【美东时间2月28日晚9点，北京时间3月1日上午10点，网络公开讲座，有兴趣参加者，请登陆网址：https://learn.xnextcon.com 进行报名。 】
纽约的气候四季分明，冬去春来，万物复苏。作为国际大都市，纽约的常驻人口汇集了全世界几乎所有的民族，流动人口异常庞大，宾夕法尼亚车站每天任何时刻都是熙熙攘攘，人声鼎沸。曼哈顿岛上高耸入云的摩天大厦，鳞次栉比，地面上车水马龙，川流不息。食肆酒吧，剧院商铺，琳琅满目，极尽繁华。在人口密度如此之高的小岛上，各色病毒也在肆虐生长，繁殖变异。每一年的暖冬，就意味着来年春季的流感大爆发。
每年开春，纽约地区都有流感袭击，一如四季轮回，今年依然来势凶猛。因为病毒产生了新的变异，市面上除了流感疫苗，并没有什么特效药，只能依靠自身的免疫系统来抵抗。每年流感都有不同症状，身体的所有器官系统渐次被侵袭，逐步自愈，最后锁定在最为脆弱的系统中进行持久斗争。作为教师，终日与黑板粉尘为伍，最为脆弱的器官自然是上呼吸道。在耐心等待自愈期间，只能多喝开水、多冲热水澡，同时潜下心来思考一些数学问题。
自然数据具有内在的模式，深度学习方法可以有效地揭示这些模式，因而取得了巨大的成功。数据中一种普适的模式可以被概括为
流形分布定律
：一类自然数据分布在高维背景空间中的低维流形附近。因此，数据可以用流形上的概率分布来描述。深度学习具有两个基本任务：流形学习，以及概率分布之间的变换。概率分布变换可以用经典的最优传输理论来完成。
例如GAN中的生成器本质上是将高斯分布变换成实际数据分布，判别器本质上计算两个分布之间的距离。最优传输理论的核心问题就是计算概率分布之间的变换，其代价用于衡量概率分布之间距离。
依随深度学习方法的日益深入人心，大众对最优传输理论的学习热情也日益高涨。最优传输理论具有丰富的内涵，同时也是众多领域交汇的地带，例如概率统计、微分几何、流体力学、线性规划、蒙日-安培方程等等。不同的方法各有千秋，有些易于理解，有些易于计算，有些偏几何洞察，有些偏物理直觉。比如，对于深度学习而言，基于Minkowski-Alexandrov理论的
凸几何解释
非常适于GPU实现；对于对抗生成网络的
模式崩溃
问题，基于蒙日-安培方程的正则性理论给出了颇有说服力的解释；对应医学图像的注册问题，流体力学方法应用最多。这里，我们比较几何方法和流体力学方法，从而得到更为深刻的理解。
假设
和
是
中的两个概率分布，具有概率密度
，
，并且满足足够的光滑性条件。我们可以想象
和
代表了空间某种特殊气体的质量分布，
和
给出了这种物质的密度。给定一个光滑的双射（微分同胚），
，那么微分同胚会带来体积元的变化，从而改变了特殊气体的密度。如果微分同胚将概率分布
变成了概率分布
，等价的，微分同胚将密度
变成了
，即
那么我们说传输映射
保测度，记成
。相应的偏微分方程为雅可比方程：
。
假设
为传输代价函数，
代表运输单位质量从
点到
点的代价。一个传输映射的传输代价为
。
蒙日（Monge）提
出了最优传
输问题如下：在所有保测度的传输映射中，寻找传输代价最小者，即
。
蒙日问题的解被称为是
最优传输映射
，最优传输映射的传输代价被称为是两个概率分布之间的Wasserstein距离，
。
Brenier理论表明，如果传输代价为欧氏距离的平方，
，那么存在一个凸函数，
，被称为是Brenier势能函数。Brenier势能函数的梯度映射给出了最优传输映射，
，并且Brenier势能函数彼此相差一个常数，最优传输映射唯一。将雅可比方程中的
替换成梯度映射
，那么我们得到经典的蒙日-安培方程：
。
蒙日-安培方程和经典的Minkowski问题紧密相连，Minkowski问题是从高斯曲率和法方向重建曲面。因此蒙日-安培方程可以用
几何方法
来解，并且在深度学习上已经应用。
图1. 几何方法计算的最优传输映射。
如果目标区域非凸，则Brenier势能函数依然连续，但是最优传输映射非连续，这造成了模式崩溃问题。
图2. 从实心球到兔子的最优传输映射的非连续点集合（苏科华作）。
由Brenier梯度映射，我们可以构造一族概率测度和相应的最优传输映射
，
,
.
我们可以证明，对于任意的
，传输映射
是从
到
的最优传输映射。
流体力学的观点更符合物理直观。我们考察特殊气体在空间的流动。从宏观上看，在时刻
，空间点
处的气体密度为
。从欧拉观点来看，每个气体粒子的运动轨迹为一条空间曲线。假设起始点为
的粒子轨迹为
，
。如果不同粒子的轨迹在某个时刻相交，那么宏观上流场出现激波（shock）。我们假设没有激波出现，那么在时刻
，每个粒子的初始位置映射到当前位置，我们得到全空间的整体微分同胚：
。
在时刻
，粒子的速度向量为
。这一时刻，全空间的整体速度场表示为
，那么微分同胚满足常微分方程：
.
如果给定速度场
，我们可以得到相应的微分同胚群
。换言之，如果速度场
足够光滑，那么流场不会出现激波。
空间每一点密度的变化满足散度方程：
,
在这一时刻，所有粒子的动能为：
.
我们考察所有联结
和
的流场构成的空间，我们将
简写成
，则
