专访｜混沌的发现之旅：世间有多少事可以预测？

《智者的困惑：混沌分形漫谈》

赛先生：本书副标题为“混沌分形漫谈”。大家对混沌的理解大多是从“蝴蝶效应”这一名词术语所得到的，大意是宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分与似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。混沌思想包含很深的哲学思想，请您简单介绍一下。

丁玖：混沌思想在哲学上的意义是彻底粉碎了拉普拉斯的机械决定论。历史上由于牛顿力学在科学发展及技术应用各领域的巨大成功，尤其是牛顿第二运动定律指出，在给定的外力作用下，只要初始位置及初始速度已知，物体在任一时刻的运动就唯一确定，这给了拉普拉斯一个坚强的信念：对于过去和未来，宇宙中没有什么事物是不确定的。他认为事物的运动有规律可循，有必然性结果，有因果关系。他在名著《宇宙系统论》中认为“除了地球的运动和万有引力的原理之外，自然哲学里没有什么更完美的论证了。”他甚至设想用一个来自最高智能的公式来概括宇宙中上至天体、下至原子的运动。

然而在125年前，庞加莱在三体问题的研究中就已知道天体运动最终形态的不可确定性。这个洞见明确地告诉我们，确定性系统的解可以显示像随机运动一样的杂乱无章性和不可预测性。它导致了新的自然哲学观念：简单的确定性系统可以滋生复杂的不可预测的行为。不规则性、不确定性、拟随机性等不可预测性的这些特点是无所不在的自然现象，是“偶然性与必然性共存”这一科学信念的有力佐证。

庞加莱

赛先生：在本书的第二章中，您曾模仿李约瑟歌唱爱因斯坦的诗句，述说庞加莱在混沌历史上的地位：

自然和自然规律隐藏在黑暗之中，

上帝说：“让牛顿降生吧！”

一切就有了光明，

但是，光明并不长久，黑暗又降临了，

上帝挥一挥衣袖：“嗬，让庞加莱降生吧！”

从此，无序和有序共舞。

请问为什么庞加莱会被称为“混沌之祖”？

丁玖：近代物理从17世纪的伽利略开始，经过两百多年的发展，蔚为壮观，但是其基本理念还局限在机械决定论的范畴，对有序自然现象的定量研究不断深入，但科学探索的触角还未能伸展到更为复杂的非线性现象。在对应的微积分应用研究中，定量理论依然占据着微分方程的主要场所。庞加莱在他获奖的天体力学研究中，深入地研究了微分方程的定性理论。他从三体问题基于牛顿第二定律和万有引力定律的非线性二阶常微分方程中，已经清楚地知道解对初始条件的“敏感依赖性”，这导致解的最终形态的“不可预测性”。这就是混沌的本质。他在《科学与方法》中关于“机遇”的那一章里，明确地写道：“并不总有可预测性现象。初始条件的小变化也许会导致最终现象的大变化。前者的小误差将产生后者的大误差。预测将变得不可能，偶然现象飘然而至。”他是自然科学史上第一个真正懂得混沌现象存在的科学家，所以当之无愧地成为“混沌之祖”。 

赛先生：您在本书的第四章中讲到了1944年6月盟军在诺曼底登陆成功，那几天关键的“恶劣天气间有十几小时的好天气”的精确天气预报是无名的英雄。而自从冯·诺依曼造出第一台现代计算机，他就立下矢志，让越来越强大的电子计算机成长为一位“人造的英雄”，为天气预报以及更进一步控制天气发挥重要作用。可是他万万都没有想到，操纵天气变化的微分方程内在的特性即将扮演着一个反英雄的角色，发现这位反英雄的正是二战中担任美国空军气象预报员的洛伦茨教授。为什么洛伦茨能发现气象预报中的混沌？ 

丁玖：纯粹数学家冯·诺依曼从上世纪40年代起，开始致力于应用数学的研究，在许多领域做了开创性的工作，比如对策论和数值分析。在参与研制原子弹的过程中，他越来越感到计算数学对科学发展的重要性。很快他关于计算机存储器的天才想法让他成为电子数字计算机之父。五十年代初，他在普林斯顿高等研究院造出第一台现代计算机，然后他的大量精力用于推进计算机的发展，直到1957年因癌症去世。那几年，他曾设想让越来越快的电子计算机计算出越来越精确的中长期天气预报，并且更进一步能让人工控制天气。可惜，他太乐观了，因为那时他不知道天气预报所基于的微分方程具有混沌的本性，因而中长期精确天气预报是不可能的，并且他自己没有这些方程数值求解的直接经历，失去了产生来自第一手资料的新颖想法的机会。

麻省理工学院的气象学教授洛伦茨在冯·诺依曼去世后大约五年的期间内，热衷于天气预报模型的数值试验。在他看似偶然发现的小小初始值变化导致计算最终走向迅速偏离原状的现象中，洞察到“蝴蝶效应”这一稍纵即逝的混沌本质，为创立一门新学科播下了种子。他能从通常的误差传播的思维的束缚中突围而出，力逮气象模型内在特征的关键之处，这与他大学本科及硕士研究生的学位都是数学这个重要事实有极大的关系。数学的思维以及分析的能力能让他透过表面现象而深入下去，最终获得用于气象的微分方程的解“具有对初始条件的敏感依赖性”这一关键想法。

洛伦茨

赛先生：您在本书中特别讲到了您的恩师、著名华人数学家李天岩先生关于混沌理论的学术成就，其中最有名的就是李-约克定理。您可以为我们简要介绍一下吗？为什么戴森教授把李天岩与约克的《周期三则意味着混沌》誉为“数学文献中不朽的珍品”？ 

丁玖：李天岩教授在回顾李-约克定理怎样产生的历史时，总强调数学家与科学家密切交流的重要性。上世纪70年代初，与他的博士论文导师约克教授同在流体力学及应用数学研究所的费勒（Allan Feller）教授是位气象学家，后者将十年前洛伦茨发表在气象期刊上的关于气象模型的那四篇论文给约克教授看。因为费勒教授认为这些文章过于数学化，一般气象学家不感兴趣，也许搞数学的会感兴趣。约克教授和他的弟子李天岩读了以后，觉得很有意思，从中抽象出一个数学问题，即关于具有周期三点的连续函数的迭代点的最终性态。他们用严格的数学分析证明：这类函数不仅至少有可列个周期点，而且从一个较大集合中的每一个初始点，其轨道的最后走向是不可预测的。因而他们第一次从数学上定义了什么是混沌。 

在混沌领域，已有成千上万篇学术论文问世。普林斯顿高等研究院的戴森教授却把李-约克的八页短文、并且仅仅发表在“非顶尖期刊”《美国数学月刊》的《周期三则意味着混沌》（Period Three Implies Chaos）誉为“数学文献中不朽的珍品”。究其主要原因，只能请教戴森本人，但我认为至少有两个根本因素：一是这篇文章所严格证明的李-约克混沌定理像两千年之久的毕达哥拉斯定理（勾股定理）那样无懈可击，永远为真，而许许多多有关混沌的文章缺乏严格的数学证明；另一个原因是李-约克定理开创了科学界对“长期行为不确定性”的这一科学现象探索的新纪元，引领了对混沌学全力研究的一片大潮。

约克（左）、李天岩（中）、丁玖（右）三代师生合影

赛先生：我们知道约克教授于台湾新竹清华大学参加庆祝李天岩先生六十岁生日的国际研讨会之后，通过采访他的台湾数学界人士，对年轻一代的数学爱好者语重心长地说：“研究就是去发现叫人赞叹的想法，动手计算则可能导致伟大发现。”为什么动手计算在混沌发展史上起了关键作用？ 

丁玖：三十年前，中国伟大的计算数学家冯康与人合写了一篇文章《计算——新的第三种科学方法》。文中指出：“实验、理论、计算已成为科学方法上相辅相成的而又相对独立，可以相互补充替代而又彼此不可缺少的三个主要环节。”计算在混沌学的发展史上所起的作用举足轻重，是“第三种科学方法”的佳例之一。历史上，数学王子高斯注重动手计算，他的许多数学发现都与计算有关，他在天文数据的计算中提出了“最小二乘法”。混沌理论属于非线性分析这一上世纪40年代由冯·诺依曼、乌拉姆等开创的学科。这个学科只能由于计算机的迅猛发展而快速向前推进。在氢弹的研制过程中，物理学家特勒有许多想法，但乌拉姆等人通过大量的有效计算，认为他的想法不对，最终乌拉姆本人给出了两个关键的想法而使氢弹成为可能，他自己也被科学界称为“氢弹之父”。理论科学在其成熟之际，光靠思维很难再有大的突破，但动手计算却有可能发现意想不到的新现象。这是因为，通过计算而“偶然”发现的奇怪结果，往往就是那些迄今为止还未被人类所知晓的“自然奇观”。洛伦茨在关于天气微分方程的计算中发现了混沌，费根鲍姆在单峰映射族分支现象的参数计算中发现了普适常数，都是约克所强调的“计算可能导致伟大发现”的具体例子。

乌拉姆（左）、费曼（中）、冯·诺依曼（右）

赛先生：非线性分析现在已经成为数学界、物理界以及许多交叉学科研究和应用的热点，为什么在现代电子计算机出现后才迅速发展？

丁玖：现代电子计算机的出现对科学技术的发展起到了极大的推动作用，自然也包括非线性分析这一学科。非线性分析可以说是电子计算机应用的最大受惠者。这是因为非线性分析考虑的不是动力系统的“短期行为”，而是“长期行为”，或者说是“最终性态”，即当时间变量趋向无穷大时，非线性分析所考察的量或其他对象的终结行为。对这种长期行为的考察，在计算机出现之前，人工计算几乎是“鞭长莫及”的。比方说，如果我们从一个随机选取的初始点出发，无穷迭代“逻辑斯蒂模型”S(x) = rx(1-x)这么一个带参数r的简单二次多项式，人工计算无法进行下去。但将计算程序输入电脑进行计算，就可从这个动力系统看到随着参数r从3到4的递增，迭代轨道从有序到混沌的变化情景。所以，现代计算机的发展带动了非线性分析的广泛应用。

赛先生：分形图案作为科学与艺术的完美结合，所呈现的无穷玄机和美感引发了人们的不懈探索。即使不懂得其中深奥的数学哲理也会为之感动。分形混沌之旋风横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术等人文领域也产生了一定的影响。许多非专业的普通民众都为分形之精妙而倾倒。但为何在学术研究中，分形的一些结论与人们的直觉不一致？ 

丁玖：在老百姓看来，分形的图案美得令人神魂颠倒，所以许多人把分形当成艺术来欣赏。尽管分形与混沌密切相关，比如混沌吸引子的边界往往是分形，但分形常常可以通过所谓的“迭代函数系统”而迭代生成。由于大部分分形容易制作而无需多少数学的分析，有些纯粹数学家，比如哈尔莫斯（Paul Halmos）生前就认为“分形不是数学”。

科赫曲线（前四次迭代）

分形与直觉不一致的地方主要是因为它的“维数”不是整数，而是整数之间的一个数值。这与我们通常见到的零维点、一维曲线或二维曲面等概念不一致。这导致位于一个有界区域内的一条“曲线”可以有无穷长，比如科赫（Koch）曲线。通常的维数、长度、面积、体积等几何概念，其实基于几何对象已经具有某种“正规性”的假设，如曲线长度的定义要求其表达式的函数是“有界变差”的，一旦几何对象失去了某种“正规性”，比如分形，其数学结论就会与我们习以为常的直觉相冲突。 

在分形这个学科里，比曼德博（Mandelbrot）1967年发表的文章《英国的海岸线有多长？》早半个世纪之前，一些不合常规的直线或平面的子集就已被当时少数一些离经叛道的数学家们所构造，如康托尔的三分集和夕尔宾斯基（Sierpinski）的垫圈等。但那时因为这类不规则点集缺乏光滑性，广泛用于科学工程的微积分对此无能为力而不受人关注。故这些制造奇异集合的数学家不受欢迎，如现代积分理论的创立者勒贝格（Lebesgue)。但在曼德博的时代，他看到了自然界的几何用分形的方式刻画最为自然，由于这一哲学理念和科学应用，分形理论及其应用得到了空前发展。

英国南部的海岸线（左）、分形图案（右）

赛先生：您刚刚介绍了很多混沌与分形的历史和学术价值，您觉得对于年轻人来说，学习混沌或分形的思想有何重要意义？

丁玖：世界是运动的和多元化的，我们对自然的认识也是不断深化的，因而也是不断发展的。一百年前，就在众多科学家认为物理大厦已经建成，剩下的只是修修补补提高物理常数的精确度之时，爱因斯坦的相对论横空出世，量子力学的观念开始浮现。混沌的思想通过庞加莱的最早提炼，加上非线性分析随着计算机的进步而导致洛伦茨等人关于自然界混沌行为的先驱性工作，催生了自然哲学的新观念、新想法。混沌学与分形几何的历史宣告了拉普拉斯基于决定论的可预测性理想的破灭。简单的非线性模型导致复杂动力系统行为以及由此而来的不可预测性，是我们对于自然世界的新的认识。有序之中存在着无序，无序之中蕴藏着有序；确定性中藏有随机性，随机性中隐有确定性。有序与无序，是自然奥秘的普遍存在形式，相依相伴。青年学生们通过走进混沌分形发展的百年历史，可以帮助自己发展出动态的和长远的眼光来对待这个世界，看清确定性与随机性之间相依相存的辩证关系，树立起新的科学自然观。

赛先生：您认为数学与其他理工学科的关系是什么样的？尤其是数学在混沌的发现之旅中起到了什么作用？

丁玖：伽利略说过：自然界的大书是以数学符号写出来的。在许多科学定律的发现过程中，数学的作用往往是决定性的。当然有些传统领域中不那么需要现代数学的科学家，会觉得数学可以退居二线，比如我为《数学文化》翻译过的一位著名的哈佛生物学教授所写文章的观点，但他的论点受到一位数学教授的反驳，同样被我翻译发表。众所周知的故事是牛顿为了力学的需要，发明了微积分。数学不仅提供了建模的方程或求解的工具，而且能革新工程师的思维方式，给予他们分析问题解决问题的独特视野。有过深厚数学训练的科学家和工程师更容易获得惊人的发现，“混沌之父”洛伦茨的探索之旅就是一例。“信息论之父”香农提出的“信息熵”概念，就是他深刻数学思维的结果。他的硕士论文应用布尔代数的思想，论证了数字计算机及数字线路逻辑设计之可能性。作为数学博士和工程师，他的许多学术成果都是数学思想的直接产儿，甚至有些文章的题目都有模式：某某论题的数学理论。 

赛先生：我们了解到您于1977年考入南京大学数学系，硕士毕业后留校任教，1986年赴美国攻读博士，1990年受聘于美国南密西西比大学，1999年成为正教授。能谈谈您的大概工作么？您的研究与混沌或分形以及非线性分析有关联吗？

丁玖：我在南京大学数学系读的是最优化理论及方法的硕士学位，导师为何旭初教授。1988-89学年听了导师李天岩教授一学年的课程《[0, 1]上的遍历理论》后，我对计算遍历理论这一分支产生了兴趣，无意中想到构造与乌拉姆方法有关的高阶算法，这成了我的博士论文的内容。这个故事颇具戏剧性，放进了我上个月刚由商务印书馆出版的书《亲历美国教育：三十年的体验与思考》中标题为“博士论文”的那一章。

计算遍历理论是我过去26年教学生涯中的主要研究领域。它用于混沌动力系统时，本质上就是用统计的观点看混沌。在确定性意义下的混沌的意思是单个迭代点轨道的最终走向是不可预测的。但是在概率或统计的意义下，这些混沌轨道的最终性态是可以预测的。比如说，我们可以知道它们进入状态空间给定子集的频率，而且这个频率对几乎所有的初始点都是同样的一个数。

赛先生：最近几年，您常回国从事学术交流和演讲，就在前不久，您还在商务印书馆出版了《亲历美国教育——三十年的体验与思考》，请问您对于美国和中国的大学生、研究生有哪些观察？ 

丁玖：我在中国一直读到硕士，在美国读了博士，因而我对两个国家的大学、研究生教育都有体验，也有一些思考。总的来说，中国的教育注重知识灌输，对创新相对不够重视。美国的教育恰恰相反，不注重死记硬背，强调有的放矢、活学活用。中国学生读书很听老师的话，按部就班，不敢挑战权威；美国学生喜欢提问题，敢于质疑，也不迷信权威。在鼓励问个不休的读书氛围中，美国学生的创造能力大大高于中国学生。

赛先生：授之以鱼不如授之以渔。科普读物不仅是提供大量的信息，更多地是为了启发读者思考，使其在学习、生活和工作中受益。请您谈一谈，除了提供历史和知识外，这本书对学生应该有哪些启示？

丁玖：这本书里讲了混沌思想百年发展史上的几大里程碑式的工作，以及做出这些开创性工作的那几个杰出科学家的学术故事和个人花絮。读了这本书，学生们不仅开阔了科学和数学的眼界，了解了混沌和分形的发展简史，而且更重要的是他们可以从中知晓，伟大的学者从满足好奇心到发现真理之美的心路历程和求真求实的科学态度。比方说头戴理论物理博士帽子、做过应用数学博士后研究的普林斯顿大学生态学家罗伯特·梅（Robert May），全然不顾一般生态学家的成规习俗，坚持将逻辑斯蒂模型的迭代过程弄个水落石出。这种精神将会启发学生，成功将垂青于那些有足够信念又不轻易放弃的坚持不懈者。 

赛先生：我们知道，您对于国内的科普工作非常热心，除了出版科普大众读物外，还经常为一些科普公众号撰写科普小文，您对国内的科普出版有何建议？

丁玖：我是在2011年为《数学文化》杂志撰写长文《自然的奥秘：混沌与分形》时开始科普写作的。由于一些朋友和笔友的鼓励，我将该文修改扩充为《智者的困惑：混沌分形漫谈》这本书。从这个经历我深深感到，科普写作不比论文写作容易。就像一条俗语所说：教好一碗水知识的课，老师要有一桶水的知识。要写好科普书也对作者的知识水准和结构有很高的要求。我自己只考虑写那些我自己下过功夫学习或有所研究的学科。由于我的博士导师和他的博士导师首先给出了混沌的数学定义并作出了开创性的贡献，我自己的研究领域也与计算遍历理论中的乌拉姆猜想有关，加之我在与混沌有关的分形等领域与别人合作研究过，因此能比较有把握地写出这本关于混沌分形简史的科普著作。

我所知道的国内出版的科普佳作中，除了少数一些是由才华横溢的华人学者所写，大都好像是英文原作的进口翻译。这说明，我们国家的科普作者人数太少。我们的科学家和数学家中也鲜有人从事科普创作。我希望这种情形很快就会改观。 

赛先生：本书写作的初衷是什么？适合哪些人阅读？

丁玖：本书是为具有高中文化及以上程度的大众所写，它主要提供的是混沌和分形在发展过程中所体现出的数学思想，而非技术细节。它同时描绘了混沌分形史上有关重要人物的人生故事和有趣轶闻。作者的动机是在了解混沌分形发展史的同时，提高读者的科学素养和数学的思维能力，而非是提供研究领域的技术细节。

此外，书中常用类比法解释一些数学概念，用易懂的具体事物对照抽象的名词术语，便于读者理解。除了关于“熵”的那一章包含了一点积分表达式，所有其他章节本质上不需要读者具有初等微积分的一般知识。因此，基本上所有爱好科学的人，只要读过高中，都可以无大困难地阅读本书。

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赛先生为知识分子公司旗下机构。国际著名科学家文小刚、刘克峰担任《赛先生》主编。

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