数学家已经证明：2025年的世界变得更小了（嗯？

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2025-01-07 14:25

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根据人们所熟知的六度分离理论， 你能够通过很少的熟人关系联系到世界上的任意一个人 。通常而言，人们普遍只生活在身边紧密联系的小朋友圈中。本文探讨了Stephen Strogatz和Duncan J. Watts提出的数学模型，该模型能帮助解释这个 小世界现象 。

六度分离理论 （six degrees of separation），或凯文·贝肯（Kevin Bacon）的六度理论，是一个已进入大众文化的数学概念。这个概念是指 地球上任何两个人有很大概率通过六个熟人建立联系 。它可以适用于你和英国国王、你和演员凯文·贝肯以及你和数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）。

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这一想法源于社会学家 斯坦利·米尔格拉姆 （Stanley Milgram）在20世纪60年代进行的一项实验。提起米尔格拉姆，更被众人所知的或许是他开展的 另一项更为危险的实验 。在这场实验中，“权威”要求参与实验的志愿者对扮演的测试对象施加“致命的电击”。米尔格拉姆希望通过这个实验理解 数千名“普通”德国公民为何会在大屠杀期间犯下骇人罪行 ，而实验结果相当令人惊讶：相当一部分被试这样做了。

实验人员（E）（有时会是米尔格拉姆）命令“老师”（T）电击“学生”（L），扮演“老师”的参与者被告知这样做真的会使“学生”遭受痛苦的电击，但实际上“学生”是实验的一名助手所扮演的。受试者相信“学生”每次回答错误都真的会遭受电击，但其实并没有真的施刑。在与受试者隔离以后，助手会提前布置好一台录音机，而该录音机则由“老师”的“电击产生器”所操控，并会根据电击程度而播出不同预制录音。图源：Fred the Oyster， CC BY-SA 4.0

相比之下， 米尔格拉姆的小世界实验远没有那么令人不快 。这个实验想研究我们许多人都经历过的事情：你在远离故乡的地方遇到一个人，令你惊讶的是，你发现你们竟然有共同的朋友或熟人。这种寻常经历引出了小世界问题： 能用一条熟人关系链把任何两个人联系起来吗？这样的关系链有多长？

为了研究这个问题，米尔格拉姆随机选择了 故乡远在内布拉斯加州（美国中西部）的居民 ，并要求他们通过朋友或熟人将一封信传递给 波士顿（美国东北部）的收件人 （米尔格拉姆当时在哈佛大学，就在波士顿的路上）。如果他们不认识收件人，就将信寄给熟人圈中他们认为更接近目标人物的那一位。虽然只有一小部分信件能够到达目的地， 但在到达的信件中，平均经过的熟人数量为6——六度分离理论由此诞生 。这个结果非常令人意外，以至于它启发了一部百老汇戏剧（创造了“六度分离理论”一词）、一部电影、一部电视节目，甚至一个慈善社交网络。

小世界性

今天，我们比以往任何时候都更加意识到， 生活是在网络上进行并通过网络传播的 ：不仅有 社交网络 ，还有 基础设施网络 ，如电网、水网和交通网络、计算机的 物理网络 和构成互联网的 虚拟网络 ，乃至于大脑神经元和细胞内代谢过程的 生物网络 。所有这些网络都是节点的集合——人、发电站、计算机或神经元——通过链接连接起来——友谊、电线、WiFi、互联网电缆以及神经连接。并且，以上所有网络似乎都表现出相似的结构。一方面， 节点之间的平均距离 （也就是一个节点到另一个节点需要经过的节点数） 往往很小 ；另一方面， 网络中也都有很多局部团簇 ：如果两个节点相互连接，它们各自连接到的节点往往也会彼此连接起来。这两个特征定义了数学家所说的 小世界网络 。

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为什么类似的小世界网络如此普遍存在于世界上？ 在社交网络中，自然会形成很多当地群体—— 朋友的朋友常常会成为朋友 。同时，熟人也可以在机场或度假时偶然结识，这会将距离较远的两个群体松散的联系起来。这种直觉可以在20世纪90年代末数学家史蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）和邓肯·J·瓦茨（Duncan J. Watts. Watts）开发的一个模型中描述出来。瓦茨的灵感来自他自己的经历，他来自澳大利亚，后前往美国康奈尔大学求学，在斯特罗加茨的指导下攻读博士学位。 他跨越半个地球的行为将两个原本相距遥远的群体联系在一起 ，即他在澳大利亚的朋友和康奈尔的朋友。

在尝试建立小世界网络模型的过程中，瓦茨和斯特罗加茨做了数学家最常做的事情。 他们从能找到的最简单的模型开始 ：一个由朋友关系构成的网络，其中的每个人只与指定数量的最近几个邻居是朋友。这样的网络是 高度聚集 的，但 对于一个足够大的网络来说，随机一个节点对之间的平均距离却非常长 。

随后，瓦特和斯特罗加茨开始修改这个邻居网络的连接方式。 他们随机选择一部分链接进行重新定向 ，方式是保持链接的一端固定，而另一端则连接到网络中随机选择的节点。由于网络中的大部分节点都不在任何一个最终连接到的节点的附近，因此 重新建立的链接很可能会连接起两个原本距离较远的团体，从而大大缩短它们之间的距离 。事实证明，只需一点点随机性的重连就足以缩短节点之间的平均距离，并且不会破坏已有的局部团簇：在原本平均距离很远的熟人网络之间 增加少量几条“捷径” ，就足以使他们的关系网络成为小世界。

Watts和Strogatz重新连接出了一个非常有序的网络，其中的节点只与最近的若干邻居是朋友。其他链接则被重新定向到图中的随机节点，只需进行几次这样的重新连接即可创建一个小世界。

在这种小世界网络模型中， 从一个节点到另一个节点的平均距离取决于网络中的节点数目和给定节点所连接的邻居节点数 。如果在重新连接时将随机性发挥到极致，我们会得到一个完全随机的网络：每个节点随机连接到个其他节点，两个节点之间的平均距离与成正比，其中是节点总数。但Strogatz和Watts发现， 并不需要在在初始“大世界”网络中随机重连太多次 ，就可以让节点对之间的平均距离 迅速下降到接近这个极限值 。

具体情景中的分离度

结合具体场景，当前世界人口约为 80亿 。如果 去掉15% 社交模式不典型的人（因为他们是婴儿、太过年长或在其他方面不符合普罗大众），则剩下 6,800,000,000人 。假设每个人平均有 35个熟人 （这是一个没有证据支撑的猜测），我们可以估算出世界上任意两个人在熟人关系定义下的平均距离为：

在用超级简单的数学成功解释小世界现象的几年后，瓦茨将他的数学知识带到了哥伦比亚大学社会学系，并在那成为了一名教授。2001年，瓦茨和他的同事开展了 现代版本的米尔格拉姆实验 ，这次使用的是 互联网 而不是慢吞吞的邮政系统。他们招募了来自166个不同国家的60,000多人，并安排了18位目标收件人，其中包括在美国的一名大学教授、在印度的一名技术顾问和在澳大利亚的一名警察。

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与以前一样，参与者被要求 将电子邮件（代替纸质信件）传递给他们认为更接近目标收件人的朋友或熟人 。考虑到未完成实验的比例，该实验再次发现， 到达收件人所需的电子邮件数目平均为6 。有趣的是，或许是因为线上社交平台让人们更容易彼此之间产生联系，对线上社交网络的研究得出了略有不同的数字，例如X约为 3.4 ，Facebook约为 4.5 ——看来 互联网确实让世界变得更小了 。