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LeetCode 图解 | 37.解数独

吴师兄学算法 · 公众号 · · 2020-02-24 12:15

正文

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下面开始今天的学习～

今天分享一个LeetCode题，题号是37，题目标题是解数独，题目标签是散列表和回溯算法。

题目描述

编写一个程序，通过已填充的空格来解决数独问题。

一个数独的解法需遵循如下规则：

数字 1-9 在每一行只能出现一次。
数字 1-9 在每一列只能出现一次。
数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。

空白格用 '.' 表示。

一个数独。

答案被标成红色。

Note:

给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 '.' 。
你可以假设给定的数独只有唯一解。
给定数独永远是 9x9 形式的

解题

此题题目标签是散列表和回溯算法，但我觉得散列表换成直接寻址表更巴适。因为一个数独只有1~9的数字。

回到题目描述，一个数独的解法需要遵循以下规则：

数字 1-9 在每一行只能出现一次。
数字 1-9 在每一列只能出现一次。
数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。

使用直接寻址表，可以设计成

数字：Booleal类型[27个空间默认为False]

假设行的下标为i，列的下标为j，宫格的索引为k，某数字的i、j+9和k+18下标只能出现true一次，下次判断时出现同样的true就不满足一个有解的数独了。

下标i和下标j可以从行和列中直接获取，那宫格的索引k又如何获取呢？看下面图：

三下标的索引

k随着i变化和k随着j变化都有规律的，不多说，直接给公式：k = (int)(i / 3) * 3 + (int)(j / 3)。

要注意的是board二维数组保存的是字符，需换成相应的整数。代码如下：

boolean[][] address = new boolean[9][27]; // 默认false
for (int i = 0; i 9; i++) {
    for (int j = 0; j 9; j++) {
        if (board[i][j] != '.') {
            int index = board[i][j] - '1'; // board数组保存的是字符，需换成相应的整数
            // 宫格的索引
            int k = i / 3 * 3 + j / 3;
            // 记录某数字存放的位置
            address[index][i] = true;
            address[index][j + 9] = true;
            address[index][k + 18] = true;
        }
    }
}

得出来的address的值如下：

下标 : 值[一维数组]
0 : F T F F T F F T F F F F T T F F F T F T F F F T F T F
1 : F F F F F T T F F F F F F T F T F F F F F F T F F F T
2 : T F F T T F F F F F T F F F T F F T T F F F T T F F F
3 : F F F F T F F T F T F F T F F F F F F F F T F F F T F
4 : T T F F F F F T F T F F F F T F F T T T F F F F F F T
5 : F T T T F T T F F T T F F T F F T T T F T F T T T F F
6 : T F F F F T F F T T F F F T F F T F F T F T F F F F T
7 : F F T T T F T F T T F T T T F F T F T F F T T F F T T
8 : F T T F F F F T T F T F F T T F F T T T F F F F F T T

我在前几篇写过LeetCode第36号题，是直接使用散列表（哈希表）做这道题，文章的动画视频如下：

动画：散列表，也可以用直接寻址表表示

散列表和直接寻址表的区别，在于散列表保存的是键值对，直接寻址表保存的是值，键在数组的下标上，所以数据的键是比较好看的范围不是很大的，也是可以用直接寻址表的，如26个字母。散列表的时间复杂度和直接寻址表是同等的，都是为O(1)。

回溯算法和上一篇算法动画文章类似，可以传送到这篇文章回一下回溯算法代码的框架。

回溯算法在树底部会得出结果，相应地，满足结束条件会放在树底下。

动画：LeetCode17号题使用回溯算法

回溯算法要注重三个过程，第一个是找到需要满足的结束条件，第二找到选择路径，第三找到待选择列表。

第一个很简单，全部遍历这个数独就可以满足结束条件了，代码如下；

// 找寻空位置
while (board[i][j] != '.') {
    if (++j >= 9) {
        i++;
        j = 0;
    }
    if (i >= 9) return true; // 到这里说明数独已填入的数字是有解的
                             // 不能返回为空，返回为空会破坏掉已填入的数字 
}

第二个是在空格上选择路径，从待选择列表选择一个路径，但需要将待选择列表排除掉当前不满足规则的数字；

第三个是继续往下走时直到没有选择路径可选，在判断是否已经全部遍历这个数独了，如果没有需要回溯到其它路径上。

动画：有解数独使用回溯算法

Code

public void solveSudoku(char[][] board) {
    // 创建直接寻址表 记录某数字存放的位置 空间换时间
    boolean[][] address = new boolean[9][27];
    for (int i = 0; i 9; i++) {
        for (int j = 0; j 9; j++) {
            if (board[i][j] != '.') {
                int index = board[i][j] - '1'; // board数组保存的是字符，需换成相应的整数
                // 宫格的索引
                int k = i / 3 * 3 + j / 3;
                // 记录某数字存放的位置
                address[index][i] = true;
                address[index][j + 9] = true;
                address[index][k + 18] = true;
            }
        }
    }
    // 回溯算法，和dfs类似，dfs一般做遍历，没有回溯
    track(board, address, 0, 0);
}

private boolean track(char[][] board, boolean[][] address, int i, int j) {
    // 找寻空位置
    while (board[i][j] != '.') {
        if (++j >= 9) {
            i++;
            j = 0;
        }
        if (i >= 9) return true; // 到这里说明数独已填入的数字是有解的
    }
    for (int index = 0; index 9; index++) {
        // 宫格索引
        int k = i / 3 * 3 + j / 3;
        if (!address[index][i] && !address[index][j + 9] && !address[index][k + 18]) {