一道小学数学题，放网上2年没人做出来，你试试看？

关于任意自然数倒数表为两个自然数倒数差的解集

作者：李骏

假设对任意自然数n，它可以表示为

1/n = 1/a–1/b   （1）

其中a,b为两个自然数,本文将讨论这个不定方程的解集并给出解数的一般计算公式.

引理1 设自然数n的互素的因子对的集合为M，而（1）式的解集为N；则N由M决定，或者说N与M之间是一一对应的，所以|N| = |M|.

证明：设a,b为 1/n = 1/a–1/b的一个自然数对解，a,b的最大公约数（a,b）= r，令

a =ra₁b=rb₁

          则 1/n = 1/[r(1/a₁–1/b₁)]

或 n = ra₁b₁/(b₁-a₁)           （2）

因为b₁-a₁不能整除a₁b₁ 否则

因(a₁,b₁)=1，则有（b₁-a₁）| a₁ 或 (b₁-a₁)| b₁ 这都将与(a₁,b₁)=1矛盾.

所以 必有(b₁-a₁)|r 

从而 （2）式可表为  n = ka₁b₁, k=r/(b₁-a₁)

因而 a₁,b₁是n的因子，且由（a₁,b₁）= 1可得出 a₁,b₁ ∈ M

就是说，N中的任意一个a,b 都可以找到一个对应的 a₁,b₁∈M

    另一方面，对于任意的 a₁,b₁ ∈M，我们可以构造一个(1)的解。

          a₁,b₁最小公倍数 [a₁,b₁] = a₁b₁/(a₁,b₁)=a₁b₁ ，而显然n是a₁,b₁的一个公倍数，所以有 a₁b₁|n

不妨假设b₁> a₁，令k=(b₁-a₁)n/(a₁b₁)，a=ka₁, b=kb₁，则有

1/a-/1/b = (b₁-a₁)/(ka₁b₁)=1/n

这样 a,b∈N

综上，N与M之间可以建立一一对应关系，

所以|N| = |M|

证毕.

引理2 设自然数n的因子分解式为，其中为不同的素因子，为对应指数，则n的互素因子对的集合M的元素个数|M|=（3）.

证明：我们对素因子个数t用数学归纳法.

t=1，的时候n只有一个素因子，不妨设，则显然n的素因子对只能是 这个，

因此成立.

    假设对t=m-1 (3)式成立.那么当t=m时，n 多了一个素因子，相应指数是.

考虑n的全部素因子对集合M，可以分成三部分组成.

第一部分M₁不含任何因子，相当于t=m-1的情形，由假设|M₁|=

第二部分M₂包含素因子，由于要求互素因子对，所以因子对中只可能有一个包含，而

M₂={任何第一部分M₁中n的因子对中某一个因子乘上某个}

这样，一共有种组合.

第三部分M₃，仅由这样的因子对组成，一共有种组合.

显然 M₁，M₂，M₃两两相互的交集为空,

所以|M| = |M₁|+|M₂|+|M₃|

=

=

       =

因此，对于t=m假设也成立.

综上,对于任意的因式分解，即对于任意自然数n，（3）都成立.

证毕.

定理1设任意自然数n，(1)式的解集为N，则|N| = 1/2（d(n²)-1），其中d()为Dirichlet除数函数.

证明：设n 的因子分解式为，其中为不同的素因子，为对应指数，

则

根据Dirichlet除数函数定义

由引理1,2即可得证.

例子．

1.  n=60

因为 60 = 2²*3*5

所以解数为 1/2[(2*1+1)(2*1+1)(2*1+1)-1] = 22

2.  n=16

因为16 = 2⁴

所以解数为 1/2[(2*4+1)-1] = 4

3.  n=7

解数为 1/2[(2*1+1)-1] = 1

4.  n=6000

6000 = 2⁴*3*5³

所以解数为 1/2[(2*4+1)(2*1+1)(2*3+1)-1] = 94

注：关于(1)的解，实际上可以由引理1中的方法,由n的互素因子对全部构造出来。

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