本课会对自然数集
、整数集
、有理数集
、实数集
中包含的元素个数进行比较，以及解释为什么需要进行比较。所涉及到的内容也许非常反直觉，可能需要几个小时、几天才能逐渐摆脱不适。这并不奇怪，要知道最初的人们为了领会它甚至花了好几十年的时间。
1.1 康托尔的数学成就
让我们从现代集合论的奠基人格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845－1918）说起：
从 1874 年开始，康托尔开始研究各种数集的大小，也就是研究数集的
基数
，并且开始比较这些基数的大小关系。这在当时非常离经叛道，康托尔不光研究无穷大（有些神学家认为只有上帝才有权利解释无穷），还认为无穷大之间可以进行比较，这遭到以利奥波德·克罗内克（当时最著名的数学家之一，还是康托尔的老师）为首的众多数学家长期攻击，最终致使康托尔在 1884 年患上了躁郁症。在第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈雷大学的精神病院。
1.2 康托尔的数学成就
康托尔在 1874 至1884 这十年间的研究成果，是集合论的起源，并且真正开启了对无穷的研究，可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的”。所以，大卫·希尔伯特会说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去”：
对无穷的研究是现代数学的特征之一，本课会借助数集基数的讲解，揭开无穷的冰山一角。
2.1 自然数集的基数
自然数集中有无穷多个元素，康托尔直接定义它的基数如下，读作“阿列夫 0”：
并不是传统意义上的数，只是给了自然数集无穷大的基数一个代号。
2.2 非负偶数集的基数
非负偶数集
也是一个无穷大的集合，它的基数为多少？
康托尔的答案是，非负偶数集中的元素和自然数集中的一样多，即两者的基数是一样的：
这是一个非常革命性的结论，在当时也遭到了强烈的抨击。
要知道非负偶数是自然数的一部分，居然说两者是一样多，那是不是以后出去吃饭，吃了一片牛排，就需要付整头牛的钱？
2.3 经典的非议
康托尔的逻辑是这样的，我们说三只羊和三个苹果一样多，这是因为它们之间可以一一对应起来：
而自然数也能和非负偶数建立一一对应关系，所以康托尔说两者的基数是一样多的：
不管你能不能接受这个说法，让我们先继续下去，在本课的最后你会看到这样做的好处。
练习题
对于正奇数：
它的基数和自然数一样吗？
A: 一样 B: 不一样
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“
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”
。
对于上一节的非负偶数集
，康托尔说它和自然数的基数一样：
一
直以来都遭到很多非议，其中经典的一个是，按照下面这样也可以建立自然数和非负偶数的一一对应：
那么很显然自然数
包含的元素更多。
康托尔的解释是，只要能够建立一一对应就说明两者基数一样，而不是说必须只能一一对应。
下面尝试通俗地解释一下，比如像下面这样，可以看出两只手的手指是一一对应的，因此两者是相等的：
但双手换成下面这样就不是一一对应的了：
你能因此说两只手的手指不相等吗？
练习题
质数的基数是不是也是
？
A:是 B:不是
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“
阅读原文
”
。
4.1 整数
我们可以轻松地建立自然数和整数的一一对应关系，比如，让自然数中的偶数对应正整数，自然数中的奇数对应负整数：
所以：
4.2 有理数
有理数一样可以和自然数建立一一对应的关系，具体如下。
我们可以将一个自然数横着放，另外一个自然数竖着放，两个自然数的零点重合。图中交汇的点可以用一个数对来表示：
然后按照如下箭头所指的顺序（图中红色的数字代表顺序）：
建立自然数和数对之间的关系：
每个数对可以看作分子和分母，所以就对应一个有理数（除去分母为 0 的项）：
去除掉其中的重复，就得到了如下的一一对应：
左侧重新按照顺序从 0 开始排序：
最终建立了自然数和有理数的一一对应关系。
所以最终我们有：
这些数集可以和自然数建立一一对应关系，因此可以说第一个整数、第二个整数这样，所以这些数集又称为
可数集
（Countable Set）。
练习题
根据上面的自然数和整数的对应关系，整数中的 -3 对应自然数中的
A: 6 B: 5
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“
阅读原文
”
。
实数没有办法和自然数建立一一对应关系，它的元素要比自然数多，所以它的基数定义为：
自然没有办法说第一个实数、第二个实数，所以这样的数集又称为
不可数集
（Uncountable Set）。
用反证法来证明。
假设自然数
可以和实数
