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灵机一动 | 第205期 PQ类数

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2016-12-08 07:51

正文

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灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 205

PQ类数

对四位数abcd（1≤a≤9，0≤b,c,d≤9），若a>b，b d，则称abcd为P类数，若a c，c

注：题中用abcd表示一个四位数，而不是四个数的乘积。

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上期问题回顾

NO. 204

尺规作图

给定三角形 ABC ，请你用尺规作图（没有刻度的尺），找出 AB 上的一点 K 以及 BC 上的一点 M ，使得 AK = KM = MC 。

分析与解答

答案：先在 BC 上任取一个点 M’ ，然后用圆规截取 AD = CM’ 。过 D 作 AC 的平行线，以 M’ 为圆心 M’C 为半径作圆，与这条平行线交于点 K’ 。过 K’ 作 AB 的平行线。容易看出，此时 A’K’ = K’M’ = M’C ，并且三角形 A’B’C 与整个大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 为中心将 A’B’C 放大到 ABC ，就可以得到满足要求的 K 点和 M 点了。因此，我们延长 CK’ ，并把它与 AB 的交点记为点 K ，这个点 K 就是要求的点。既然 AK 的长度知道了， M 点的位置也就确定了。

* 答案来自Matrix67的博客《难倒犹太人的11个数学问题》 http://www.matrix67.com/blog/archives/4649

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题友解答精选

- 精选主要参考有依据有：①答案是否正确；②表述是否清晰；③是否具有创新性；④答题的先后顺序。

- 只在解答入选在此的才有电子书赠送，入选留言区的不包括在内。

◎题友 @小卒 的解答：

思路：缩放法，先做一个四边形AJHI,使得AJ=JH=HI,且使得∠JAI=∠A，∠HIA=∠C，然后再对该四边形放大至AI=AC。具体步骤如下，以适当长度r为半径，分别以A,C为圆心做圆，分别交AB,CB于J,P两点，过P点做AC的垂线PR，再过J做PR的垂线，交点为Q，然后以P为圆心，以r为半径做圆，交JQ于S点，则做出了RT三角形PQS，这是最核心的部分，然后过J做SP的平行线JH，再以J为圆心，以r为半径做圆，交JH于H，再过H做BC的平行线交AC于I，则做出了AJHI，完成了第一步，然后缩放，过C点做JI的平行线交AB于K，以K为圆心，以AK为半径做圆，交BC于M。完毕！！

◎题友 @警信消防 的解答：

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