从化圆为方到选择公理

化圆为方，与三等分角、倍立方体并称古希腊三大几何作图问题。给定一个圆，它要求我们用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形。这个坑一挖开，从古希腊到现在不断有人往里跳。

直到解析几何的出现，人们才从根本上证明了这个问题的不可能性：化圆为方相当于作出 π 的平方根，但尺规作图只能进行四则运算和开平方，对作为超越数的 π 无能为力。

但这并不能阻挡某些“数学爱好者”的脚步。至今仍有人往这个大坑里跳，而且摔得乐此不疲。

化圆为方问题，本质上就是要求作 π 的平方根。

有人跳坑，也就肯定有人耍点小聪明绕道而行。达·芬奇这位聪明人就想了一个很简单的办法：假设圆半径为 r，造一个半径为 r 高度为 r/2 的圆柱体，它的侧面面积恰好就是 πr^2 。接下来就好办了，用绳子把圆柱体的“腰围”和“身高”量一下，放到纸上形成一个矩形，然后用直尺圆规来将这个矩形化为正方形就好了。

这个方法相当狡猾，用“度量”的方法巧妙避开了“作出 π 的平方根”这个问题。当然，在欧几里德这些希腊人的眼中，这种方法只是取巧，因为一来不精确，二来太犯规，用了直尺圆规以外的工具。即使用直尺和圆规来度量也不行，尺规作图的规定就是，直尺只能拿来画直线，圆规则是画圆，它们不能有“度量”的功能。

那如果我们用更基本的东西来完成任务呢？比如说将圆切成几块，然后拼成一个正方形？那虽然不能说是“尺规作图”，但在某种意义上比尺规作图更基本，不是吗？

数学家塔斯基（Alfred Tarski）在 1925 年提出的，正是这样一个挑战。用更精确的数学语言来说，就是要求把平面上的单位圆盘分割成有限块，每一块是一个点集，然后通过平移和旋转这些保持面积的方法，将这些点集拼成面积相同的正方形。怎么分割都无所谓，甚至是没办法做出来的分割也可以，唯独是“有限块”这种限制不能去掉。如果能分割成无限块的话，那就太简单了，只要把单位圆盘“磨成细末”，每一块都只有一个点的话，那别说是拼成正方形，就是拼成一幅对联也问题不大。即使是犯规，也是有底线的。

这乍听起来是个很无理的问题。别的先不说，要把圆变成正方形，总要先处理那弯弯的圆周吧？看起来无论怎么切，只要是有限块，那恐怕也不能将弯曲的边界拗成直线。实际上，可以证明，如果只用剪刀这样的工具的话（从数学上来说就是如果每一块的边界都是简单闭合曲线的话），这个任务是不可能做到的。但是，原来的题目中也没有限制只能用剪刀。只要是“点集”，无论是否连在一起，都符合要求，所以希望还有，不过就是更“犯规”一点而已。

在 1990 年，匈牙利数学家拉兹柯维奇（Miklós Laczkovich）终于肯定地解答了塔斯基的这个问题。他证明了这样的先割后补的“化圆为方”方法是存在的。美中不足的是，他并没有实际给出一个割补的方法，而只是证明了这样的方法存在，而且粗略估计需要将圆切成大约 10 的 50 次方个点集。而更为犯规的是，这些点集是没有面积的。这些点集甚至不是面积为 0，而是我们根本无法定义它们的面积。在数学上，这些无法定义面积的点集叫不可测集。为了定义这些集合，拉兹柯维奇在证明中大量使用了选择公理，这是定义不可测集的唯一方法，也是令我们不能明确构造分割方法的原因。 [注1]

尽管现在大多数数学家都会自然地运用选择公理和它的各种变种，但在 20 世纪初，公理集合论起步伊始之时，是否允许使用选择公理曾经是热门的争论话题之一，直接与针对数学基础的第三次数学革命扯上了关系。整场风波围绕着一个问题：什么是可以被接受的数学推理？这场关于数学基础的争论持续了几十年才慢慢平息下来。其中也产生了一些饶有趣味的结果，比如说同样利用选择公理，我们可以将一个球分成几个不可测集，然后用这几个不可测集拼成两个和原来相同大小的球！尽管在直观上很难接受，但在数学上这的确成立。这个定理叫巴拿赫-塔斯基悖论，这位塔斯基正是提出上文中问题的那位塔斯基。

巴拿赫-塔斯基悖论：可以把一个实心球分成有限块，然后重新拼成两个和原来一模一样的实心球。

如果提出尺规作图化圆为方问题的希腊人来到今天，看到这个犯规的割补法竟然与数学推理的基础有着联系，他们会做何感想呢？

[注1]：关于不可测集与选择公理，可以参见木遥在科学松鼠会上的文章 长度是怎样炼成的 （链接：http://songshuhui.net/archives/13698）

作者：方弦

排版：一真

题图来源：123RF

来源：果壳