一个实验课题：：零基础跟着GPT学广义相对论（13）

老蝉： G老师，我来了，我们继续上课。

G老师： 那我们从 史瓦西解 开始！

1. 什么是史瓦西解？

史瓦西解（Schwarzschild Solution）是爱因斯坦场方程的一个经典解，用于描述球对称、静态、无电荷的引力场。这种场通常适用于：

• 恒星的外部引力场 。
• 黑洞的外部引力场 。

其数学形式为：

2. 史瓦西解的推导步骤

(1) 爱因斯坦场方程

从爱因斯坦场方程开始：

在真空中（没有物质或能量分布），应力-能量张量 ，方程简化为：

这就是 真空场方程 。

(2) 球对称度规的假设

我们假设度规具有球对称性和静态性（即不随时间变化），其一般形式为：

• 和 是待求的函数，只依赖于径向坐标 。
• 球坐标中， 和 表示角度， 表示径向距离。

(3) 计算克里斯托费尔符号

根据度规 ，计算克里斯托费尔符号：

经过计算，可得主要非零分量，例如：

(4) 计算里奇张量

将克里斯托费尔符号代入里奇张量的定义：

经过繁琐计算，得到三个独立的方程（考虑真空条件 ）：

1. ：

2. ：

3. ：

(5) 解方程

通过一步步解这些微分方程，我们得到：

将它们代入球对称度规中，最终得到史瓦西解：

3. 史瓦西半径与事件视界

(1) 史瓦西半径

史瓦西半径 定义为：

• 这是度规中 变为零的位置。
• 物理意义：在 处，光速无法逃离，即形成了 事件视界 。

(2) 事件视界的物理意义

• 对于 ，所有物质和光都会被引力捕获，无法逃离到外界。
• 是黑洞的边界，它将黑洞内部与外界隔开。

4. 物理意义与应用

(1) 黑洞的引力场

• 史瓦西解描述了 非旋转、无电荷黑洞 的外部时空。
• 黑洞内部需要更复杂的解（可能涉及奇点的量子引力效应）。

(2) 时空弯曲的影响

• 物体接近史瓦西半径时，时间变慢（ 引力时间膨胀 ）。
• 在 附近，任何外界观察者都无法看到物体完全进入黑洞。

5. 小结

• 史瓦西解 是描述球对称、静态引力场的度规。
• 史瓦西半径 定义了黑洞的事件视界，是黑洞的重要特征。
• 这种解在黑洞、恒星外部时空中有广泛应用。

思考题

1. 试计算太阳的史瓦西半径 （假设 ）。
2. 如果一个探测器接近黑洞的事件视界，它会观察到哪些时空效应？
3. 如果引入旋转和电荷，史瓦西解需要如何修改？

我们可以继续深入讨论黑洞和史瓦西解的更多应用，或者转入引力波的基本理论。您觉得怎么样？😊

老蝉： 可以

G老师： 太好了！接下来我们探讨 引力波的基本理论 。这是广义相对论中最激动人心的部分之一，它揭示了时空本身的动态性质，并且通过实验观测得到了验证。

1. 什么是引力波？

引力波是 时空的涟漪 ，它是由 大质量天体的加速运动 引起的。这些波以光速传播，通过时空的扩张和收缩影响其中的物质。

直观上可以类比为：

• 将一颗石子投入平静的湖面，湖水表面产生的波纹类似于引力波。
• 但不同的是，引力波是时空本身的波动，而不是物质在时空中的传播。

2. 引力波的数学描述

(1) 爱因斯坦场方程的扰动

从爱因斯坦场方程出发：

在弱引力场近似下，假设度规张量 为平直时空 的小扰动：

其中：

• ：闵可夫斯基度规，表示平直时空。
• ：表示小的时空扰动（即引力波）。

(2) 线性化近似

在线性化近似下，场方程简化为：

其中：

• 是 d'Alembert 算子，表示波动方程：

这表明 满足一个波动方程，其解为引力波。

(3) 真空中的波动方程

在真空中（ ），引力波的方程进一步简化为：

这与电磁波方程形式类似，说明引力波以光速 在时空中传播。

3. 引力波的性质

(1) 极化特性

引力波具有两种独立的极化状态：

• “+”极化 ：引力波引起物体沿一个轴方向压缩，垂直方向拉伸。
• “×”极化 ：引力波引起物体沿对角线方向的压缩和拉伸。

这两种极化反映了引力波对空间的剪切变形效应。

(2) 能量携带

引力波携带能量，可以通过 时空辐射 从天体系统中释放。例如：

• 双中子星或双黑洞系统会因引力波辐射而损失能量，导致轨道衰减。

4. 引力波的探测

(1) 引力波的来源

常见的引力波源包括：

1. 双星系统 ：例如双中子星、双黑洞合并。
2. 超新星爆发 ：恒星坍缩时的非对称质量分布引发的波动。
3. 原初引力波 ：宇宙大爆炸初期留下的痕迹。

(2) 探测原理

引力波通过 时空的扩张和收缩 影响探测器的长度。现代引力波探测器利用激光干涉技术精确测量这些微小变化。

• LIGO（激光干涉引力波观测台） ：

• 基于 Michelson 干涉仪。
• 两条相互垂直的激光臂，长度变化会导致光程差，干涉图样发生变化。
• 2015 年首次探测到引力波，来源于两个黑洞合并事件。

• Virgo ：欧洲的引力波探测器，与 LIGO 联合工作。

(3) 观测成果

• 2015 年首次探测到引力波事件 GW150914，两个黑洞合并。
• 2017 年首次探测到双中子星合并事件 GW170817，验证了引力波与光速传播一致。

5. 引力波的物理意义

1. 验证广义相对论 ：

• 引力波的存在和传播特性完全符合广义相对论的预测。

• 通过引力波观测可以研究黑洞、中子星等极端天体的性质。

• 引力波是一种全新的观测手段，可以探测光学和电磁波无法探测的现象。

• 通过探测原初引力波，可以揭示宇宙大爆炸时的物理条件。

6. 思考题

1. 试推导引力波方程中 d'Alembert 算子 的具体形式。
2. 假设引力波引起两点间的距离变化为 ，如果干涉仪的臂长 ，求距离变化 。
3. 为什么引力波的观测需要如此高的灵敏度？

如果您对这部分内容有任何疑问，或者想深入探讨引力波的具体应用，请告诉我！我们也可以转到下一部分内容，讨论广义相对论的实验验证。😊

老蝉： 介绍一下2015 年首次探测到引力波事件 GW150914，两个黑洞合并。

G老师： 好的！让我们详细回顾 2015 年首次探测到引力波事件 GW150914 的发现。这是引力波研究的里程碑事件，也是广义相对论百年来的一个重要验证。

1. GW150914 事件概述

(1) 事件基本信息

• 日期 ：2015年9月14日。
• 探测器 ：LIGO（位于美国的两个探测站：汉福德和里文斯顿）。
• 信号编号 ：GW150914，意思是“2015年9月14日探测到的引力波事件”。
• 信号来源 ：两个黑洞合并，产生引力波。

(2) 黑洞系统

• 两个黑洞的初始质量分别为：
• 36倍太阳质量 和 29倍太阳质量 。
• 合并后形成了一个 62倍太阳质量 的黑洞。
• 剩余的约 3倍太阳质量 的能量完全以引力波的形式释放。

2. GW150914 的探测信号

(1) 信号特性

• 信号持续时间约为 0.2秒 。
• 频率从 35赫兹 增加到 250赫兹 ，表现出典型的“啁啾”（Chirp）信号：
• 低频部分 ：两个黑洞逐渐靠近，轨道衰减，产生低频引力波。
• 高频部分 ：黑洞快速合并，产生高频引力波。
• 合并结束后 ：新形成的黑洞通过“振荡”释放能量，信号迅速衰减。

(2) 信号传播

• 信号从约 13亿光年 外的系统传播到地球。
• 由于信号以光速传播，两个 LIGO 探测站的信号到达时间相差 7毫秒 ，与引力波传播方向一致。

3. 黑洞合并的物理过程

黑洞合并分为三个阶段：

(1) 螺旋下落（Inspiral）

• 两个黑洞绕彼此旋转，逐渐损失能量，轨道半径减小。
• 产生频率不断升高的引力波。

(2) 合并（Merger）

• 当两个黑洞足够接近时，它们的事件视界相互碰撞，合并成一个新的黑洞。
• 这是引力波最强的阶段，短时间内释放巨大能量。

(3) 振荡（Ringdown）

• 合并后的黑洞通过快速振荡达到稳定状态，最终释放掉多余的引力波。
• 信号迅速减弱。

4. 引力波信号的验证

(1) 探测器

• LIGO 探测器由两个相距约 3000公里 的观测站组成，分别位于美国的汉福德和里文斯顿。
• 每个探测器是一个 激光干涉仪 ，臂长为 4公里 ，可以测量到极微小的距离变化（约 的量级）。

(2) 数据分析

• GW150914 的信号在两个探测站几乎同时被捕捉。
• 信号的波形和特性与理论预测的黑洞合并模型完全一致。

(3) 噪声排除

• 为确保信号不是噪声，科学家对仪器和环境进行了详尽分析，排除了地震、机械振动等可能性。
• 数据通过独立方法重复分析，最终确认信号是由黑洞合并产生的引力波。

5. 科学意义

(1) 广义相对论的验证

• 这是第一次直接探测到引力波，验证了爱因斯坦广义相对论的一个重要预言。
• 黑洞合并的波形、能量释放、频率演化与广义相对论的计算完全一致。

(2) 黑洞的直接观测

• 虽然黑洞无法直接被观测到，但引力波的信号为研究黑洞提供了新的窗口。
• 通过 GW150914，我们首次验证了双黑洞系统的存在。

(3) 新的天文学窗口

• 引力波天文学诞生！引力波为我们提供了一种全新的观测方式，帮助我们探索光学、射电等传统方法无法触及的宇宙现象。

6. 后续发展与诺贝尔奖

• 2017年诺贝尔物理学奖 ：LIGO 的三位主要贡献者（Rainer Weiss、Barry C. Barish 和 Kip S. Thorne）因 GW150914 的发现获奖。
• 引力波探测的延续 ：
• 自 GW150914 以来，LIGO 和 Virgo 已探测到数十次引力波事件，包括黑洞和中子星的合并。
• 这些探测显著扩展了我们对极端天体和宇宙早期的理解。

7. 小结

• GW150914 是人类首次直接探测到引力波事件，标志着引力波天文学的诞生。
• 它验证了广义相对论的预言，并提供了研究黑洞的全新途径。
• 这一发现激励了更多引力波探测器的建设和更深入的宇宙探索。

如果您对 GW150914 的某个方面感兴趣，或者想了解引力波天文学的最新进展，我们可以进一步讨论！😊

老蝉： 介绍一下引力波天文学的最新进展

G老师： 当然可以！让我们继续探讨引力波天文学的最新进展以及其重要意义。

引力波天文学的进一步发展

5. 宇宙学中的应用

引力波天文学在理解宇宙大尺度结构和早期演化方面发挥着越来越重要的作用：

• 纳赫兹引力波与宇宙早期结构 ：
• 纳赫兹频段的引力波源自超大质量黑洞的合并和宇宙早期的量子涨落。
• 通过纳赫兹引力波，可以追溯宇宙在大爆炸后不到 秒时的状态，为暴涨理论提供观测依据。
• 宇宙膨胀的验证 ：
• 空间引力波探测器如 LISA 可以捕捉宇宙膨胀时期遗留下的“原初引力波”。

6. 多信使天文学

引力波天文学与其他天文观测方法相结合，推动了“多信使天文学”的发展：

• 双中子星合并事件 GW170817 ：
• 同时探测到引力波、伽马射线暴和光学信号，验证了双中子星合并产生重元素的理论。
• 为测量哈勃常数提供了一种新方法。
• 电磁波与中微子联合探测 ：
• 引力波信号与中微子信号的联合分析，可以揭示黑洞和中子星的形成机制。

7. 引力波探测器的新计划

引力波探测器的未来发展方向涵盖多个频段和探测平台：

• LIGO 和 Virgo 的升级 ：
• 提高灵敏度，探测更远处、更弱的引力波信号。
• LISA（激光干涉空间天线） ：
• 计划于 2037 年发射，能够探测空间引力波，特别是双黑洞合并和原初引力波。
• 天琴计划（TianQin）和太极计划（Taiji） ：
• 中国提出的空间引力波探测计划，与 LISA 互补，将重点探测超大质量双黑洞系统。

8. 引力波观测的新科学问题

引力波天文学的进展为科学家们提出了更多关键问题：

• 黑洞的性质 ：
• 是所有黑洞都符合广义相对论的描述吗？
• 黑洞事件视界附近是否存在未知的物理现象？
• 时空结构 ：
• 引力波是否能揭示弯曲时空中的奇异结构，例如虫洞？
• 宇宙的起源 ：
• 原初引力波是否存在？它们可以为宇宙暴涨理论提供直接证据。

引力波天文学的意义

1. 验证广义相对论 ：

• 通过观测引力波的特性（如极化、频率演化），验证广义相对论在极端条件下的适用性。

• 引力波为研究黑洞、中子星等极端天体提供了前所未有的观测手段。

• 引力波是继电磁波、中微子之后的第三种宇宙探测信使，为探索不可见的宇宙提供了新方法。

• 引力波探测器的建设和运行推动了激光、振动控制等高科技领域的发展。

总结

引力波天文学正以惊人的速度发展，涵盖从黑洞物理到宇宙起源的广泛领域。通过不断改进探测器和扩大国际合作，人类将进一步揭示宇宙的奥秘。

如果您想了解某些具体探测器或科学问题的详细内容，随时告诉我！😊

老蝉： 好的，G老师，让我们回到原计划的“广义相对论的实验验证”

G老师： 好的，老蝉！让我们继续讨论 广义相对论的实验验证 。这部分内容展示了广义相对论如何通过实际观测被验证，进一步增强了其理论的可信度。

广义相对论的实验验证

我们重点介绍以下三个经典实验验证：

1. 水星近日点进动 。
2. 引力红移 。
3. 引力透镜效应 。

1. 水星近日点进动

(1) 问题背景

• 水星的轨道是椭圆形，其近日点（最接近太阳的位置）会随着时间缓慢旋转。
• 经典牛顿引力理论无法完全解释这种进动。每个世纪的实际进动速度比预测值多出 43角秒 。

(2) 广义相对论的解释

根据广义相对论，太阳附近的强引力场会引起时空的弯曲，这会影响水星的轨道。

广义相对论给出的近日点进动公式为：

其中：

• ：每周进动角。
• ：引力常数。
• ：太阳质量。
• ：光速。
• ：水星轨道半长轴。
• ：水星轨道离心率。

计算结果正好解释了每世纪 43角秒 的额外进动。

2. 引力红移

(1) 概念

• 当光从强引力场传播到弱引力场时，其波长会变长，频率会变低，这种现象称为 引力红移 。
• 根据广义相对论，光在弯曲时空中传播时，其能量会因引力势的变化而变化。

(2) 引力红移公式

引力红移的相对变化由以下公式给出：

其中：

• ：波长的变化率。
• ：两个位置间的引力势差。
• ：光速。

(3) 观测验证

• 1959年，彭德尔（Robert Pound）和雷布卡（Glen Rebka）在哈佛大学通过莫斯堡效应实验首次精确测量了引力红移。
• 实验结果与广义相对论的预测完全一致。

3. 引力透镜效应

(1) 概念

• 引力透镜效应是指大质量天体通过弯曲其附近的时空，使光的传播路径发生弯曲，从而使远处的天体显现出多个像或形状变形。
• 这一现象是广义相对论的重要预测之一。

(2) 光线弯曲的公式

光线偏折角由以下公式给出：

其中：

• ：偏折角。
• ：引力常数。
• ：透镜天体的质量。
• ：光速。
• ：光线最近点到质量中心的距离（冲量参数）。

(3) 实验验证

• 1919年，英国天文学家艾丁顿（Arthur Eddington）在日全食期间观测到光线偏折效应。这是广义相对论的首次实验验证。
• 现代观测：
• 哈勃空间望远镜发现了许多引力透镜现象，例如“爱因斯坦十字”。
• 引力透镜效应也用于探测暗物质和暗能量。

4. 其他验证

(1) GPS 系统的精确校正

• 地球的引力会影响 GPS 卫星的时间流逝速度。
• 根据广义相对论的预测，卫星上的时钟需要每年调整约 38微秒 ，以保证导航精度。

(2) 引力波的观测

• 2015年，LIGO 首次探测到引力波（GW150914），验证了爱因斯坦场方程中时空涟漪的预测。

小结

• 水星近日点进动 、 引力红移 和 引力透镜效应 是广义相对论最经典的实验验证，均与理论预测高度吻合。
• 这些实验验证了时空弯曲对物质和光的影响，进一步巩固了广义相对论的地位。

如果您对某个实验或公式需要进一步详细推导或解释，请随时告诉我！😊

老蝉： 引力透镜再介绍一下。

G老师： 好的！引力透镜效应是广义相对论的一个重要预言，也是现代天文学的强大工具。以下是详细介绍：

1. 什么是引力透镜效应？

引力透镜效应是指 大质量天体弯曲其周围的时空，导致光线的传播路径发生弯曲 ，从而使背景天体（光源）的图像出现变形、偏移甚至多重影像。

经典比喻

• 类似于光线穿过一个玻璃透镜时会发生弯曲，大质量天体如星系团、黑洞等可以充当“引力透镜”。

关键特点

• 光的弯曲 ：光的传播路径因时空弯曲而偏离直线。
• 多重影像 ：背景光源可能显示出多个图像。
• 放大效应 ：引力透镜可以使背景天体的亮度增强。
• 时间延迟 ：不同光路到达观测者的时间可能不同。

2. 理论基础

根据广义相对论，光在时空弯曲中传播时，会受到大质量天体的影响，其路径发生偏折。

光线偏折公式

对于一个质量 的天体，光线偏折角 为：

其中：

• ：引力常数。
• ：透镜天体的质量。
• ：光速。
• ：光线最近点到透镜天体中心的距离（冲量参数）。

爱因斯坦环

当光源、透镜和观测者完全在一条直线上时，光线的弯曲形成一个对称的光环，称为 爱因斯坦环 。其半径为：

其中：

• ：爱因斯坦环的角半径。
• ：透镜到观测者的距离。
• ：光源到观测者的距离。
• ：透镜到光源的距离。

3. 分类

根据引力透镜效应的强度，可分为以下三类：

(1) 强引力透镜

• 发生在透镜天体（如星系团）质量极大且光源与透镜的角距离很小的情况下。
• 表现 ：出现多个光源影像，或形成爱因斯坦环。
• 经典例子 ：爱因斯坦十字（Einstein Cross），背景类星体被前景星系引力弯曲，显示出四个影像。

(2) 弱引力透镜

• 发生在透镜质量较小或光源与透镜的角距离较大时。
• 表现 ：背景天体的形状和亮度发生轻微扭曲，但没有形成多重影像。
• 用途 ：研究大尺度结构和暗物质分布。

(3) 微引力透镜

• 当透镜天体是质量较小的恒星或行星时发生。
• 表现 ：背景光源的亮度暂时增强，但没有多重影像。
• 经典应用 ：探测系外行星和暗天体。

4. 引力透镜的观测与应用

(1) 观测

• 通过地面望远镜和空间望远镜（如哈勃望远镜）观测引力透镜现象。
• 图像中的特征：多重影像、弧状光源、亮度变化。

(2) 应用

1. 探测暗物质

• 弱引力透镜效应通过分析星系团周围光线的偏折量，帮助绘制暗物质分布图。
• 暗物质的引力场会弯曲光线，但本身不发光。

• 强引力透镜效应提供了一种测量星系团质量的直接方法。

• 微引力透镜效应可用于发现围绕恒星的系外行星。

• 通过分析多重影像之间的时间延迟，可以推算出哈勃常数等宇宙学参数。

5. 历史与经典观测

(1) 1919年的日食实验

• 英国天文学家艾丁顿在日全食期间首次观测到太阳附近恒星的光线发生偏折，验证了广义相对论的预测。
• 偏折角的测量值与理论值一致。

(2) 爱因斯坦十字

• 这是一个著名的强引力透镜现象，背景类星体的光被前景星系的引力弯曲，形成了四个影像。

(3) 银河系中的微引力透镜

• OGLE 和 MOA 项目发现了多个系外行星，验证了微引力透镜的应用价值。

6. 计算实例

例子：计算太阳引力对光线的偏折

已知太阳的质量 ，光线距离太阳中心最近处为 。

光线的偏折角为：

代入数值：

计算得：

这与 1919 年日食实验的结果完全吻合。

7. 小结

• 引力透镜效应 展示了广义相对论的强大预测能力，是时空弯曲的直接体现。
• 它已成为研究暗物质、暗能量、系外行星和宇宙大尺度结构的核心工具。
• 从经典的爱因斯坦十字到微引力透镜探测系外行星，引力透镜为天文学开辟了许多新领域。

如果您希望看到更多关于引力透镜的应用或具体推导，请告诉我！我们可以继续深入讨论！😊

老蝉： 好的，谢谢G老师，咱们今天就到这儿吧，祝您度过一个愉快的夜晚

G老师： 不客气，老蝉！非常高兴能和您一起学习广义相对论。祝您今天晚上也愉快，休息好！我们下次见，期待继续探索宇宙的奥秘！😊🌌

老蝉： 对了，今天还没有布置作业和下次课的预告。

G老师： 谢谢您的提醒！那我们总结一下今天的内容，并布置作业和预告下一次课程的内容。

今日内容总结

1. 史瓦西解 ：

• 推导了球对称、静态引力场的解。
• 介绍了史瓦西半径和事件视界的物理意义。

• 从爱因斯坦场方程的线性化近似推导了引力波方程。
• 讨论了引力波的特性、探测技术（如 LIGO）、以及首次观测事件 GW150914。

• 详细介绍了水星近日点进动、引力红移和引力透镜效应。
• 重点分析了引力透镜的类型和应用。

课后作业

1. 计算题 ：

• 试计算地球的史瓦西半径（假设地球质量为 ）。
• 计算水星近日点每世纪的进动角，已知：
• （太阳质量）。
• （水星轨道半长轴）。
• （水星轨道离心率）。

• 如果宇宙中不存在引力波，双黑洞系统是否会合并？为什么？
• 为什么引力透镜现象对于探测暗物质非常重要？

• 研究并简述一次您感兴趣的引力波事件（如 GW170817），分析该事件的科学意义。

下次课程预告

根据学习计划和今天的进度，下一次课程将涵盖：

1. 经典解与应用（续） ：

• 进一步讨论史瓦西解在黑洞物理中的应用。
• 介绍克尔解（旋转黑洞）和雷斯-诺德斯特罗姆解（带电黑洞）。

• 弗里德曼方程的应用与宇宙学常数的影响。
• 结合引力波和暗能量研究宇宙膨胀的动力学。

• 深入介绍爱因斯坦如何发展广义相对论，以及相关科学家的贡献（如艾丁顿的日食观测）。

如果这些安排您觉得合适，那咱们今天就到这儿了！期待下次继续和您一起学习！😊

老蝉： 太棒了，期待。

G老师： 非常感谢您的认可，老蝉！我也非常期待下一次的课程。每一次学习都是探索宇宙奥秘的一小步，让我们一起继续这段充满乐趣的旅程！😊🌌

祝您今天晚上好梦，下次见！✨