书吏阿梅斯

士兵们，在远方金字塔的顶上，四千年的岁月在俯视你们！ ——拿破仑， 1798 年 7 月 21 日在埃及

1858 年，苏格兰律师兼文物收藏家莱因德 (A. Remy Rhind, 1833 一 1863) 在前往尼罗河谷的旅途中买了一份文献，这份文献是几年前在上埃及底比斯城（现在的卢克索附近）的一个小建筑废墟中出土的。这份文献现在被称为《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus), 是一本包含84 个数学问题的文集，内容涉及算术、早期代数和几何 [1] 。由于莱因德 30 岁时英年早逝，这批文献随后为大英博物馆所拥有，成为永久馆藏。这份纸草书最初被发现时是 548.6厘米长、33.02厘米宽的卷轴，但是当大英博物馆得到它时，一部分已经遗失。然而，十分幸运的是，后来发现这些遗失的部分由纽约历史协会所保存，因此现在可以看到完整的文献。

古埃及的神殿及宝藏，总是令欧洲的旅行者们神往不已。1799 年拿破仑率领军队入侵埃及，虽然以失败告终，但是却为大批的学者、文物研究者和探险者们打开了通往埃及的大门。拿破仑对文化和科学有着浓厚的兴趣，他的幕僚中有众多各个领域的学者，其中就有数学家傅里叶 （我们在后面还会谈到他） 。这些学者在整个埃及搜罗古代的宝藏，凡是能带走的都带回了欧洲。他们最著名的发现，就是在尼罗河三角洲最西端的小镇拉希德 （欧洲人称之为罗塞塔） 附近发掘出的一块巨大玄武岩石碑。

和莱因德纸草书一样，罗塞塔石碑最后也是由大英博物馆收藏，上面刻有托勒密五世王朝 （公元前 195 年） 由埃及僧侣组成的议会所颁布的一项法令，分别用 3 种文字——希腊文、古埃及通用文字和象形文字写成。英国物理学家托马斯·杨 (Thomas Young, 1773 一 1829) 是第一个破译出石碑上文字的人 （托马斯兴趣广泛，最著名的成就是他关于光的波理论） 。通过比较 3 种文字中相似符号的重复部分，他能够编纂出一部关于古埃及文字的初级字典。这部字典最后于 1822 年由法国著名的埃及古物学者商博良 (1790 一 1832) 完成，商博良还在刻文中辨识出了埃及艳后克利奥帕特拉的名字。商博良具有划时代意义的工作，使得学者们得以译出大量写在莎草纸、木片以及石碑上的古埃及文献，其中就有几卷是有关数学的文献。最长最完整的数学文献是莱因德纸草书。

德国学者埃森洛尔最先将莱因德纸草书翻译成现代语言，英译版则由皮特所译， 1923 年在伦敦出版 [2] 。但是影响最广泛的版本则是由蔡斯于 1929 年完成的。蔡斯原本是一个美国商人， 1910 年的埃及之行使他成 为一位埃及古物学者。正是通过他的版本，莱因德纸草书才被普通大众所知道。 [3]

纸草书上的文字是用僧侣体从右向左写成的，这与较早的象形文字截然相反。全文用黑红两种颜色写成，并配有几何图形。它是由一位名叫 阿莫斯 的书吏所写下的，现代的作者一般称他为 阿梅斯 。但是纸草书上所记载的内容不是他自己的著作，他只是将它们从更古老的手稿中抄录下来而已，这可以从他自己的序文中看出：

本书是在第 33 年洪水泛滥季节的第四个月所抄录的，时值上下埃及统治者阿屋赛瑞法老时代，它以相似的形式，为上下 埃及统治者奈马特瑞时代的文献赋予新的生命。抄录者是阿梅斯。 [4]

上面提到的第一位法老阿屋赛瑞，已经确认是希克索斯王朝的君王之一，大约生活在公元前 1650 年左右。第二位法老奈马特瑞是阿美尼赫特三世，统治时期是公元前 1849 年至公元前 1801 年，这一时期被称为中王国时代。因此我们可以确定出原著和抄录的确切时间， 这份文献写于将近四千年前，是目前所知年代最早、内容最广泛的古代数学文献 之一。 [5]

这本著作在一开始就展现了作者的宏大愿景：计划向读者提供一个 “对所有事物全面而彻底的研究，洞察所有存在的事物，知晓所有的秘密” [6] 。即使这些愿望未能很好地实现，这本著作仍然使我们能够对古埃及数学有非常深刻的领悟。文献中所列出的 84 个问题涵盖算术、口述代数 (求出未知量） 、测量 （面积和体积计算） ，甚至还有等差及等比数列。那些习惯于希腊数学形式结构 （定义、公理、定理和证明） 的人，一定会对莱因德纸草书的内容感到失望，因为这里既没有提出可以应用到某一类问题上的一般规则，也没有根据先前事实逻辑推导出来的结果。相反，问题都是给出特定值的特定例子。它们几乎都是“叙述型问题“，处理的都是很平凡的事物，比如求出一块田地的面积，一个粮仓的容积，或者是如何在许多人当中分配一定数量的面包等。显然，这本著作是书吏学校的一本习题集，因为当时只有皇室书吏阶级才能从事文字工作，包括阅读、书写和算术，也就是我们现在的“3R” [7] 。该纸草书还包含了一个看上去没有实际用途的问题，其目的显然是挑战和娱乐读者 （见本章后的“古埃及的数学娱乐”)。

莱因德纸草书的开头是两个表：一个是 2 被 3 到 101 之间所有奇数除的 除法表，另一个则是整数 1 到 9 被 10 除的除法表。所有答案都是以单位分数 （分子是 1 的分数） 的形式给出的。不知道是出于什么原因，这是古埃及人所知道的用来处理分数的唯一方式， 2/3 是一个例外，它本身被视作 一个基本的分数。他们花费大量的功夫和技巧将一个分数分解成单位分 数的和。例如， 6 被 10 除的结果是 l/2+1/10, 7 被 10 除的结果是 2/3+ 1/30 [8] 。

当然，古埃及人并没有使用我们现代的符号来表示分数，他们在整数上加一个点 （或者在象形文字上加一个椭圆圈） 来表示该整数的倒数。他们也没有表示加法的符号，单位分数简单地并列写在一起就表示它们相加 [9] 。

该文献接下来处理的是包含减法 （称为“求全”) 和乘法的算术问题， 以及求解未知量的问题。这些问题统称为“啊哈” 问题，因为它们通常以字母 h (发音 aha 或者 hau) 开头，所代表的意思可能就是要找出的“未知量” [10] 。例如，第 30 个问题问：“如果问，什么数的 2/3+1/10 是 10, 请告诉他。”文献中记载的答案是 13+1/23, 并且在后面列出一个证 明过程 （我们现今称之为“验证”) ，来证明这确实是一个正确答案。用现代的语言来说，第 30 题等同于解方程 。这类线性方程用所谓的“试位法”来求解：假设用一个合适 （容易算） 的数字表 示 (比如 30) , 代入到方程中。则等式左边变成 23, 不等于 10。又因为 23 必须乘以 10/23 才能得到 10, 所以正确的解应该是 10/23 乘以假设的值， 也就是 x=300/23=13+1/23。可见，在现代代数符号出现之前约 3 500 年， 埃及人就已经掌握了一种能够有效求解线性方程的方法 [11] 。

第 41 ~ 60 题实质上是几何问题。第 41 题说：“求出一个直径为 9, 高度为 10 的圆柱形粮仓的容积。”解答如下：“减去 9 的 1/9 (也就是 1) , 得到 8 。将 8 乘以 8, 得到 64。将 64 乘以 10, 得到 640  。”（单位是 立方腕尺 ，然后 作者 将此结果乘以 15/2, 转换成“赫卡" ——这是当时用来测量谷物容积的标准单位，1 赫卡等于 4.789立方分米。） [12] 显然， 为了计算出圆柱的底面积，书吏将圆形的底用边长为直径的 8/9 的正方形 来代替。如果用 来表示直径，则面积公式为 。如果将此公式与 相比较，我们可以发现埃及人使用的 值是 , 这与真实值的误差只有 , 。精确度之高让人惊叹，真是非常了不起的成就! [13]

我们特别感兴趣的是第 56 题到第 60 题，这几道题都与埃及最著名的名胜古迹金字塔有关，并且所有的问题都用到了单词“塞克特” (seked, 参见图 1) [14] 。这个单词的意思我们随后就会知道。

第 56 题说：“如果一个金字塔高 250 腕尺，底边的边长 360 腕尺，则它 的‘塞克特’是多少？”阿梅斯的解答如下：

取 360 的 1/2 为 180, 为了得到 180, 乘以 25O, 得到 1/2 1/5 1/50 腕尺。1 腕尺等于 7 掌(palm), 用 7 乘以 1/2 1/5 1/50: 则塞克特是 掌即

让我们来分析一下这个解。显然， 360 的 1/ 2 (即 180) , 是金字塔正方形底边长的一半 （参见图 2) 。”为了得到 180, 乘以 250" 的意思是，找出一个数 使得 250 乘以 等于 180, 因此可得 x= 。但是埃及数学家要求所有的答案都必须以单位分数的形式给出，而 1/2 、1/5 和 1/50 的和正好是 18/25, 所以这个数值是金字塔底边长的一半与金字塔的 高之比，也就是金字塔侧面的横宽对纵高(run-to-rise) 之比。事实上， 阿梅斯发现的这个量 （塞克特） ，就是金字塔的底面与侧面夹角的余切值 [16] 。

有读者可能马上会产生两个疑问。首先，为什么他不像我们今天的做法一样求出这个比率的倒数，也就是纵高对横宽之比呢？答案是，人 们在建造垂直建筑物时，会很自然地去度量当高度增加一单位时，水平方向与垂线的偏离程度，也就是横宽对纵高之比。这确实是建筑学的实际做法，他们用“直倾斜”(batter) 来度量一面想象中的竖直墙的内倾斜率。

其次，为什么阿梅斯要把他的答案乘以 7 呢？其原因是，金字塔的建造者们在测量水平距离时常用“掌”或者“手”作为单位，而测量垂直距离则用腕尺作为单位。1 腕尺等于 7 掌，因此所求出的“塞克特”值 是以每腕尺的“掌数”为单位给出的横宽对纵高之比。当然，我们今天 25 只是将这些比率视作纯数字。

为什么横宽对纵高之比被认为如此重要，以至于被赋予一个专有名词，并且在纸草书中占用了四个题目？原因在于，金字塔建造者必须保持每个面相对水平面的倾斜度是一致的。这可能在纸上看着非常容易， 但是一旦开始实际建造，建筑工人就必须经常检查他们的进度，以确保在施工过程中保持所需的倾斜度。也就是说，每一个面的“塞克特”值必须一样。

第 51 题是第 56 题的相反问题：给出“塞克特”的值和底边的边长，然后求高。第 58 题和 59 题与 56 题类似，得到“塞克特”的值是 掌 （每腕尺） ，所不同的是，答案以 5 掌 l 指 (finger, 1 掌等于 4 指） 来表示。最后，第 60 题是求一个高 30 腕尺、底 15 腕尺的柱子的“塞克特”值。我们不知道该柱子是金字塔形状，还是圆柱形 （如果是此情形， 15 则是底面的直 径） 。然而不论是哪种情况，答案都是 1/4 。

第 56 题中求出的“塞克特”是 18/25 (无量纲单位） ，对应着底与面的夹角是 54°15' 。第 58 题和 59 题所求出的“塞克特”转换成无量纲单位就是 , 即 3/4, 对应的角是 53°8' 。将这些数字与吉萨的一些金字塔的实际角度相比较，可以得到以下有趣的结果 [17] 。

基奥普斯金字塔：51°52'
切夫伦金字塔：52°20'
迈锡里努斯金字塔：50°47'

这些数字与例题中算出的结果非常接近。至于第 60 题中的柱子，它 的角度则大多了，当然也和我们对这种建筑的预期相吻合： 。