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【系列随笔16】量子力学中有多少常用的态II

邃瞳科学云 · 公众号 · · 2025-03-09 11:31

正文

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量子力学中有多少常用的态 II

郝维昌

北京航空航天大学物理学院

Fock 态（ Fock State ）：

Fock 态，表示具有确定粒子数（如光子数）的量子态，粒子数确定的态，即量子化的能量本征态。其本征方程为

根据升降算符的递推关系，可以得到 Fock 态的真空态表示

利用

与升降算符的关系

引入无量纲的正交分量算符

利用产生湮灭算符的对易关系

，计算可得，在 Fock 态正交分量和的平均值和方差。

对于真空态 n=0

方差的定义

，因此

由此可见真空态是最小不确定态，其量子涨落称为 量子噪声极限 。上面的计算表明 Fock 态的正交分量不确定度随粒子数增加而增大，这与其确定的粒子数和完全随机的相位特性一致。

相干态（ Coherent State ）：

相干态是动量 - 坐标不确定性最小的状态 ^[1] ，相干态的期望值满足经典力学的谐振子运动方程；相干态是时间演化过程中波包保型的状态；相干态是光场探测效率最高的状态，也是正好是描述激光效应的状态。

相干态 |α ⟩ 定义为湮灭算符的本征态，本征值为 α ：

相干态的 Fock 态表示为：

定义相干态的生成算子

因此

其中

生成算子作用到波函数上表示波函数移动 q 距离，因此生成算符又被称为位移算符

若相干态 |α ⟩ 作为系统基态，则 t 时刻波函数

这个函数正好描述了一个质心做简谐振动的不扩散波包

图 1 相干态描述了质心做简谐振动的不扩散波包 ( 图源于维基百科 )

利用

与升降算符的关系

坐标算子和动量算子的平均值为

因此位移和动量的平均值为

显然

相干态是量子力学海森堡并不确定性原理等号成立的状态，即噪声达到量子极限但无法进一步降低。通常将相干光的量子噪声起伏（方差）称为 散粒噪声基准 。在相空间中位置和动量的涨落均相等，无方向性压缩。相干态满足最小的不确定关系，相干态也是波包随时间演化保型的状态。 1963 年 Grauber R J 等人寻求相干性好的状态时发现这一状态正好描述了激光的效应。

压缩态（ Squeezed State ）：

压缩态（ Squeezed State ）是量子力学中的一种特殊量子态 ^[2] ，其相空间分布在一个方向上被压缩，同时在正交方向上被拉伸，但总体仍满足海森堡不确定性原理。与相干态（相空间中呈对称圆形分布）不同，压缩态的不确定度分布呈现椭圆形，使得某一物理量的涨落（噪声）低于标准量子极限，而共轭量的涨落增加。压缩态通过压缩算符

作用于真空态 |0 ⟩ 或相干态生成：

其中是 |0 ⟩ 真空态， |α ⟩ 是相干态，

是平移算符

压缩算符为

其中

， r 是压缩参数， θ 为压缩角，表示相空间的压缩方向。

利用

与升降算符的关系

为了简化计算引入无量纲的正交算符

考虑压缩真空态，并简化ζ 状态取位实数，即 ζ=r

计算

：

首先求变换后的算符。压缩算符对

的变换为（通过 Baker － Campbell － Hausdorff 公式导出）：

对于

：

利用

：

所以

类似

因此

图 2 相空间中各种光场的噪声分布 (a) 真空态（红）及相干态（蓝） (b) 正交振幅压缩真空态（红）及压缩相干态（蓝）

这显示压缩态能够让一个量的不确定性变小，同时另一个量的不确定性增大，符合量子力学的非经典特性。压缩态通过调整 r 的正负，在 X 和 P 方向上实现不确定性的压缩，同时保持乘积为最小值。使得某一物理量的涨落（噪声）低于标准量子极限。引力波的测量装置 LIGO （ Light Interferometer Gravitational-wave Observatory ）是人们用来探测引力波的光干涉仪。它能探测到的干涉臂的长度变化达到了 10 ^-19 m 的级别。这个疯狂的精度级要求是 LIGO 在利用了光场的压缩态来降低量子噪声实现的。