存在即合理
所见即真实
很久很久以前，有位漂亮的模友希望超模君介绍一下极大似然估计法：
在数模的世界里，女生总是优先的（各位模友，你们觉得呢）。
今天，超模君就要讲讲极大似然估计，不过在讲它之前，京西大旅馆好像又发生了一些事情：
在一个周末，小天跟着刘强西去“查房”，刚刚转角就看到一个身影闪进了最尽头的那一间房，什么都没看清，只能确定头发是长的。
小天就问强西：“咦，刚才那一身影消失得这么快，我都没看清是男是女。。。”
刘强西很淡定地回答：“我猜肯定是一位女房客。”
小天一脸疑惑：“你刚才看清了？”
刘强西：“没有，但是由ta是长头发可推断出ta是女的。”
其实在没做性别鉴定之前（科学要认真对待），这位房客有可能是男的，也有可能是女的。
不过从我们已有的经验判断，女性长头发的可能性为大约为0.9，而男性长头发的可能性只有不到0.05（另外的0.05各位模友可以猜猜）。
就凭借这种常识，刘强西猜这位房客是女性。而刘强西这种基于可能性最大的猜测，就是极大似然估计的思想。
没明白怎么回事，那就继续往下看：
极大似然估计方法（Maximum Likelihood Estimate，MLE）也称为最大概似估计或最大似然估计，是参数估计的一种很重要的方法。早在1821年，高斯就提出了这个思想，但是这个方法通常被认为是英国统计学家罗纳德·费雪（R.A.Fisher）的功劳。
一位几乎独自建立现代统计科学的天才——费雪
原来，在1922年，费雪发表了一篇论文《关于理论统计的数学基础》，给出了“极大似然估计法”这一名称，并且详细探讨了这个方法的一些性质。
极大似然，其英文Maximum Likelihood原意就是“看起来最像”，而这个“看起来最像”的方式却成了我们判断的重要标准。
那我们举个例子（大家醒醒，这是本次考试的重点）：
现在有一个不透明的布袋，里面盛放着许多个白球和黑球，但是不知道数目和两种颜色球的比例。在不能把袋中的球全部拿出来数的情况下，我们该如何知道袋中白球和黑球的比例呢？
此时小天举手：放在这道题，让我来。
小天每次随机从袋中拿一个球出来，记下球的颜色，然后将拿出来的球放回袋中。如此进行了100次，我们记录到有70次拿出来的是白球。
那么，请问袋中白球所占的比例最有可能是多少？
一看就知道是70%啦！不要问我为什么，这是常识。。。
看来这不止是一道送分题，也是一道送命题。超模君都说今天要讲极大似然法，你竟然回答“常识”。
算了，超模君还是认真先把问题讲完。
我们假设袋中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。而每抽一个球出来，在记录完颜色之后，我们把抽出的球放回了袋中并摇匀：
因此每次抽出来的球的颜色这一事件相互独立并且服从同一分布（即期望和方差相同）。
事实上，p是有很多种分布的。而根据我们所谓的常识：在这100次抽取的过程中，出现了70次是白球，那我们肯定不会认为白球：黑球 = 5:5 ，而是倾向于认为白球：黑球 = 7:3。
现在，我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。而在上面的题目的在100次抽样中，我们将70次是白球，30次是黑球的概率记为P(样本结果 | M)，每次抽出来的球是白色的概率记为p。如果第一次抽样的结果记为x1，第二次抽样的结果记为x2，……那么样本结果= (x1，x2，...，x100)。于是：
P(样本结果 | M)
= P(x1，x2，...，x100|M)
= P(x1|M)P(x2|M)...P(x100|M)
= p^70(1-p)^30
显然，当p=0或者1时，P(样本结果|M)=0，因此在p∈（0，1），P(样本结果|M)会有一个极大值（或极小值）。
而极大似然法就是令样本出现的概率最大，进而估计整体的模型参数。
那么，p在取什么值的时候，P(样本结果|M)的值最大呢？
很简单，只需将p^70(1-p)^30对p求导，并令其等于零，即
于是我们便可以得到p=0.7，即白球：黑球=7:3。
这一次你们的“常识”没错。
不知各位模友还记不记得概论论课程中病毒感染的案例（今天重新温习一下）：
假如人们会感染一种病毒，有一种测试方法，在被测试者已感染这个病毒时，测试结果为阳性的概率为95%。在被测试者没有感染这个病毒时，测试结果为阳性的概率为2%。
现在，有一个人的测试结果为阳性，问这个人感染了病毒吗？
根据极大似然法，如果一个人感染病毒，95%的测试结果会为阳性；而如果这个人没有感染病毒，只有2%的测试结果会为阳性，所以这个人应该是已经感染病毒了。
不过，在极大似然法中，由于只考虑了由一个模型产生一个已知数据的概率，而没有考虑模型本身的概率，尤其是在数据量比较小的时候，误差就会比较大，估计的结果难以让人信服。
而这个时候，就应该用到贝叶斯方法了（传送门）。
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