正文
老蝉按：多年前，老蝉托人在国外买了一本罗素的《数学原则（Principles of mathematics）》，这是罗素单独完成的一本著作，写于1903年，区别于1910-1913与怀特海合著的三卷本《数学原理（Principia Mathematica ）》，前者主要目的是探讨数学的哲学基础，提出了著名的“罗素悖论，并试图论证数学的所有分支都可以通过逻辑推导得出。书中提出了罗素的逻辑主义（Logicism）观点：数学本质上是逻辑的一部分。而《数学原理》则是在《数学原则》基础上，旨在以更加严格的形式化方式实现逻辑主义的目标。《数学原理》的目标是从逻辑公理和推理规则出发，形式化地构建整个数学体系。所以，针对于哲学来说，作为科普，《数学原则》更具有可读性和现实意义。老蝉一直有个心愿，就是能看到中文版本的《哥德尔全集》以及罗素的这本《数学原则》。贾可（在读博士）的《数学原则》全译本，终于可以满足老蝉的一部分心愿了。得到贾可的大力支持和许可，哲学门开始连载《数学原则》，希望哲友门喜欢。也希望对此书感兴趣的出版社联系老蝉（微信iwish89），这本书还没有中译本，出版社能出版也算是一种功德。
数学原则
作者：波特兰·罗素
译者：贾可
前言
本书有两个主要目标。第一，所有纯粹数学都是专门处理根据极少基本逻辑概念即可定义的概念，且其中的所有命题都可以从极少基本逻辑原则中通过演绎得到证明的。以上是本书第二至第七部分的工作，并将通过第二卷的形式推理（symbolic reasoning）严格地建立。如果我没有弄错的话，该论点中的证明具有数学证明所能具有的一切确定（certainty）与精确（precision）。由于这个论点直到最近才由数学家提出，且几乎普遍受到哲学家的否认，因此，我已于本卷中着手在必要的情况下为其诸部分提供辩护，反驳那些似乎被普遍接受或者说难以驳斥的，对它而言不利的理论（such adverse theories）。同时，我也尽可能地使用非技术化的语言，呈现出建立论点的演绎中更重要的阶段。
本书的另一目标，即占据第一部分的内容，是对被数学视为不可定义的基本概念的解释。这是一个纯粹的哲学任务，我不能大言不惭地说，除去扼要陈述（indicate）一个广泛的研究领域，并给出可供执行的研究方法的样本以外，我还做了更多的工作。对于不可定义概念（indefinables）的讨论——构成哲学逻辑的主要部分——是为了清晰地理解（see clearly），并让其他人一样清晰地理解相关的实体，以便心灵（mind）对于它们有那种熟悉，就像是对于红色或者菠萝味道的熟悉一样。在这种情况下，当不可定义概念主要是作为分析过程中的必要剩余物而获得时，了解一定存在这样的实体，往往比实际觉察到它们更容易；存在一个类似于导致发现海王星的过程，其区别在于最后的阶段——使用精神望远镜寻找被推断的（inferred）实体——通常是这项工作（undertake）中最困难的部分。在类的情况中（in the cases of classes），我必须承认，我未能找到任何概念，满足类这个概念所必需的条件。另外，第十章中讨论的矛盾表明有些地方不太对劲，但究竟是什么不对劲，至今我都未能搞清。
在第二卷的写作中，我很荣幸能与怀特海德先生合作，这一卷将是专门写给（addressed
to）数学家的；它将包括一连串的演绎（chains of deductions），从符号逻辑的前提（premisses of symbolic logic）到算术、有穷与无穷，直至几何，顺序（order）与本卷所采用的顺序类似；它还将包括各种原创的发展（original developments），其中皮亚诺教授的方法，作为关系逻辑的补充，已经证明其自身是一种强大的数学研究工具。
本卷既可被视为对于第二卷的注释（commentary），也可以视为第二卷的引言，它是以相同的标准同时写给哲学家与数学家的；不过，某些部分对于其中的一方更有趣，另外一些则是对于另一方更有趣。除非对于符号逻辑特别感兴趣，否则我会建议数学家从第四部分开始（阅读），只在必要时参考前面的部分。以下的部分则是更哲学的：第一部分（省去第二章）；第二部分，第11、15、16、17章；第三部分；第四部分，第207小节，第26、27、31章；第五部分，第41、42、43章；第六部分，第50、51、52章；第七部分，第53、54、55、57、58章；以及属于第一部分的两个附录，应参照前者阅读。弗雷格教授的工作在很大程度上与我本人的工作重合，其中的绝大部分内容在本书出版时对我而言仍是陌生的；我读过他的Grundgesetze der Arithmetik，不过由于他的符号系统的困难，我未能领会其中的奥义或者理解其中的内容。在目前的情况下，公允地对待他的工作的唯一的方法是将它们收录于附录中；在某些问题上，附录中的观点与第六章中的（尤其是第71、73、74小节）观点有所不同。在这些小节所讨论的问题中，我在本书付梓之后发现了一些错误；这些错误主要是对于空类的否认，以及将一项（term）等同于以其作为唯一成员的类，它们在附录中得到了纠正。由于处理的内容过于复杂，以至于我对自己观点的信心不足，并将任何可能主张的结论视为本质上的假说（essentially hypothesis）。
关于本书由来的只言片语，可能将有助于显示其讨论问题的重要。大约六年前，我开始着手于研究动力学哲学（philosophy of Dynamics）。我遇到了一个困难，当一个粒子受到若干个力时，没有一个分量加速度（component accelerations）出现于实际中，实际出现的只有不以分量加速度作为其部分的合成加速度；该事实使得这种由殊相（particular）引起的殊相因果性变得虚幻（illusory），这种因果性乍看之下是被万有引力定律所肯定的。与此同时，关于绝对运动的困难在空间的相对理论中看来是无解的。从这两个问题出发，我被引入了对于几何原则的重新检查中，从那里再到连续性与无穷的哲学，在那里，为了发现任何（any）一词的含义，最终来到了符号逻辑。关于动力学哲学的最终结果是相当纤细的（slender）；其原因在于，对我而言所有动力学的问题都是经验性的，因而不在当前这样一部著作的范畴之内。许多非常有趣的问题不得不被省去，尤其是在第六与第七部分；由于（它们）与我的目的无关，为了避免误解，最好在此加以解释。
当实际的对象被计数（when actual objects are counted），或是当几何与动力学被应用于实际空间或物质（actual matter）时，又或是当数学推理以任何其它方式被应用于存在的事物时，采用的推理具有一种不取决于所应用对象本身，而仅取决于其自身具有的某些一般性质的形式。在纯粹数学中，存在于世界中的实际对象（actual objects in the world of existence）永远不会遭受质疑，然而只有假定（存在的）对象才具有那些无论所考虑的是何种演绎都依赖的一般性质；这些一般性质始终可以通过我称之为逻辑常项（logical constants）的基本概念来表示。因此，当空间或运动在纯粹数学中被谈论时，我们谈论的并不是在经验中所知的实际空间或实际运动，而是在几何或动力学推理中使用的，具有任何空间或运动的抽象一般性质的实体。事实上，这些性质是否属于实际空间或实际运动的问题与纯粹数学无关；在我看来，这是一个纯粹经验性的问题，需要在实验室或天文台中进行研究。间接地说，与纯粹数学相关的讨论对于这类经验问题具有非常重要的影响的说法是正确的，因为数学空间与运动被许多（也许是大多数）哲学家视为自相矛盾的（self-contradictory），因而必然与实际空间与运动有所不同；不过，如果本书中主张的观点是有效的（valid）话,在数学空间与运动中就不会发现这样的自相矛盾。但是，这种数学外的考虑（extra-mathematical considerations）几乎完全被排除在当前的工作之外。
在哲学的基本问题上，我的立场的所有主要特征都来自于G. E. 摩尔先生。我从他那里接受了命题的非存在本质（non-existential nature of propositions）（除了那些碰巧断言存在的命题）以及它们之于任何知心（any knowing mind）的独立性；以及这样的多元论（pluralism），即将世界，无论是存在物的世界还是实体的世界，视为由无数相互独立的实体组成，且这些实体间的关系是终极的（ultimate），不可还原为它们的项的形容词或是由它们组成的整体的形容词（adjectives）。在从他那里了解到这些观点之前，我发现自己完全无法构建任何算术哲学（philosophy of arithmetic），而接受这些观点则立即带来了从大量、被我视为无法克服的困难中的解放。在我看来，刚才提到的学说之于任何相当令人满意的数学哲学来说都不可或缺，我希望下文能够说明这一点。但我必须留给读者们自行判断，推理在多大程度上假定了这些学说，以及在多大程度上支持了它们。从形式上而言，我的前提是被纯粹假定的（are simply assumed）；但它们允许数学为真的事实无疑是支持它们的有力证据，而大多数当前的哲学都无法做到这一点。
在数学方面，很明显，我受到的主要影响来自于乔治·康托与皮亚诺教授。如果我早一点熟悉弗雷格教授的工作，我应该会深受他的影响，但事实上我独立完成了许多他已经建立的成果。在我工作的每个阶段，A. N. 怀特海德先生的建议、批评以及慷慨的鼓励都曾给予过我无以言表的帮助；他还热心地阅读了我的论证，并显著提升了大量段落的最终表达。同时，许多有用的建议受益于W. E. 约翰逊先生；在本书的哲学部分，除去作为整体基础的一般立场外，我也很大程度上受益于G. E. 摩尔先生。
在试图涉及如此广泛领域的讨论中，我无法从文献中获得详尽的知识。毫无疑问，有许多重要的作品是我不熟悉的；然而，在思考与写作必然耗费大量时间的工作上，这样的无知尽管令人遗憾，却是完全无法避免的。
在讨论的过程中，许多用词（many words）的定义将被发现明显与其通常的用法大相径庭。我必须请读者们相信，这样的（用法）背离绝非肆意，而是极不情愿的。在哲学问题上，它们主要由两个原因造成。首先，经常发生的是两个同源的概念（two cognate notions）都需要被考虑，日常语言对于其中一个概念有专名，对另一个却没有。这样一来，区分通常作为近义词的两个专名就非常方便，一个保持其常规的含义，另一个则是迄今为止未曾出现的含义。第二个原因源于公认观点的哲学分歧。如果两种性质（qualities）通常被假定为不可分割地结合在一起，而在此却被视为可分离，那么应用于其结合体（combination）的专名通常将不得不局限于其中之一。例如，命题通常被视为（1）真或假的，（2）精神的（mental）。像我一样，认为什么是真而什么是假通常而言不是精神的，因此我需要为真或假命名，该名称只能是命题（proposition）。在这种情况下，与通常用法的背离绝非任意的。至于数学术语（mathematical
terms），在每种情况下建立存在性定理（existence-theorem）的必要性——即存在所说的那种实体的证明——导致了诸多定义，而这些定义似乎与通常讨论术语相关的概念截然不同。这方面的例子是基数、序数以及复数的定义。在前两种情况以及诸多其它情况下，从抽象原则（principle of abstraction）中得出的作为一个类的定义主要得益于这样一个事实，即关于存在性定理它是毫无疑问的。但是，在诸多明显背离日常用法的情况下，人们可能会怀疑，除了给予一个迄今为止或多或少含混的概念精确性以外，（我们）是否还做了更多的工作。
对于出版一本包含如此之多未解难题的作品，我的歉意是：研究显示既没有充分解决第十章中讨论的矛盾的近期的可能，也无法获得更好的关于类的本质的洞见（insight）。在那些一度令我满意的解法中反复被发现的错误导致这些问题的出现，这些问题只能被更长时间的思考所可能产生的令人满意的理论所掩饰；因此，单纯的陈述难题似乎比等到我们被某些几乎一定存在谬误的学说所说服更为明智。
我要感谢大学出版社的Syndics，以及他的秘书R. T. 赖特先生之于本书的慷慨与善意（kindness and courtesy）。
往期链接：
罗素《数学原则》全译本（3）：第2版序言
罗素《数学原则》全译本（2）：1992版导言
罗素《数学原则》全译本（1）：目录
