平凡而又神奇的贝叶斯方法（下）

接上篇数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法

以下我们再举一些实际例子来说明贝叶斯方法被运用的普遍性，这里主要集中在机器学习方面，因为我不是学经济的，否则还可以找到一堆经济学的例子。

4.1 中文分词

贝叶斯是机器学习的核心方法之一。比如中文分词领域就用到了贝叶斯。Google 研究员吴军在《数学之美》系列中就有一篇是介绍中文分词的，这里只介绍一下核心的思想，不做赘述，详细请参考吴军的文章（这里）。

分词问题的描述为：给定一个句子（字串），如：

南京市长江大桥

如何对这个句子进行分词（词串）才是最靠谱的。例如：

1. 南京市/长江大桥

2. 南京/市长/江大桥

这两个分词，到底哪个更靠谱呢？

我们用贝叶斯公式来形式化地描述这个问题，令 X 为字串（句子），Y 为词串（一种特定的分词假设）。我们就是需要寻找使得 P(Y|X) 最大的 Y ，使用一次贝叶斯可得：

P(Y|X) ∝ P(Y)*P(X|Y)

用自然语言来说就是 这种分词方式（词串）的可能性 乘以 这个词串生成我们的句子的可能性。我们进一步容易看到：可以近似地将 P(X|Y) 看作是恒等于 1 的，因为任意假想的一种分词方式之下生成我们的句子总是精准地生成的（只需把分词之间的分界符号扔掉即可）。于是，我们就变成了去最大化 P(Y) ，也就是寻找一种分词使得这个词串（句子）的概率最大化。而如何计算一个词串：

W1, W2, W3, W4 ..

的可能性呢？我们知道，根据联合概率的公式展开：P(W1, W2, W3, W4 ..) = P(W1) * P(W2|W1) * P(W3|W2, W1) * P(W4|W1,W2,W3) * .. 于是我们可以通过一系列的条件概率（右式）的乘积来求整个联合概率。然而不幸的是随着条件数目的增加（P(Wn|Wn-1,Wn-2,..,W1) 的条件有 n-1 个），数据稀疏问题也会越来越严重，即便语料库再大也无法统计出一个靠谱的 P(Wn|Wn-1,Wn-2,..,W1) 来。为了缓解这个问题，计算机科学家们一如既往地使用了“天真”假设：我们假设句子中一个词的出现概率只依赖于它前面的有限的 k 个词（k 一般不超过 3，如果只依赖于前面的一个词，就是2元语言模型（2-gram），同理有 3-gram 、 4-gram 等），这个就是所谓的“有限地平线”假设。虽然这个假设很傻很天真，但结果却表明它的结果往往是很好很强大的，后面要提到的朴素贝叶斯方法使用的假设跟这个精神上是完全一致的，我们会解释为什么像这样一个天真的假设能够得到强大的结果。目前我们只要知道，有了这个假设，刚才那个乘积就可以改写成： P(W1) * P(W2|W1) * P(W3|W2) * P(W4|W3) .. （假设每个词只依赖于它前面的一个词）。而统计 P(W2|W1) 就不再受到数据稀疏问题的困扰了。对于我们上面提到的例子“南京市长江大桥”，如果按照自左到右的贪婪方法分词的话，结果就成了“南京市长/江大桥”。但如果按照贝叶斯分词的话（假设使用 3-gram），由于“南京市长”和“江大桥”在语料库中一起出现的频率为 0 ，这个整句的概率便会被判定为 0 。 从而使得“南京市/长江大桥”这一分词方式胜出。

一点注记：有人可能会疑惑，难道我们人类也是基于这些天真的假设来进行推理的？不是的。事实上，统计机器学习方法所统计的东西往往处于相当表层（shallow）的层面，在这个层面机器学习只能看到一些非常表面的现象，有一点科学研究的理念的人都知道：越是往表层去，世界就越是繁复多变。从机器学习的角度来说，特征（feature）就越多，成百上千维度都是可能的。特征一多，好了，高维诅咒就产生了，数据就稀疏得要命，不够用了。而我们人类的观察水平显然比机器学习的观察水平要更深入一些，为了避免数据稀疏我们不断地发明各种装置（最典型就是显微镜），来帮助我们直接深入到更深层的事物层面去观察更本质的联系，而不是在浅层对表面现象作统计归纳。举一个简单的例子，通过对大规模语料库的统计，机器学习可能会发现这样一个规律：所有的“他”都是不会穿 bra 的，所有的“她”则都是穿的。然而，作为一个男人，却完全无需进行任何统计学习，因为深层的规律就决定了我们根本不会去穿 bra 。至于机器学习能不能完成后者（像人类那样的）这个推理，则是人工智能领域的经典问题。至少在那之前，声称统计学习方法能够终结科学研究（原文）的说法是纯粹外行人说的话。

4.2 统计机器翻译

统计机器翻译因为其简单，自动（无需手动添加规则），迅速成为了机器翻译的事实标准。而统计机器翻译的核心算法也是使用的贝叶斯方法。

问题是什么？统计机器翻译的问题可以描述为：给定一个句子 e ，它的可能的外文翻译 f 中哪个是最靠谱的。即我们需要计算：P(f|e) 。一旦出现条件概率贝叶斯总是挺身而出：

P(f|e) ∝ P(f) * P(e|f)

这个式子的右端很容易解释：那些先验概率较高，并且更可能生成句子 e 的外文句子 f 将会胜出。我们只需简单统计（结合上面提到的 N-Gram 语言模型）就可以统计任意一个外文句子 f 的出现概率。然而 P(e|f) 却不是那么好求的，给定一个候选的外文局子 f ，它生成（或对应）句子 e 的概率是多大呢？我们需要定义什么叫 “对应”，这里需要用到一个分词对齐的平行语料库，有兴趣的可以参考 《Foundations of Statistical Natural Language Processing》第 13 章，这里摘选其中的一个例子：假设 e 为：John loves Mary 。我们需要考察的首选 f 是：Jean aime Marie （法文）。我们需要求出 P(e|f) 是多大，为此我们考虑 e 和 f 有多少种对齐的可能性，如：

John (Jean) loves (aime) Marie (Mary)

就是其中的一种（最靠谱的）对齐，为什么要对齐，是因为一旦对齐了之后，就可以容易地计算在这个对齐之下的 P(e|f) 是多大，只需计算：

P(John|Jean) * P(loves|aime) * P(Marie|Mary)

即可。

然后我们遍历所有的对齐方式，并将每种对齐方式之下的翻译概率 ∑ 求和。便可以获得整个的 P(e|f) 是多大。

一点注记：还是那个问题：难道我们人类真的是用这种方式进行翻译的？highly unlikely 。这种计算复杂性非常高的东西连三位数乘法都搞不定的我们才不会笨到去使用呢。根据认知神经科学的认识，很可能我们是先从句子到语义（一个逐层往上（bottom-up）抽象的 folding 过程），然后从语义根据另一门语言的语法展开为另一门语言（一个逐层往下（top-down）的具体化 unfolding 过程）。如何可计算地实现这个过程，目前仍然是个难题。（我们看到很多地方都有 bottom-up/top-down 这样一个对称的过程，实际上有人猜测这正是生物神经网络原则上的运作方式，对视觉神经系统的研究尤其证明了这一点，Hawkins 在 《On Intelligence》 里面提出了一种 HTM （Hierarchical Temporal Memory）模型正是使用了这个原则。）

4.3 贝叶斯图像识别，Analysis by Synthesis

贝叶斯方法是一个非常 general 的推理框架。其核心理念可以描述成：Analysis by Synthesis （通过合成来分析）。06 年的认知科学新进展上有一篇 paper 就是讲用贝叶斯推理来解释视觉识别的，一图胜千言，下图就是摘自这篇 paper ：

首先是视觉系统提取图形的边角特征，然后使用这些特征自底向上地激活高层的抽象概念（比如是 E 还是 F 还是等号），然后使用一个自顶向下的验证来比较到底哪个概念最佳地解释了观察到的图像。

4.4  EM 算法与基于模型的聚类

聚类是一种无指导的机器学习问题，问题描述：给你一堆数据点，让你将它们最靠谱地分成一堆一堆的。聚类算法很多，不同的算法适应于不同的问题，这里仅介绍一个基于模型的聚类，该聚类算法对数据点的假设是，这些数据点分别是围绕 K 个核心的 K 个正态分布源所随机生成的，使用 Han JiaWei 的《Data Ming： Concepts and Techniques》中的图：

图中有两个正态分布核心，生成了大致两堆点。我们的聚类算法就是需要根据给出来的那些点，算出这两个正态分布的核心在什么位置，以及分布的参数是多少。这很明显又是一个贝叶斯问题，但这次不同的是，答案是连续的且有无穷多种可能性，更糟的是，只有当我们知道了哪些点属于同一个正态分布圈的时候才能够对这个分布的参数作出靠谱的预测，现在两堆点混在一块我们又不知道哪些点属于第一个正态分布，哪些属于第二个。反过来，只有当我们对分布的参数作出了靠谱的预测时候，才能知道到底哪些点属于第一个分布，那些点属于第二个分布。这就成了一个先有鸡还是先有蛋的问题了。为了解决这个循环依赖，总有一方要先打破僵局，说，不管了，我先随便整一个值出来，看你怎么变，然后我再根据你的变化调整我的变化，然后如此迭代着不断互相推导，最终收敛到一个解。这就是 EM 算法。

EM 的意思是“Expectation-Maximazation”，在这个聚类问题里面，我们是先随便猜一下这两个正态分布的参数：如核心在什么地方，方差是多少。然后计算出每个数据点更可能属于第一个还是第二个正态分布圈，这个是属于 Expectation 一步。有了每个数据点的归属，我们就可以根据属于第一个分布的数据点来重新评估第一个分布的参数（从蛋再回到鸡），这个是 Maximazation 。如此往复，直到参数基本不再发生变化为止。这个迭代收敛过程中的贝叶斯方法在第二步，根据数据点求分布的参数上面。

4.5 最大似然与最小二乘

学过线性代数的大概都知道经典的最小二乘方法来做线性回归。问题描述是：给定平面上 N 个点，（这里不妨假设我们想用一条直线来拟合这些点——回归可以看作是拟合的特例，即允许误差的拟合），找出一条最佳描述了这些点的直线。

一个接踵而来的问题就是，我们如何定义最佳？我们设每个点的坐标为 (Xi, Yi) 。如果直线为 y = f(x) 。那么 (Xi, Yi) 跟直线对这个点的“预测”：(Xi, f(Xi)) 就相差了一个 ΔYi = |Yi – f(Xi)| 。最小二乘就是说寻找直线使得 (ΔY1)^2 + (ΔY2)^2 + .. （即误差的平方和）最小，至于为什么是误差的平方和而不是误差的绝对值和，统计学上也没有什么好的解释。然而贝叶斯方法却能对此提供一个完美的解释。

我们假设直线对于坐标 Xi 给出的预测 f(Xi) 是最靠谱的预测，所有纵坐标偏离 f(Xi) 的那些数据点都含有噪音，是噪音使得它们偏离了完美的一条直线，一个合理的假设就是偏离路线越远的概率越小，具体小多少，可以用一个正态分布曲线来模拟，这个分布曲线以直线对 Xi 给出的预测 f(Xi) 为中心，实际纵坐标为 Yi 的点 (Xi, Yi) 发生的概率就正比于 EXP[-(ΔYi)^2]。（EXP(..) 代表以常数 e 为底的多少次方）。

现在我们回到问题的贝叶斯方面，我们要想最大化的后验概率是：

P(h|D) ∝ P(h) * P(D|h)

又见贝叶斯！这里 h 就是指一条特定的直线，D 就是指这 N 个数据点。我们需要寻找一条直线 h 使得 P(h) * P(D|h) 最大。很显然，P(h) 这个先验概率是均匀的，因为哪条直线也不比另一条更优越。所以我们只需要看 P(D|h) 这一项，这一项是指这条直线生成这些数据点的概率，刚才说过了，生成数据点 (Xi, Yi) 的概率为 EXP[-(ΔYi)^2] 乘以一个常数。而 P(D|h) = P(d1|h) * P(d2|h) * .. 即假设各个数据点是独立生成的，所以可以把每个概率乘起来。于是生成 N 个数据点的概率为 EXP[-(ΔY1)^2] * EXP[-(ΔY2)^2] * EXP[-(ΔY3)^2] * .. = EXP{-[(ΔY1)^2 + (ΔY2)^2 + (ΔY3)^2 + ..]} 最大化这个概率就是要最小化 (ΔY1)^2 + (ΔY2)^2 + (ΔY3)^2 + .. 。 熟悉这个式子吗？

5.1 贝叶斯垃圾邮件过滤器

问题是什么？问题是，给定一封邮件，判定它是否属于垃圾邮件。按照先例，我们还是用 D 来表示这封邮件，注意 D 由 N 个单词组成。我们用 h+ 来表示垃圾邮件，h- 表示正常邮件。问题可以形式化地描述为求：

P(h+|D) = P(h+) * P(D|h+) / P(D)

P(h-|D) = P(h-) * P(D|h-) / P(D)

其中 P(h+) 和 P(h-) 这两个先验概率都是很容易求出来的，只需要计算一个邮件库里面垃圾邮件和正常邮件的比例就行了。然而 P(D|h+) 却不容易求，因为 D 里面含有 N 个单词 d1, d2, d3, .. ，所以P(D|h+) = P(d1,d2,..,dn|h+) 。我们又一次遇到了数据稀疏性，为什么这么说呢？P(d1,d2,..,dn|h+) 就是说在垃圾邮件当中出现跟我们目前这封邮件一模一样的一封邮件的概率是多大！开玩笑，每封邮件都是不同的，世界上有无穷多封邮件。瞧，这就是数据稀疏性，因为可以肯定地说，你收集的训练数据库不管里面含了多少封邮件，也不可能找出一封跟目前这封一模一样的。结果呢？我们又该如何来计算 P(d1,d2,..,dn|h+) 呢？

我们将 P(d1,d2,..,dn|h+)  扩展为： P(d1|h+) * P(d2|d1, h+) * P(d3|d2,d1, h+) * .. 。熟悉这个式子吗？这里我们会使用一个更激进的假设，我们假设 di 与 di-1 是完全条件无关的，于是式子就简化为 P(d1|h+) * P(d2|h+) * P(d3|h+) * .. 。这个就是所谓的条件独立假设，也正是朴素贝叶斯方法的朴素之处。而计算 P(d1|h+) * P(d2|h+) * P(d3|h+) * .. 就太简单了，只要统计 di 这个单词在垃圾邮件中出现的频率即可。关于贝叶斯垃圾邮件过滤更多的内容可以参考这个条目，注意其中提到的其他资料。

一点注记：这里，为什么有这个数据稀疏问题，还是因为统计学习方法工作在浅层面，世界上的单词就算不再变多也是非常之多的，单词之间组成的句子也是变化多端，更不用说一篇文章了，文章数目则是无穷的，所以在这个层面作统计，肯定要被数据稀疏性困扰。我们要注意，虽然句子和文章的数目是无限的，然而就拿邮件来说，如果我们只关心邮件中句子的语义（进而更高抽象层面的“意图”（语义，意图如何可计算地定义出来是一个人工智能问题），在这个层面上可能性便大大缩减了，我们关心的抽象层面越高，可能性越小。单词集合和句子的对应是多对一的，句子和语义的对应又是多对一的，语义和意图的对应还是多对一的，这是个层级体系。神经科学的发现也表明大脑的皮层大致有一种层级结构，对应着越来越抽象的各个层面，至于如何具体实现一个可放在计算机内的大脑皮层，仍然是一个未解决问题，以上只是一个原则（principle）上的认识，只有当 computational 的 cortex 模型被建立起来了之后才可能将其放入电脑。

5.2 为什么朴素贝叶斯方法令人诧异地好——一个理论解释

朴素贝叶斯方法的条件独立假设看上去很傻很天真，为什么结果却很好很强大呢？就拿一个句子来说，我们怎么能鲁莽地声称其中任意一个单词出现的概率只受到它前面的 3 个或 4 个单词的影响呢？别说 3 个，有时候一个单词的概率受到上一句话的影响都是绝对可能的。那么为什么这个假设在实际中的表现却不比决策树差呢？有人对此提出了一个理论解释，并且建立了什么时候朴素贝叶斯的效果能够等价于非朴素贝叶斯的充要条件，这个解释的核心就是：有些独立假设在各个分类之间的分布都是均匀的所以对于似然的相对大小不产生影响；即便不是如此，也有很大的可能性各个独立假设所产生的消极影响或积极影响互相抵消，最终导致结果受到的影响不大。具体的数学公式请参考这篇 paper 。

层级贝叶斯模型是现代贝叶斯方法的标志性建筑之一。前面讲的贝叶斯，都是在同一个事物层次上的各个因素之间进行统计推理，然而层次贝叶斯模型在哲学上更深入了一层，将这些因素背后的因素（原因的原因，原因的原因，以此类推）囊括进来。一个教科书例子是：如果你手头有 N 枚硬币，它们是同一个工厂铸出来的，你把每一枚硬币掷出一个结果，然后基于这 N 个结果对这 N 个硬币的 θ （出现正面的比例）进行推理。如果根据最大似然，每个硬币的 θ 不是 1 就是 0 （这个前面提到过的），然而我们又知道每个硬币的 p(θ) 是有一个先验概率的，也许是一个 beta 分布。也就是说，每个硬币的实际投掷结果 Xi 服从以 θ 为中心的正态分布，而 θ 又服从另一个以 Ψ 为中心的 beta 分布。层层因果关系就体现出来了。进而 Ψ 还可能依赖于因果链上更上层的因素，以此类推。

6.1 隐马可夫模型（HMM）

吴军在数学之美系列里面介绍的隐马可夫模型（HMM）就是一个简单的层级贝叶斯模型：

那么怎么根据接收到的信息来推测说话者想表达的意思呢？我们可以利用叫做“隐含马尔可夫模型”（Hidden Markov Model）来解决这些问题。以语音识别为例，当我们观测到语音信号 o1,o2,o3 时，我们要根据这组信号推测出发送的句子 s1,s2,s3。显然，我们应该在所有可能的句子中找最有可能性的一个。用数学语言来描述，就是在已知 o1,o2,o3,…的情况下，求使得条件概率 P (s1,s2,s3,…|o1,o2,o3….) 达到最大值的那个句子 s1,s2,s3,…

吴军的文章中这里省掉没说的是，s1, s2, s3, .. 这个句子的生成概率同时又取决于一组参数，这组参数决定了 s1, s2, s3, .. 这个马可夫链的先验生成概率。如果我们将这组参数记为 λ ，我们实际上要求的是：P(S|O, λ) （其中 O 表示 o1,o2,o3,.. ，S表示 s1,s2,s3,..）

当然，上面的概率不容易直接求出，于是我们可以间接地计算它。利用贝叶斯公式并且省掉一个常数项，可以把上述公式等价变换成

P(o1,o2,o3,…|s1,s2,s3….) * P(s1,s2,s3,…)

其中

P(o1,o2,o3,…|s1,s2,s3….) 表示某句话 s1,s2,s3…被读成 o1,o2,o3,…的可能性, 而 P(s1,s2,s3,…) 表示字串 s1,s2,s3,…本身能够成为一个合乎情理的句子的可能性，所以这个公式的意义是用发送信号为 s1,s2,s3…这个数列的可能性乘以 s1,s2,s3.. 本身可以一个句子的可能性，得出概率。

这里，s1,s2,s3…本身可以一个句子的可能性其实就取决于参数 λ ，也就是语言模型。所以简而言之就是发出的语音信号取决于背后实际想发出的句子，而背后实际想发出的句子本身的独立先验概率又取决于语言模型。

吴军已经对贝叶斯网络作了科普，请直接跳转到这里。更详细的理论参考所有机器学习的书上都有。

参考资料

一堆机器学习，一堆概率统计，一堆 Google ，和一堆 Wikipedia 条目，一堆 paper 。

部分书籍参考《机器学习与人工智能资源导引》。