过了若千年之后，他的后人发现了这本日记，来到了这个海岛上.他发现两决石头仍然存在，可是岸旁那棵松树已经不存在了，请问这位海盗的后人有没有办法把埋藏的宝物重新找出来？
分析解法
，我们以A，B二点的联线l作为实袖，以二点联线的中点0为原点引进一个坐标系。不妨设在这个坐标系中A的坐标是-1，B的坐标是1，设点P的坐标为z，那么向量
向量
可由向量
反着时针方向转
得到，故
.
但这个向量的超点4的坐标为一1，故其终点A'的坐标为
同理，向量
可由向量
顺着时针方向转
得到，故
.
从而知
的坐标为
1-i(1-z).
A',B'联线段中点M的坐标应是
这就是说，不论p的坐标为何，宝物埋藏点M总是点-i，即以AB为底的等腰直角三角形的顶点。
如果点P在1的另一侧，则M的坐标是i，因此后来的人只要以AB 为底作一正方形，那么宝物一定埋在正方形的另外两个顶点上。
综合解法.
设A'，B'二点联线段的中点为M，作PP',A'A",B'B",MM'垂直于 A，B二点的联线l。由于M是梯形A'A"B"B'一个腰的A'中点，故M'必是另一腰A"B”的中点。另一方面，在直角三角形△PP'B和△BB"B'中，由于
，∠1=∠2，故
因此我们有
同理可知
由于
是A"B”的中点，而
，故M'必定同时也是AB的中点.另一方面，我们有
故有
即△MM'A，△MM'B为等腰直角三角形，因而△AMB是等腰直角三角形。由此可知宝物埋藏点是以AB为底的等腰直角三角形的顶点.
例3.以平行四边形口ABCD的每个边为边，向四边形之外作一正方形。明这四个正方形的四个中心依次联结起来是一正方形。
分析证法。命平行四边形的四个顶点A，B，C，D的坐标为
.首先注意
但这两个向量方向相同，长度相等，故必有
或
现在注意向量
是由向量
顺着时针方向转
得到的，故
但这个向量的起点为
，故其终点为
正方形 AA'BB的中心是对角线A'B的中点，故其坐标为
同理可知，其他三个正方形的中心是
利用前面的条件
立即可以算出
这就是说，线段
和
有相同的中点。也就是说，四边形
，的对角线相互等分。其次，我们有
因此
这就是说
和
相互垂直，而且长相等，因此
，是一个正方形.
综合解法，考虑三角形
和
。我们知道
另一方面，我们知道
故
因此
从而得
同理可知
其次
因此
同理可知
故
为正方形。
例4.平面上有一个固定的圆周K.圆外有一固定点A，圆周上有一动点B，对B的每一个位置，我们以AB为底作一正三角形△ABC.我们问：当B在圆周K上运动时，正三角形△ABC的第三个顶点C将会描出怎样的轨迹？
注意，以AB为底可以作出两个正三角形来。我们只考虑其中那样一个正三角形，当我们从A走向B时，这个正三角形出现在我们的右手边。
分析解法，我们以K的中心为原点，0A 联线为实轴引入一坐标系。设A在这坐标系中的坐标为a.
如果K的半径为R,则B的坐标将是
.现在注意向量
向量
是由向量
顺着时针方向转
得到的，所以
但
的起点为a，故C的坐标应是
从而
两边取模得
这就是说，C到
这个点的距离永远是R，因此C的轨迹是以
为中心，R为半径的圆周。
现在让我们看轨迹的圆心究竟在哪里。我们知道
因此
这就是说，轨迹的圆心是将向量
反着时针方向转
得到的向量
的终点，因此，我们所要求的执述可以下法作出：以0A为底作一正三角形，以这个正三角形的第三个顶点为中心R为半径作
一圆，此圆即所要求的轨迹.
综合解法。以0A为底作正三角形 △OAD. 考虑三角形 △BAO 和△CAD.我们有
另一方面，
因此
∠CAD=∠BAO.
从而得
故
因此C位于以D为中心，R为半径的圆周之上.
例5.设△ABC为任意三角形，以这个三角形的每个边为底，向外部作一正三角形. 证明这三个正三角形的重心是另一正三角形的三个顶点。
证，设三角形 △ABC 三个顶点的坐标为
，向量
是由向量
顺时针方向转
得到的，因此，如果记
，则有
但A的坐标为
，故
的坐标为
三角形△AA'B的重心
的坐标是
同理，其余两个三角形的重心是
这样一来，便有
但
故有
两边取模，封注意
，得
即△
为一正三角形。
以上举的四个例子，除了第1例之外，大致上属于同一类型，并且技巧性也不是太强的，下面这个题是一个外国数学竞赛题，我们也用分析方法来解它，由于这题较难
，所以技巧性也较强，题目是这样说的：
在平面上给定了一个半径为1的圆和另外某n个点(可以在圆内，圆外，也可以在圆周上)
.证明在圆周上一定可以找到一个点M使得
