神奇的完全数

作者 | 大小吴

来源 | 大小吴的数学课堂

今天大小吴来和大家讨论一种神奇的数：完全数。

1 亏数、盈数、完全数

我们知道，一个数不管它是素数还是合数，它总有因数。我们记一个正整数 的所有因数之和为 ，那么容易知道对于素数来说，必然有

对于合数来说，必然有

古希腊数学家将 与 进行比较（实际上， 即为一个数的真因数之和，真因数是包括1但不包括这个数本身的因数），称满足

的数为亏数；

满足

的数为盈数；

满足

的数为 完全数 。

举几个简单的例子，对于正整数4、12、6来说，有

则说明4是亏数、12是盈数、6是完全数。

易知，所有的素数必然是亏数。

我们可以对亏数、盈数、完全数这三种数总结如下：

一个正整数	亏数	盈数	完全数
真因数之和	小于	大于	等于
因数之和	小于	大于	等于

可以将“亏”、“盈”理解为将真因数之和相对于自身作差而得到的“缺损”和“盈余”。而恰好既不“缺损”也不“盈余”，真因数之和等于自身的数即为“完全数”，又称“完美数”，“完备数”。

2 有多少完全数？

完全数是非常稀少的，最小的完全数是6，接下来是28，因为

两位数中的完全数有且只有28，而在三位数中仅有496是完全数，往后越来越稀少。数学家笛卡尔曾公开预言：“完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美的人亦非易事。”

3 偶数完全数

由于目前已知的完全数6、28、496都为偶数，我们现在就来研究一下是偶数的完全数，把偶数分解素因数，得到

令

则

这里假定偶数 是完全数，则

另一方面，易证因数和函数 是积性函数，因此

又因为

因此

即

因此

这样我们得到了 的所有因数之和。

在这里，易知 必然是 的因数（否则的话， 就不是一个整数）。进一步通过观察可知，等式右边有且只有两个 的因数，且其中一个已经是它本身，因此 只能是一个 素数 ，且

也就是说， 是一个能用 的形式来表示的素数。那么一开始的偶数完全数 可表示为：

其中满足 为素数。

对此，我们可以加以验证：

4 完全数与梅森素数

如此一来，我们只需考虑什么时候 是素数即可。我们用 替换 ，研究形如 的素数，这样的素数称为 梅森素数 ，常见的梅森素数有：