什么是黎曼和？什么是定积分？

在初等数学中学习了三角形，四边形，多边形的面积计算：

现在来学习 曲边梯形 的面积是如何定义的，以及如何计算的：

1 抛物线下的曲边梯形

1.1 问题

之前介绍过，要求 ， 之间的曲边梯形的面积 ：

可以把 均分为 份，以每一份线段为底，以这一份线段的右侧的函数值为高做矩形：

当 的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

那么，能不能以这一份的线段的左侧的函数值为高做矩形？

1.2 计算

算一算就知道了。先把 均分成 份，每份长为 ，以及各个划分点的坐标如下：

把坐标组成两个集合：

因此，以左侧的函数值为高的矩形和可以如下计算：

同样的道理，可以得到以右侧的函数值为高的矩形和：

当 的时候，两者是相等的，它们都是曲边梯形的面积：

2 狄利克雷函数的曲边梯形

之前介绍连续的时候就介绍过狄利克雷函数：

也见识过它的古怪性质。这里也要把它拉出来作一个反面典型。 的图像是没有办法画的，非要画也就是这样的：

假设要求 内的曲边梯形面积，尝试对 进行 等分，那么等分点必然为有理数点（下图为了演示方便，调整了下 坐标的比例）：

所以这些等分点的函数值必然为1。以1为高，以等分区间长度为底作矩形，可以得到：

这些矩形的和必然为1，可以想象进行 等分也依然为1，所以有：

下面换一种划分方式，以邻近的两个无理数作为端点划分区间，这些区间的端点的函数值必然为0，以区间长度为底，0为高，得到的矩形和为：

可见，对于 而言，不同的划分区间、不同的高的取法，会导致不同的矩形和：

3 黎曼和

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）是德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。在数学界搞风搞雨的黎曼猜想也是他的杰作。

基于对刚才两种情况：

• 抛物线下的曲边梯形

• 狄利克雷函数下的曲边梯形

的思考，看到不同划分带来的效果，黎曼先发明了黎曼和，进而定义了曲边梯形的面积，也就是定积分。

3.1 任意划分

不一定需要均分为 份，可以任意分割：

很显然用于分割区间的点符合：

令 ，那么集合：

称为 的一个划分。划分 定义了 个子区间：

称为第 1 个子区间，更一般的 被称为第 个子区间：

第 个子区间的长度为 ：

3.2 任意高度

对于某一个划分 ，在其第 个子区间内随便选一个数 ：

以 作为矩形的高：

那么矩形的高度也可以是任意的：

3.3 黎曼和

根据刚才的讲解，可以得到如下定义：

设函数 在 上有定义，在 上任意插入若干个分点：

这些分点的集合：

称为 的一个 划分。划分 定义了 个子区间：

它们的长度依次为：

在每个子区间 上任取选取一个数 ，以

为底， 为高构造矩形，这些矩形的和：

称为 在 上的 黎曼和 。

之前计算的 、 是黎曼和：

狄利克雷函数中划分出来的矩形和 、 也是黎曼和。

4 定积分

随着 的划分不断变细，所有子区间的长度趋于0时，黎曼和不断地逼近曲边梯形的面积：

这个过程的严格化如下：

设函数 在 上有定义，对于 上的任意划分 ， 为子区间 上任意选取的数，子区间 的长度为 ，记：

如果下述极限存在：

则称被积函数 在积分区间 上可积， 为积分下限， 为积分上限， 为 在 上的 定积分