五大蒙蔽你的数学假象，我最佩服第三个！

注意到

似乎有这种可能,对于所有的正整数n， 在 上 的因式分解成不可约多项式的乘积后各项系数都为 1或者-1 ，不难验证对n在 1-20 之间都是正确的。

据说有人曾经算到了 ，均没有发现反例，终于放心大胆地 猜想：

对于所有的正整数 n， 在 上因式分解后各项系数都为1或者-1！

反例:

在 n = 105 时， 的分解式为

出现了两个 -2

注:

在数学中，n次分圆多项式是指唯一的n次整系数 不可约 多项式 ， 使得其为 的因子，不为 的因子，k为任意比n小的正整数。可以证明：

然后对 有因式分解：

也就是最后因式分解得到的因子均为分圆多项式。

为什么会出现n=105的反例呢？

来看一些 分圆多项式

他们的系数都是-1，1，这种情况一直持续到n=104。

而 n=105 时：

这是一个常用的 经典超大数产生的反例 。

考虑对自然数列的质因数分解

在写出的数种可以看到， 4、6、9、10、14、16 这6个数

严格来说，n有质因数分解 ，令 ， f(n)取0或1

Pólya猜想:

对每一个给定不小于2的正整数2,3,……,n这n-1个数中 含偶数个质因数的数的个数小于一半
即

这个猜想对 1亿之内 的数都成立！

反例：

不幸的是……

来自Matrix67博客的一段话 （加了补充） ：

Pólya 猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过，这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。

到了 1958 年，英国数学家 C. B. Haselgrove 发现， Pólya 猜想竟然是错误的。他证明了 Pólya 猜想存在反例，从而推翻了这个猜想。

不过，Haselgrove 仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值。

Haselgrove 估计，这个 反例 至少 也是一个 361 位数（ ）。

1960 年，R. Sherman Lehman 给出了一个确凿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的：n = 906 150 257。

注：

这个反例充分说明，不能随便假定某个猜想是正确的，哪怕它对于很小的数再怎么正确。