人一到无穷∞微积分从娃娃学起

一个父亲带着一个孩子，认真一点就可以读懂微积分 。

把一个复杂现象分解成无数的小片段，然后再将这些片段重新累加，你会发现：原来微积分就是这么 “拆”和“合”。

你会在展览中看到圆面积的 “拼接”——从一个个小三角形接近圆的过程，到不规则形状如何利用“无限切割”接近求和。

甚至还可以亲自动手分割图形、计算累积量，从小处逐步体会到微积分帮助我们掌控 “无穷小”的神奇之处。

这里每个体验区都将抽象的微积分概念变得鲜活、生动。无论是曲线的弧度、速度的变化，还是面积的累加，这个展览将帮助你在短短的观展时间里读懂微积分的核心思想。

一、什么是无穷小？

无穷小（ infinitesimal）是一个无限接近于零的概念，但并非真正等于零。设想你有一把“神奇的尺子”，可以将物体的长度测量到极致小的单位。

1. 1 米 ：测量人的身高；

2. 10^-3 米（毫米） ：测量蚂蚁触角长度；

3. 10^-6 米（微米） ：测量细菌直径；

4. 10^-15 米（飞米） ：测量原子核尺寸；

5. 10^-35 米 ：普朗克长度，物理理论上的极限尺度。

当我们继续缩小到几乎为零时，进入了一个神秘的领域，这个尺度虽然 “无限小”，但它却包含无穷的信息，并能在微积分中帮助我们解答许多问题。

二、无穷小的奇妙之处

无穷小的思想揭示了许多有趣的数学现象和悖论：

· 飞矢不动悖论 ：芝诺认为，将时间无限分割，每个瞬间中的箭是静止的，似乎箭永远不会动。

· 乌龟悖论 ：假设兔子和乌龟赛跑，乌龟比兔子先跑出一段距离，兔子每次追上乌龟之前的位置时，乌龟都向前移动一小步，因此兔子似乎 “ 永远追不上 ” 乌龟。

· 日砍其半 ：如果每天将一根木棍截取一半，棍子将永远也截不完，这意味着在无限次操作后，还存在棍子的 “ 无穷小 ” 部分。

这些悖论挑战了直觉，启发了数学家们思考如何用微积分来描述无限分割和累积的过程。

三、穷竭法与早期微积分

古希腊数学家们通过 “ 穷竭法 ” 探索如何计算圆形的面积，他们通过分割和累积，让多边形的面积无限接近圆的面积：

· 刘徽的割圆术 ：魏晋时期数学家刘徽提出 “ 割圆术 ” ，通过将圆分割成多边形，并不断增加边数，使得多边形的面积接近于圆。刘徽将 π 的值精确到 3.1416 。

· 阿基米德的圆周率 ：阿基米德用内接与外接多边形估算 π 值 在 223/71 与 22/7 之间 。

穷竭法提供了一种极限思想的早期模型，这一思想也为微积分奠定了基础。

四、从无穷小看微积分的魔法：以直代曲

在微积分中，一个重要的概念就是把复杂的曲线分割为无数小的直线段来求解，这就是 “ 以直代曲 ” 的思想。

示例一：圆的分割

假设将圆等分后拼成平行四边形，再继续细分，当分割无限小时，这个形状逐渐趋于一个长方形，其面积可计算为： A =πr ^ 2

示例二：水洼面积

如果将一杯水倒在地板上形成不规则形状，我们可以将其边缘分割成无数小直线片段，逐段求出面积。通过无穷小的分割和累积，我们可以近似求出水洼的总面积。

这种方法不仅适用于简单的几何形状，也可应用于更复杂的曲线和形状。通过对形状的分割和无穷小的累积，我们可以轻松计算复杂图形的面积和体积。

到了这一步， 基本上已经明白微积分的本质是什么了。
其实就是用可计算的三角形和四边形来计算不规则图形。
但我们还可以更进一步。

五、微积分的基本思想：切割与累积

微积分的核心概念 —— 微分和积分 —— 都依赖于无穷小和累积。

微分 ：描述函数随变量变化的瞬时变化率。例如，函数 y=f(x) 的微分表示为：

积分 ：表示连续变量上无穷小变化的累积。例如，求一个曲线下方的面积可以表示为：

六、莱布尼茨的楼梯法：微积分的推导

莱布尼茨在探索微积分的过程中，创造性地使用了 “ 楼梯法 ” 来推导连续求和的公式，并发现了微积分的基本思想。

这个方法通过将复杂的累加问题转化为连续差分之和，从而简化计算。在莱布尼茨的楼梯法中，他展示了如何将离散的变化转化为连续的累积，理解微积分的原理。

问题引入：一个 99层的楼梯

惠更斯出了一道题来考莱布尼茨： “ 假设一个人正爬一个 99 层的楼梯，每层的高度不一样，如何测量从楼梯底部到顶部的总高度？ ”

在这种情况下，楼梯的总高度可以表示为一个求和公式，其中每层的高度是一个分数：

推导过程：连续差分之和

莱布尼茨通过观察这一公式的结构，发现每一项都可以写成一个连续差之和的形式，这样的表达在计算中会引发 “