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吴文俊：让全世界重新认识中国古代数学的人

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2019-05-15 10:26

正文

2019年是著名数学家、中国科学院院士、首届国家最高科学技术奖获得者吴文俊（1919-2017）先生诞辰100周年。吴文俊先生在拓扑学、数学机械化和中国数学史研究领域做出了划时代的成就，为我国的现代数学事业和数学史学科发展做出了卓越的贡献。

撰文 | 李文林

来源 | 上海交通大学出版社

编辑 | 返朴

上世纪70年代，吴文俊先生将研究兴趣转向中国古代数学。他以敏锐的目光和深邃的思想把中国传统数学的特点概括为 构造性 与 机械化 ，不仅将其成功地应用于数学机械化新领域，成为古为今用、自主创新的典范，而且也开创和引领了继李俨（1892—1963）、钱宝琮（1892—1974）之后中国数学史研究的新局面。自1975年吴先生发表第一篇数学史论文后，他在报刊和杂志上陆续发表了多篇数学史重要论文，并且在多部数学史著作的序言中阐明自己对中国传统数学及其研究方法的认识，逐渐形成了独到的具有鲜明时代特色、影响深远的数学史认识论和方法论，即“吴文俊数学史观”，为弘扬中国古代数学文化作出了巨大贡献。

1975年，吴文俊先在他第一篇数学史论文《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》使用了笔名“顾今用”。记得当年有一天，我在原中科院数学所大楼四层走廊里碰见吴先生时问他：“顾今用是您吧？”他神秘地笑了笑，然后握着拳头神情严肃地说了一句：“准备战斗！”我当时没有理解这句话的意义，现在看得很清楚了：先生在逼近花甲之年，以战斗的姿态和科学的热情，古为今用，开创了数学机械化的崭新领域；同时以战斗的姿态，亲自深入数学史研究，以揭示历史本来面目为己任，为弘扬中国古代数学文化作出了巨大贡献。

年轻时的吴文俊院士

“古为今用” ——开创数学机械化的新领域

所谓“古为今用”，就是要从历史上的数学思想方法中获得借鉴和教益，以历史借鉴和教益来促进现实的数学研究，这是数学史研究的重要意义和价值之所在。吴文俊的数学史研究自始至终都自觉地贯彻了“古为今用”的原则，这是他学术研究的鲜明特点，其数学机械化理论的创立就是在“古为今用”的原则指导下将数学史研究成果应用于现代数学研究而取得的卓越成就。

根据吴先生的自述，他的“数学机械化”思想与早先尝试几何定理的机器证明，主要有三个方面的历史来源：

（一）中国传统数学中的几何代数化

“解方程”在中国古代数学中有着悠久的传统。《九章算术》中就有用“开方术”和“方程术”（线性联列方程组的消元解法）解各种应用问题。《九章算术》的“方程术”在宋元时期被发展为“四元术”，即解多元代数方程组的消元算法。正如吴文俊本人所说：

“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻。虽然这是极其原始的，但是，仅就著者本人而言，主要是受中国古代数学的启发。”

（二）笛卡尔《几何学》的“通用数学”与机械化思想

吴文俊认为，古希腊欧几里得几何的证明模式是从定义和公理出发，按照逻辑规则逐步演绎推断，几何证明过程中没有通用的证明法则，只能一题一证，根据不同的问题构思不同证明的方法。笛卡尔（Rene Descartes，1596—1650）的《几何学》却对希腊演绎模式进行了批判，企图以代数改造几何，给出了不同于《几何原本》的证明模式，开创了可用计算进行几何定理证明的新局面，从而将演绎几何引向解析几何。事实上，解析几何是其“通用数学” （mathesis universalis）实现在几何学上的一个案例。笛卡尔建立“通用数学”的目的是实现其以下宏伟计划：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解（多个未知量→单个未知量）

笛卡尔这一大胆计划反映在其著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（1637）以及稍早未完成的著作《指导思维的法则》之中，《几何学》不过是《方法论》的附录。在吴文俊的论文与讲演中多次征引笛卡尔的这一计划。“笛卡尔计划”的核心纲领是将多元代数方程组化为一元代数方程，然后用机械化的方法求解。显然，笛卡尔并没有意识到这一计划在具体实现过程中存在困难，他在《几何学》中虽然尽力采用机械作图法来求解一元高次方程，但对多元代数方程组如何化为一元代数方程没有给出具体方法。直到18世纪末，多元高次代数方程消元法才出现在法国学者E·裴蜀（E. Bézout，1730—1783）等一些数学家的书中，然而西方数学界直到今日仍没有给出完整的方法来求解非线性多项式方程组，只有17世纪日本数学家关孝和（1642？—1708）在中国宋元天元术基础上建立了比较粗糙的解多元高次方程组的消元方法（称之为解伏题），但其方法仅局限于在日本流传，没有对西方近现代数学产生影响。

年轻时的吴文俊院士

吴文俊正是在解多元高次方程组方面取得了重要突破，他创造的“三角化整序法”是目前唯一完整的非线性多项式方程组消元解法，在国际数学界被称为“吴方法”，而“吴方法”的思想恰恰来自中国古代数学的启示，特别是受到元代数学家朱世杰（1249—1314）的“四元术”的启示。吴文俊明确指出：

“我解方程的方法基本上可以说是从朱世杰那儿来的，他用消去法，一个个消元，方法上可以说有个原始的样板。当然朱世杰没有什么理论，很粗糙；我发展下来，有一个真正现代数学的基础，就是代数几何。”

他不仅说明了自己数学创造的思想来源，同时也启示我们，从“历史借鉴”升华到“理论创新”，不仅需要数学家有敏锐的历史洞察力，而且更需要有高度的独创性思维。吴文俊正是借助现代代数几何的理论和工具，打破了代数几何领域中的理想论论式传统，恢复了零点集论式，建立了“三角化整序法”，在现代代数几何的基础上发展了中国古代“四元术”的消去法。以上这些构成了吴文俊“数学机械化”思想的主要内容。

（三）希尔伯特的《几何基础》中的机械化定理

希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie，1899）将几何学引进更抽象的公理化系统，不仅将欧几里得《几何原本》的公理系统加以改良，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象、普遍的数学理论，该书可谓论述几何公理化的经典性著作。但是，吴文俊在该书中发现，希尔伯特明言：同一类几何定理可以用统一的方法一起证明，不必逐一进行证明。而且其中含有一条连希尔伯特本人可能都未意识到的机械化定理：初等几何中只涉及从属于平行关系的定理，可以机械化证明。如果引入适当的坐标，其统一的证明方法则可以通过算法来实现。《几何基础》一直以来都被奉为现代公理化方法的经典，甚至与《几何原本》一样成为公理化的代名词，然而其中却包含算法化的思想。吴文俊正是从中获得了几何定理机械化证明的思想借鉴。这充分反映出吴文俊对历史典籍考察分析的敏锐眼光和思想深度。

吴文俊创立数学机械化理论是当代研究与历史借鉴完美结合而取得重大发明创造的范例。其从数学史研究到创立和完善数学机械化理论的过程及其中的一些细节，是值得数学史与数学工作者认真研究和探讨的课题。

吴文俊院士的毕业档案

“数学主流性”——弘扬中国古代数学文化的旗手

大约从1975年起，吴文俊的研究兴趣开始转向中国古代数学史，他认真研读了《九章算术》《数书九章》《四元玉鉴》等中算经典，发表了一系列中国数学史研究论著，这些论著思想深邃，见解深刻，更自始至终贯穿着中国古代数学对世界数学主流的贡献这一个重大主题。吴文俊此方面的数学史论著在国内外引起了巨大反响，开辟了中国数学史研究的新时代。

（一）论证中国古代数学的“主流性”

欲全面、充分地理解吴文俊有关“中国古代数学对世界数学主流的贡献”论断的深刻意义与学术影响，需要分析其进入中国数学史领域之前该研究领域的状况。事实上，在其研究工作之前，中国数学史研究已经历了两个性质不同的阶段。

由于东西方文化的差异，加之欧洲中心主义的影响和对中国数学了解的局限性，西方学术界在相当长的时期内对中国传统数学持有偏见。起初他们认为中国古代不存在本土数学，直到20世纪初才开始关注中国古代数学，如西方数学史家康托（M. Cantor，1829—1920）、斯密斯（D.E. Smith，1860—1944）、卡约里（F. Cajori，1859—1930）等人的著作中开始设立专门章节以描述中国古代数学，但内容过于简单且不成体系。所述内容基本上依据赫师慎（ Louis van Hée ，1873—1951）等17世纪以后来华传教士们的著述和日本学者三上义夫（1875—1950）的研究东亚数学史的论著。笔者将此阶段（19世纪中叶至20世纪初）称之为“存在性”阶段。

康托、斯密斯、卡约里以及三上义夫等人的著作对于帮助西方人了解中国古代数学起到了积极作用，但局限于他们对中国古代数学研究的深度，他们的工作还不能回答中国古代数学是否具有“独立性”的问题，仍有一些西方学者对此存有疑问，甚至提出中国古代数学来源于古巴比伦、古印度、古希腊的谬论。

现代意义上的中国数学史研究开始于20世纪20年代，代表人物是李俨

（1892—1963）

、钱宝琮

（1892—1974）

，以及西方的李约瑟

（Joseph Needham，1900—1995）

。其中李约瑟的工作在西方学术界影响更大。1959年，李约瑟在中国学者王玲

（1917—1994）

的协助下，出版了《中国的科学与文明·数学天文地学卷》

。在这部划时代的巨著中，李约瑟以大量的令人信服的史料和证据，全面系统整理、论述中国古代科学技术的成就，阐明中国文明对世界文明的巨大贡献。书中通过对中西数学进行分析比较，对西方学界流行的中国古代数学来源于古巴比伦或古希腊之说予以批驳，而且还通过考证客观地分析了古代中国与印度两大文明间的数学交流。他认为，公元前250年至公元1250年的一千五百年间，从中国传出去的数学知识远比域外传入中国的数学知识多得多。此观点后来逐渐为一些公正的西方学者所接受。笔者称此阶段

（20世纪30年代至20世纪中叶）

为“独立性”阶段。尽管中国数学的独立性被西方学术界所承认，但对中国传统数学的偏见依然存在。例如，1972年，美国著名的数学史家M·克莱因

（Morris Kline，1908—1992）

出版了《古今数学思想》一书，该书在西方学术界颇有影响。但作者在该书的前言中却称：

“我忽略了几种文化，例如中国的、日本的和玛雅的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有影响。”

由此可见，西方学术界对中国传统数学的偏见和误解根深蒂固，只是将争论、否定的焦点转移到了所谓“数学思想的主流”这一问题上。如果不辩证、澄清数学思想“主流性”这一问题，自然就不会正确认识中国古代数学的意义和地位。吴文俊恰好于20世纪70年代初期进入中国数学史研究领域，正是他的研究工作才揭示出中国古代数学对世界数学思想发展主流的影响及其贡献。因此，吴文俊的工作开辟了中国数学史研究的新时代。

吴文俊院士在阅读数学史著作

吴文俊首先对西方数学编史中所谓的“数学思想主流”予以辩证和正本清源，首次提出：数学发展沿着两条路线，一条是源自古希腊的抽象演绎（以欧几里得几何为代表的）数学系统，另一条发源于中国，影响到印度和阿拉伯，然后影响到世界的算法化数学系统。但根据与吴文俊先生的多次交流，笔者更倾向于将数学发展过程中的两条思想路线概括为：

证明定理（主要是几何命题）——希腊（西方）传统

创造算法（特别是解方程算法）——中国（东方）传统

在吴文俊看来，数学发展的主流有两种模式，一种是公理化（演绎）模式，一种是机械化（算法化）模式，前者以希腊演绎几何学为代表，后者以中国古代解方程为中心的代数学为代表，两者相互平行、相互交织，共同促进世界数学的发展。就对促进近代数学产生的贡献而言，后者的意义绝不亚于前者，甚至更有利于近代数学的产生。吴文俊这一论断，颠覆了以往西方数学史学者的数学史观。

（二）倡导“古证复原”的数学史研究方法

吴文俊能够在数学史研究领域中获得如此创造性的见解，很大程度上归功于他所倡导的科学的研究方法。在深入调研分析中外数学史研究现状之后，吴文俊发现，以往的数学史界在研究中国或其他古代文明中的数学时，普遍存在不加限制地使用现代数学符号与语言的现象，这样来理解古代数学会导致其真实情况不仅湮没不彰，而且面目全非，并由此衍生出许多数学史上的“巴比伦神话”“印度神话”和“丢番图神话”。比如，他对美国数学史家斯特洛伊克（Dirk J. Struik，1928—1960）认为巴比伦泥版中有着二次或四次方程问题提出尖锐批评。同样，吴文俊也指出用添加平行线的方法证明《周髀算经》的“日高术” （或刘徽的海岛公式） “不仅与中国古代几何学的真意不符，说的严厉一些，可以说所举的证明都是‘错误的’”。吴文俊一针见血地指出，人们对中国古代数学的许多误解正是使用这种错误的数学史研究方法所致。他特别强调，中国传统数学有自己独特的、不同于西方的知识体系、内容形式与思想体系，也有自己的发展途径，所以不能生搬硬套西方数学的模式来研究中国数学史，更不能以今代古。

作为严谨的数学史家，吴文俊特别重视历史研究的实证与客观性，即使史料不足也需要考虑古代数学文化的语境，为此他特别提出了研究古代数学史的几条方法论原则，后来将其提炼为两条最基本的原则：

原则Ⅰ：所有研究结论必须在幸存至今的原著的基础上得出。

原则Ⅱ：所有结论必须利用古人当时的知识、辅助工具和惯用的推理方法得出。

由于中国古代数学不采用逻辑演绎形式，古代数学文本只记录数学结论和数学方法（算法），不记录数学结论或算法是如何获得（推导）的过程。这就给中国数学史研究提出一个课题：如何复原古代的证明（古证复原）？这是关系到如何正确认识中国古代数学的十分重要的问题。吴文俊针对此类研究提出了“古证复原”的原则，因在数学史研究中具有普遍性而成为一般性原则。

这两条原则对于数学史研究有非常明显的功效，最典型的例子就是他本人复原了《周髀算经》的“日高公式”的证明，由此导致他发现中国古代数学家利用“出入相补原理”建立二次方程，进而发现中国几何代数化的特征。

吴文俊的数学史方法论原则很快被数学史界所推崇和遵循，他首次运用了上述原则进行数学史研究的论文《出入相补原理》后被译成英文，成为引用率最高的数学史论文之一。目前学术界越来越多的数学史同行认同、实践其“古证复原原则”，它无疑已成为数学史界乃至整个科学史界的宝贵的思想财富。

（三） “出入相补”等原理的精辟提炼

数学史研究结论的获得，必须基于可靠的史料研读与严格的科学分析。从20世纪70年代初开始，吴文俊对中国古代数学经典的研读倾注了大量精力，系统而深入地研究中国传统数学的特点及其对世界数学思想主流的影响。通过研读《九章算术》及其刘徽注，吴文俊发现：我国古代几何学不仅拥有悠久的发展历史，有着丰富的内容，取得了重大的成就，而且形成了具有中国自己特色和独特风格的几何体系，与西方的欧几里得几何体系迥异。他进而认为：我国古代几何学的特色之一是，根据一些经验成果提炼总结成一个极其简单明了的一般性原理——出入相补原理，并把它应用到形形色色、多种多样的问题上。

上文所说的“出入相补”，出自《九章算术·勾股章》刘徽“勾股术注”。吴文俊敏锐地发现，刘徽所谓的“令出入相补，各从其类”蕴含着一个深邃的几何学思想，将其上升概括成一条更一般的数学原理，即“出入相补原理”。正是利用此原理，吴文俊成功地复原了《周髀算经》的“日高公式”，给出了刘徽《海岛算经》九问的造术原理，进而证明了秦九韶《数书九章》“三斜求积公式”，并阐述了中国传统的开平方、开立方的几何本质，同时探讨了刘徽的体积理论，进而又把刘徽所说的“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”概括为“刘徽原理”：斜解一长方体，所得阳马和鳖臑的体积比恒为二比一。

由此可见，中国古代几何学体系不同于古希腊的“从定义、公理出发，通过逻辑推理来证明定理”的演绎系统，而是根据几条极为简明的原理，构造性地逐步推导出所需要的结果。吴文俊概括的“简明原理”包括：出入相补原理；刘徽原理；截面原理（又称作祖暅原理或刘祖原理，相当于Cavalieri原理）等。其中的“出入相补原理”是吴文俊通过对刘徽著作的深入研究之后首次概括得到，现已成为解开中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙。尤其重要的一点是，吴文俊通过对重差术与天元术的关系的研究，揭示出中国古代数学家在“出入相补原理”引导下，将几何问题转化为代数方程求解的规律，从而发现了中国传统数学中“几何代数化”这一更为本质的特征，与希腊演绎几何形成鲜明的对照。

吴文俊还通过对东西方数学史的全面考察和深刻分析，揭示了在作为近代数学标志性成就的微积分发明创造方面，希腊式数学的脆弱性和劣势，如笨拙的穷竭法、没有极限概念等，同时令人醍醐灌顶地指出，中国式数学在微积分创造方面的优势，如使用优越的十进制分数与小数、擅长数值计算与算法化倾向、无穷小分析中的“祖暅原理” （与西方数学史家盛赞的所谓Cavalieli原理相等价）等。吴文俊所揭示的中国传统数学成就与特点清楚表明，如果解析几何与微积分的发明属于所谓数学发展的“主流”的话，那么不可无视中国古代数学对此主流的贡献。

“丝路基金”——吴文俊数学史思想和理念的集中体现

吴文俊院士作为大会主席在第24届国际数学家大会（2002年8月20日，北京）的开幕式上的致词讲道：

现代数学有着不同文明的历史渊源。古代中国的数学活动可以追溯到很早以前。中国古代数学家的主要探索是解决以方程式表达的数学问题。以此为线索他们在十进位值制记数法、负数和无理数及解方程式的不同技巧方面做出了贡献。可以说中国古代的数学家们通过“丝绸之路”与中亚甚至欧洲的同行们进行了活跃的知识交流。今天我们有了铁路、飞机甚至信息高速公路，交往早已不再借助“丝绸之路”，然而“丝绸之路”的精神——知识交流与文化融合应当继续得到很好地发扬。

吴文俊：让全世界重新认识中国古代数学的人

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