关于任意自然数倒数表为两个自然数倒数差的解集
作者：李骏
假设对任意自然数n，它可以表示为
1/n = 1/a
–1/b （1）
其中a,b为两个自然数,本文将讨论这个不定方程的解集并给出解数的一般计算公式.
引理1
设自然数n的互素的因子对的集合为M，而（1）式的解集为N；则N由M决定，或者说N与M之间是一一对应的，所以|N| = |M|.
证明：设a,b为 1/n = 1/a–1/b的一个自然数对解，a,b的最大公约数（a,b）= r，令
a =ra
1
b=rb
1
则 1/n = 1/[r(1/a
1
–1/b
1
)]
或 n = ra
1
b
1
/(b
1
-a
1
) （2）
因为b
1
-a
1
不能整除a
1
b
1
否则
因(a
1
,b
1
)=1，则有（b
1
-a
1
）| a
1
或
(b
1
-a
1
)| b
1
这都将与(a
1
,b
1
)=1矛盾.
所以 必有(b
1
-a
1
)|r
从而 （2）式可表为 n = ka
1
b
1
, k=r/(b
1
-a
1
)
因而 a
1
,b
1
是n的因子，且由（a
1
,b
1
）= 1可得出 a
1
,b
1
∈ M
就是说，N中的任意一个a,b 都可以找到一个对应的 a
1
,b
1
∈M
另一方面，对于任意的 a
1
,b
1
∈M，我们可以构造一个(1)的解。
a
1
,b
1
最小公倍数 [a
1
,b
1
] = a
1
b
1
/(a
1
,b
1
)=a
1
b
1
，而显然n是a
1
,b
1
的一个公倍数，所以有 a
1
b
1
|n
不妨假设b
1
> a
1
，令k=(b
1
-a
1
)n/(a
1
b
1
)，a=ka
1
, b=kb
1
，则有
1/a-/1/b = (b
1
-a
1
)/(ka
1
b
1
)=1/n
这样 a,b∈N
综上，N与M之间可以建立一一对应关系，
所以|N| = |M|
证毕.
引理2
设自然数n的因子分解式为
，其中
为不同的素因子，
为对应指数，则n的互素因子对的集合M的元素个数|M|=
（3）.
证明：我们对素因子个数t用数学归纳法.
t=1
，的时候n只有一个素因子，不妨设
，则显然n的素因子对只能是
这
个
，
因此
成立.
假设对t=m-1 (3)式成立.那么当t=m时，n 多了一个素因子
，相应指数是
.
考虑n的全部素因子对集合M，可以分成三部分组成.
第一部分M
1
不含任何因子
，相当于t=m-1的情形，由假设|M
1
|=
第二部分M
2
包含素因子
，由于要求互素因子对，所以因子对中只可能有一个包含
，而
M
2
={
任何第一部分M
1
中n的因子对中某一个因子乘上某个
}
这样，一共有
种组合.
第三部分M
3
，仅由
这样的因子对组成，一共有
种组合.
显然 M
1
，M
2
，M
3
两两相互的交集为空,
所以|M| = |M
1
|+|M
2
|+|M
3
|
=
=
=
因此，对于t=m假设也成立.
综上,对于任意的因式分解，即对于任意自然数n，（3）都成立.
证毕.
定理1
设任意自然数n，(1)式的解集为N，则
|N| = 1/2（d(n
2
)-1）
，其中d()为
Dirichlet
除数函数.
证明：设
n
的因子分解式为
，其中
为不同的素因子，
为对应指数，
则
根据Dirichlet除数函数定义
由引理1,2即可得证.
例子．
1.
n=60
因为 60 = 2
2
*3*5
所以解数为 1/2[(2*1+1)(2*1+1)(2*1+1)-1] = 22
2.
n=16
因为16 = 2
4
所以解数为 1/2[(2*4+1)-1] = 4
3.
n=7
解数为 1/2[(2*1+1)-1] = 1
4.
n=6000
6000 = 2
4
*3*5
3
所以解数为 1/2[(2*4+1)(2*1+1)(2*3+1)-1] = 94
注：关于(1)的解，实际上可以由引理1中的方法,由n的互素因子对全部构造出来。
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