用的区域相连的镶嵌片的摆放受到影响。

图1.10 两点、杰克和王后的“帝国”

在所有彭罗斯宇宙中，最超凡卓越的、对于理解这些镶嵌片至关重要的种，就是无限车轮图案，其中心部分显示在图1.11中。在其中心处，用粗黑线勾勒出的正十边形（它的每条边都由一对长边和短边构成）就是康韦所谓的“车轮”。在任何图案上，每个点都在一个和这个图案完全一样的车轮内部。将其膨胀一步，我们就看到每个点都处于一个更大的车轮内部。相似地，每个点又都位于每一代车轮内部，尽管这些车轮并不需要是同心的。

图1.11 包围着蝙蝠侠的车轮图案

请注意辐射至无穷的那10条浅灰色轮辐。康韦将它们称为“虫”。它们是由长长短短的领结构成的，其中长短领结的数量之比是黄金比例。每一个彭罗斯宇宙中都包含着无限条任意长度的虫。膨胀或者收缩一条蠕虫，你就会得到沿着同一根轴的另一条虫。瞧，在无限车轮图案中，两条完整的蠕虫横跨了中心的车轮（它们在其内部时不是灰色的）。其余的轮辐都是半无限蜻虫。除了这些 轮辐以及中心车轮内部以外，这个图案具有完美的十重对称。在任意两根轮辐之间，我们看到太阳和星星的图案越来越大的部分交替出现。

这个无限车轮图案中的任何一根轮辐都可以两边对调（或者与此等价地，其中的每一个领结都可以两端调转），结果除了中心车轮内部的那些镶嵌片外，这根轮辐仍然会与周围的所有镶嵌片相符合。图中共有10根轮辐，于是就有2¹º=1024种状态组合。不过，在去除旋转和翻转之后，就只有62种完全不同的组合了。每种组合都在车轮内部留下一个区域，康韦将其命名为“十足动物”。

图1.12 三种十足动物

十足动物是由10个全同等腰三角形构成的，这些三角形的形状为放大的半个飞镖。具有最高对称性的十足动物是图1.12中所示的圆锯和海星。和一条虫一样，每个三角形都可以翻过来。像之前那样，通过忽略旋转和翻转，我们就得到62种十足动物。想象每个十足动物周界上的凸顶点都标注为7，四顶点都标注为H。为了继续铺陈，这些H和7都必须按照通常的方式与镶嵌片的头尾相配。