小事 | 你看这儿有一个洞

如果地球上挖了一个洞，出口在地球的另一端，一个人跳进洞中，请问他会怎样运动？

知友 | Mandelbrot

其实这是一个复杂的问题。我们先从最简单的情况开始讨论吧。

最简单的情况是这样的：

1. 这个洞从北极通向南极，和地球的自转轴重合。这样，我们可以忽略地球自转的影响。

2. 洞内部是真空。当然，洞的两端应该加上盖子。这样，我们就不用考虑空气阻力了。

3. 洞壁完全隔热，不然，当你到达地核时，6000 度的洞壁放出的辐射能量也足以把你烤焦了。

4. 地球是密度均匀的球体。

现在，假设这个理想的洞已经挖好了，小明同学带上氧气瓶，义无反顾地从北极跳了下去。

在地球表面，重力加速度是 1g（约 9.8 米 / 秒 2）。当这小明逐渐深入，他受到的引力逐渐变小，也意味着他的加速度逐渐变小，但是同时他的下落速度仍然在增加。

在地球中心，他受到的引力为 0。但是，这时候他的速度达到最大值，可以让他冲过地心，飞向位于南极的洞口。越过地心后，他受到和运动方向相反的引力，让他减速。随着他远离地心，引力逐渐增大。当他到达南极的洞口时，速度减低到 0。引力让他重新下落，飞向北极的洞口。

这样，小明就在这个洞中做周而复始的飞行。如果没有人把他拉上去或者抓住把手自己爬上去，他应该会耗尽氧气窒息或者饿死。

从北极到南极，小明所花的时间大约是 42 分钟。有一个有趣的现象：连接地球表面任意两点的洞，如果你从一端跳下去，从另一端出来需要的时间都是 42 分钟。

这里假设没有摩擦力。更有趣的是，这个数字只与星球的密度有关，而和大小无关。根据这个概念，人们设想了一种非常节省能量的引力火车，可以作为未来的交通工具。这种火车所需要的能量只要足够补偿摩擦力的损失就行了。

在这个过程中，小明受到的引力和离地心的距离成正比。所以，引力可以简单的表示为：F=kr。

其中 r 是小明到地心的距离，而 k=4Gπmρ/3。其中 G 是万有引力常数，m 是小明的质量，ρ是地球的密度。这些都是常数，所以，我们可以把 k 也作为常数处理。

不难看出，这样的引力和弹簧产生的力具有相同的性质。在这种力的驱动下产生的运动也和弹簧振子产生的运动一样，是一种简谐振动。整个过程，是一个简单的势能 - 动能转化过程。

下面我们放弃第一条假设。如果这个洞从赤道的一端通向赤道的另一端，那么地球的自转就不能忽略了。

这个洞在赤道面上，所以整个洞跟着地球自转。从上图可以看出，洞的不同部分转动的线速度大小和方向都是不一样的。

小明从洞口跳下的时候，他的水平方向速度（自转线速度）是 464 米 / 秒。在他下落的过程中，他的水平方向速度会逐渐超过洞壁的速度。他会看见洞壁向他靠近。然后，小明不可避免地撞到洞壁上。

在完全弹性碰撞的情况下，小明会被弹向另一侧洞壁，然后弹回来，在这个乒乒乓乓的过程中继续他的旅程。然而考虑到小明是一个人，弹性应该不大。在几次碰撞之后，他就会贴在洞壁上（上图中右侧的洞壁）往下滑。

从小明的角度来看，洞壁始终在向他做加速运动，所以我们可以认为有一个虚拟的力，把小明推向洞壁。

越过地心以后，洞壁继续相对于小明做水平方向的加速运动，所以，对小明来说，这个虚拟的力仍然存在。

在整个过程中，小明的感觉和坐下图中滑梯差不多，只不过坡度要大得多。

（图片来自 Indoor water parks: Keep warm with these thrilling rides this winter）

这种现象在地球表面也能观察到。在不同纬度上运动的气流都会因为这个原因发生偏转。我们把这个虚拟的力叫做地转偏向力。它在地球的气候系统中发挥着重要的作用。

图片来自地转偏向力 互动百科

洞壁和小明之间的摩擦力会很快消耗掉小明的下落的动能，把简谐振动变成阻尼振动，让小明的振幅越来越小，最后漂浮在地心。

如果我们希望小明能够一直往下掉，不会碰到洞壁，那么洞的路径就必须和小明下落的路径一致。现在来看看什么样的洞才能达到这个要求。

由于小明带着比较大的自转线速度下落，不久后他就会偏离直径 AC 方向，但是他受到的引力仍然具有相同的特性：1）指向地心；2）大小和与地心的距离成正比。

这种在二维平面上的动能 - 势能转化过程产生的运动轨迹是一个椭圆，椭圆的中心就是地心。椭圆的长轴等于地球的直径，即 12742 公里；短轴等于 748 公里（这里的计算可以在 newtonian mechanics 找到）。

开始，小明从 A 点跳下去。当他达到 B 点时，他距离地心 374 公里。42 分钟后，小明沿着路径 ABC 来到 C 点，他会沿着椭圆轨迹的另一侧 CDA 重新下落。这样周而复始地在椭圆上运动。

然而，千万不要认为在地球上挖一个这样的椭圆形的洞就能让小明永远漂流下去了。不要忘记，地球在转动。

椭圆长轴上的两端 A 和 C，是两个对踬点。小明从 A 点来到 C 点需要 42 分钟，所以，当小明穿过地球的时候，原来的 C 点已经向前走了 1169（464 x 42 x 60）公里。

所以，洞的另一端，C‘ 点，应该比 A 的对踬点落后 1169 公里。同时，洞的路径也需要做相应的调整。如果你希望小明还能从 C‘点再落回去的话，另一头的洞口 A’应该比 A 点落后 2338 公里。

这样，小明每循环一次，就会出现在比上一次出发点落后 2338 公里的地方。这样的路径不会形成闭合的形状，所以，你没有办法给小明挖出一个洞，让他可以永远在地球内部往返运动。

如果你觉得这样已经够复杂了，其实我们还有很多因素没有考虑。不过，以下这些因素已经不在这篇回答的范（能）围（力）之内了。

地球并不是一个密度均匀的球体，地壳，地幔和地核的密度都不一样。在下落过程中的引力变化自然也不能像上面那样简单处理了。

图片来自Gravity of Earth

上图中的蓝线显示了地球内部真实的重力加速度变化情况。对于这种不能用函数表达的数据，应该怎么算呢？

要是洞里有空气，空气的阻力肯定会消耗掉下落的动能。如果要计算的话，我们必须知道在不同高度的空气密度和大气压力。

我们感受的大气压力实际上是我们头顶的空气的重量，那么从地心开始算的话，一根 6000 多公里高的空气柱能产生多大的压力呢？会不会让地心附近的空气变成液态呢？这样小明可能会一头扎进水里，根本不会出现在地球的另一面。

还有，如果洞壁不能隔热，地球内部的高温又会对气压和空气阻力产生什么样的影响呢？

如果你有办法的话，不妨算一算。

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