专栏名称: 经济学博士生的日记本

Hi！欢迎来“偷看”经济学博士的日记本。我是今年到USC就读经济学博士一年级的新生，前两天和Matthew E.Kahn教授交流，作为著名经济学家博客Environmental and Urban Economics的作者，Kahn教授建议我保存一个文档记录自己的Research Ideas，于是我就萌发了来知乎上创建这个“日记本”的想法。从今天开始，我会争取每天写一点对于经济学的观点、思考和想法，篇幅不长，严谨有限，敬请关注~

垄断企业的产品线选择与定价问题

经济学博士生的日记本 · 知乎专栏 · · 2017-12-24 05:56

正文

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这是本专栏的第 51 篇日记

某企业在某产品市场上拥有垄断地位，且有能力生产一系列不同质量水平的该产品，质量分别可以表示成 $0<s_1<s_2<\cdots<s_n$ ，相应的边际成本为 $c_i$ （注意边际成本不一定递增，且不考虑固定成本）。

如果质量为 $s_i$ 的产品售价为 $p_i$ ，那么类型为 $\theta$ 的顾客从购买该质量水平的产品中所获得的效用是 $U=\theta s_i - p_i$ ，其中类型 $\theta$ 表示顾客对该产品的喜爱程度，且是顾客的私人信息，企业只知道 $\theta$ 遵从区间 $[0,1]$ 上的某个分布 $F$ ， $F$ 在 $(0,1)$ 上单调递增且可导，其导函数（即密度函数）为 $f$ ，方便起见，另记 $H(q) = F^{-1}(1-q)$ 。

垄断企业可以推出多种不同质量水平的产品，但是顾客最多只会选择其中提供效用最大的一种；如果所有不同质量的产品提供的效用均小于0，顾客将放弃购买。

那么， 垄断企业应当如何选择提供哪些商品，又如何进行定价呢？

我们先来求出顾客的需求函数。当我们通常说需求函数的时候，我们指的是需求量作为价格的函数，即 $q = D(p)$ ，但是我们在画供求曲线时，通常把需求量放在横轴上，把价格放在纵轴上，因此画出来的其实是“反需求函数” $p=D^{-1}(q)$ 。这两种做法当然是等价的，但是在不同的问题中，其中一种可能比另一种更加简洁。

比如在本文所关心的这个定价问题上，我们就发现，使用“反需求函数”来表达需求系统会更加简明：

如上图所示的这种情况，质量为 $s_2$ 的产品，需求量为 $q_2=0$ ，为了将其表达为价格的函数，我们不得不采用分段函数的形式。

但是，如果我们采用反需求函数的形式，对于需求量大于0的产品，我们可以直接写出：

$\frac{p_1}{s_1} = F^{-1}(1-q_1-q_3) = H(q_1+q_3)$

$\frac{p_3-p_1}{s_3-s_1} = F^{-1}(1-q_3) = H(q_3)$

而对于需求量等于0的产品，注意到：无论我们在上图中如何提高或降低 $p_2$ ，只要曲线 $U = \theta s_2 - p_2$ 始终落在另两条曲线下方，需求量仍保持为0；而对垄断企业来说，由于需求量始终为0，那么提高或降低 $p_2$ 并不影响它的利润。因此我们可以 只关心使得 $q_2$ 恰好为0的价格 $p_2$ ，此时曲线 $U = \theta s_2 - p_2$ 恰好经过另两条曲线的交点。这个临界状态既可以表示成“恰好顾客完全不需要这个产品”，也可以看作是“顾客需要这个商品，但是其需求量是任意小的 $\varepsilon$ ”的极限情况，此时完整的需求系统就变成了：

$\frac{p_1}{s_1} = F^{-1}(1-q_1-q_2-q_3) = H(q_1+q_2+q_3)$

$\frac{p_2-p_1}{s_2-s_1} = F^{-1}(1-q_2-q_3) = H(q_2+q_3)$

$\frac{p_3-p_2}{s_3-s_2} = F^{-1}(1-q_3) = H(q_3)$

进而我们得出：

$p_1 = s_1 H(q_1+q_2+q_3)$

$p_2 = s_1H(q_1+q_2+q_3)+(s_2-s_1)H(q_2+q_3)$

$p_3 = s_1H(q_1+q_2+q_3)+(s_2-s_1)H(q_2+q_3)+(s_3-s_2)H(q_3)$

我们可以很容易地推广到多于三种质量水平的情况。

得出需求系统后，垄断企业的利润最大化问题就是：

$\max_{q=(q_1,\cdots,q_n)} \sum_{i=1}^n [p_i(q)-c_i]q_i,\ s.t. q_i\ge 0,\ \forall i=1,\cdots,n$

如果令 $Z_i = \sum_{j=i}^n q_j$ ，则上述问题可以重写为

$\max_{Z_1,\cdots,Z_n} \sum_{i=1}^n Z_i[(s_i-s_{i-1})H(Z_i)-(c_i-c_{i-1})],\ s.t. Z_i \le Z_{i-1}, \ \forall i = 1,\cdots,n$

注意这里相当于将“不买”视为“第0种质量水平的产品”且满足 $s_0 = 0, c_0 = 0, Z_0 = 1$ 。

如果不考虑最后的约束条件，可以发现目标函数当中每一项只包含唯一一个 $Z_i$ ，因此可以逐项求最大化； 那么什么时候约束条件可以不考虑呢？当我们事先就知道利润最大化时哪些产品有销量而哪些没有的时候。

这个问题其实来自于发表于AER的Johnson and Myatt(2003)。在原论文中，进行到这一步之后，作者进而假设：对于任意 $x$ ， $H(x+y)+xH'(x+y)$ 随 $y$ 单调递减。在这一前提下，作者发现， 如果不同质量的产品其边际成本满足以下“U形”的假设：

$\frac{c_1}{s_1} > \frac{c_2}{s_2} >\cdots > \frac{c_k}{s_k} < \frac{c_{k+1}-c_k}{s_{k+1}-s_k} < \cdots <\frac{c_n-c_{n-1}}{s_n-s_{n-1}}$

(原文如此，不过通常情况下不建议像本式中那样使用不等号……）

那么在利润最大化时， 垄断企业将会提供第 $k$ 种至第 $n$ 种质量水平的产品。 两个显然的特例是：始终保持大于号，则只提供质量最好的产品；始终保持小于号，则提供所有质量水平的产品。

当然，这篇文章能发在AER上，显然不会这么简单，作者进而讨论了当垄断企业的利润是更复杂的形式，或者当企业面对寡头竞争等等情况。

然后这学期IO（产业组织理论）课上，教授把垄断企业情况下的这个问题当作课后习题布置了下来（提供了参考论文，并不打算为难大家……），结果我误打误撞地给出了另一种做法。

回到上面的示意图：

假设在利润最大化时，垄断企业的定价使得只有第1、3种质量水平的产品有销量，而第2种质量水平的产品销量恰好为0。这意味着， 如果垄断企业在临界状态下进一步降低第2种质量水平的产品的售价，尽管增加了这种产品的销量和利润，但却会导致垄断企业的总利润降低 。

因此，一个必要条件是： 在临界状态下，总利润对销量为0的产品的售价单调递增 ；如果不满足这个必要条件，那么企业可以略微降低该产品的售价并提高总利润。

一个充分条件时： 在一定的区间范围内，总利润对销量为0的产品的售价总是单调递增 ；在这个充分条件下，企业一定不会降低该产品的售价，因为这样做一定会降低总利润。

这里的“区间范围”是这样决定的：销量为0的产品的售价在这个区间内变动时，只会影响到其旁边紧邻的两个有销量的产品的销量（和利润）；因此我们只需要考虑这三种产品提供的的总利润（视为 $p_2$ 的函数）：

$R(p_2) = (p_1^*-c_1)[F(\frac{p_2-p_1^*}{s_2-s_1})-F(\frac{p_1^*-p_0^*}{s_1-s_0})]$

$+ (p_2-c_2)[F(\frac{p_3^*-p_2}{s_3-s_2})-F(\frac{p_2-p_1^*}{s_2-s_1})]$

$+ (p_3^*-c_3)[F(\frac{p_4^*-p_3^*}{s_4-s_3})-F(\frac{p_3^*-p_2}{s_3-s_2})]$

带*号的价格表示最优化时的价格。

求导的结果是：

$\frac{dR}{dp_2} = \frac{p^*_1-c_1}{s_2-s_1}f(\frac{p_2-p^*_1}{s_2-s_1})+F(\frac{p^*_3-p_2}{s_3-s_2}) - F(\frac{p_2-p^*_1}{s_2-s_1})$

$+(p_2-c_2)[f(\frac{p^*_3-p_2}{s_3-s_2})(-\frac{1}{s_3-s_2}) - f(\frac{p_2-p^*_1}{s_2-s_1})(\frac{1}{s_2-s_1})]$

$+\frac{p^*_3-c_3}{s_3-s_2}f(\frac{p^*_3-p_2}{s_3-s_2})$

必要条件 要求导数在 $p_2=p_2^*$ 时大于等于0：

$\frac{dR}{dp_2}|_{p_2=p_2^*} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{c_2-c_1}{s_2-s_1}\ge \frac{c_3-c_2}{s_3-s_2}$

充分条件 要求在区间范围内导数恒大于0，注意到此时有

$\frac{p_3^*-p_2}{s_3-s_2}>\frac{p_2-p_1^*}{s_2-s_1}$

将导数重写为：

$\frac{dR}{dp_2} = F(\frac{p^*_3-p_2}{s_3-s_2}) - F(\frac{p_2-p^*_1}{s_2-s_1})$

$+\frac{c_2-c_1}{s_2-s_1}f(\frac{p_2-p^*_1}{s_2-s_1}) - \frac{c_3-c_2}{s_3-s_2}f(\frac{p^*_3-p_2}{s_3-s_2})$

$+\frac{p^*_3-p_2}{s_3-s_2}f(\frac{p^*_3-p_2}{s_3-s_2}) - \frac{p_2-p^*_1}{s_2-s_1}f(\frac{p_2-p^*_1}{s_2-s_1})$

如果我们 假设分布函数满足 $f(z)$ 弱单调减， $zf(z)$ 弱单调增 ，且必要条件成立，则导数恒大于0；当然这个假设比Johnson and Myatt(2003)的假设要强得多，不过 均匀分布恰好还是满足这个假设的 。

在该假设下，若必要条件成立，则充分条件也成立，于是必要条件转化为充分必要条件，也就是说，如果点 $(s_2,c_2)$ 落在其紧邻的两个有正销量的产品所对应的点 $(s_1,c_1)$ 和点 $(s_3,c_3)$ 的连线上或者位于连线上方，则其销量必定为0，反之其销量必定为正。

这里需要引入两个额外的质量水平，一个是上面已经提到过的 $s_0=c_0=p_0=0$ ，另外，由于 $\theta$ 的上限为1，我们还需要一种 $s_{n+1} = p_{n+1}=c_{n+1} \rightarrow \infty$ 。垄断企业总是提供这两种质量水平的产品，但是这两种产品提供的利润均为0。Johnson and Myatt(2003)其实并未考虑到后一种产品的必要性，所以严格来说 他们给出的解是错的 ：比如说，当产品只有一种质量水平且满足 $s_1<c_1$ 时，按照他们的结论， 垄断企业将会提供这种产品 ，但是实际上由于垄断企业的定价不能超过质量水平，所以提供这种产品总是亏本的， 垄断产业不应该提供这种产品 ；如果他们也考虑到质量水平为无穷的这种产品，很容易看出此时不再满足“U形”的假设，因此 他们的做法对这种情况应该无法给出任何结论 。

回过来，引入这两种产品后，再加上给定的分布函数的假设以及相应得出的充分必要条件，通过逐步调整，我们发现：如果将所有的产品（包括第0种和第 $n+1$ 种）绘制在 $(s,c)$ 平面上，然后两两以线段连接（注意前 $n$ 种产品与第 $n+1$ 种产品的连线都是斜率为1的射线）。这些线段的下包络线是一条凸折线，如果某产品落在该折线上，且是一个折点（kinky point），即在该点前后折线斜率发生变化，那么该产品在利润最大化时销量为正，否则销量为0。

Reference:

Johnson, Justin, P., and David P. Myatt. 2003. "Multiproduct Quality Competition: Fighting Brands and Product Line Pruning ." American Economic Review , 93(3): 748-774.

(Photo Credit: "Nesting eggs" by Allegory Malaprop on Visualhunt / CC BY-ND 2.0 )