本文主要围绕牛顿力学展开，首先介绍了经典力学的目标与牛顿力学的基础框架，包括从简单公理构建的数学框架及其应用条件。接着阐述牛顿运动定律的内涵，如第一定律强调惯性参考系的存在，第二定律给出运动方程并说明其核心地位及相关特性。还探讨了惯性参考系与伽利略相对性原理，包括其变换形式、群的构成以及所反映的宇宙特性，同时提及绝对时间概念。此外，对牛顿力学在宇宙学中的情况进行了说明，最后展望了牛顿力学在极端情况下的局限性以及被其他理论框架取代的情形，为深入理解牛顿力学及其在物理学中的地位和发展脉络提供了全面的引导。
牛顿力学
经典力学是一个雄心勃勃的理论。它旨在预测未来、回溯过去，确定宇宙中每一个粒子的运动历程。
在本课程中，我们将讲授由伽利略和牛顿所构建的经典力学的基础知识。牛顿从几条简单公理出发，构建了一个功能强大的数学框架，该框架足以解释诸多现象，从行星的轨道到潮汐的运动，再到基本粒子的散射等，不一而足。在将这一框架应用于任何具体问题之前，只需要一个输入条件：力。有了力这个条件，接下来就只是进行数学推导以揭示后续会发生什么了。
我们将从探究牛顿力学的框架入手开启本课程，理解它的公理以及它所能揭示的宇宙运行方式。随后，我们会进一步研究世界上存在的诸多作用力。幸运的是，大自然是仁慈的，作用力的种类少得出奇。而且，许多已知的作用力都具有特殊的性质，从中我们将看到诸如能量和守恒定律等新的概念应运而生。最后，针对每一种作用力，我们都会进行数学操作。我们会多次进行这样的操作。通过这些操作，我们将看到经典力学是如何解释我们周围大量的现象的。
尽管牛顿力学取得了巨大的成功，但它并非理论物理学的定论。它在极端情况下会表现得力不从心，比如在极小、极重或极快的情形中。我们会在课程结尾介绍狭义相对论，当粒子（指点状物体）速度与光速可比时，狭义相对论就取代了牛顿力学。我们将会看到，我们关于时空的常识性观念是如何被更复杂、更美妙的概念所取代，并且还会带来令人意想不到的结果。例如，对运动物体而言，时间会变慢；长度会缩短；质量不过是能量的另一种形式。
归根结底，经典力学的框架未能实现其描述宇宙中每一个粒子的运动历程的宏大目标。然而，它为后续的所有理论奠定了基础。牛顿力学的某些观点在后来更为高深、复杂的物理学理论中没能留存下来。甚至连看似最基本的力的概念也被弃之不用了。相反，我们在后续学习过程中将会遇到的其他概念，尤其是能量这一概念，走到了前沿。不过，所有后续的理论都是建立在牛顿力学的基础之上的。
而且，过去300年的发展证实了或许是伽利略和牛顿留下的最重要的遗产：自然规律是用数学语言书写的。这是人类文明的伟大洞见之一。它引发了科学、工业和技术革命。它为我们提供了一种审视宇宙的新方式。最为关键的是，这意味着预测未来的能力掌握在数学家手中，而非诸如占星师之流的手中。在本课程中，我们将迈出掌握这一能力的第一步。
牛顿运动定律
经典力学主要研究的是粒子的运动。我们先来明确一个定义。
粒子是尺寸极小的物体。这意味着，如果你要描述一个粒子在给定时刻的状态，唯一需要指明的信息就是它的位置。
”
在本课程中，我们会把电子、网球、下落的猫以及行星都当作粒子来处理。在所有这些情形下，这意味着我们只关注物体的位置，例如，我们的分析没办法描述下落的猫脸上是什么表情。然而，对于像一只正在旋转、喵喵叫的复杂物体（比如猫），我们能否合理地给它指定一个单一的位置，这一点并非显而易见。我们应该把它的位置描述成尾巴尖的位置还是鼻尖的位置呢？我们暂时不会回答这个问题，但会在第5节再探讨它，届时我们将证明，如果着眼于物体质心的运动，任何物体都可以被当作点状粒子来处理。
笛卡尔坐标系要描述一个粒子的位置，我们需要一个参考系。这涉及原点的选取以及一组坐标轴的选择，目前我们选取笛卡尔坐标系。相对于这个参考系，粒子的位置由一个矢量（我们用粗体字来表示它）来确定。由于粒子是运动的，其位置取决于时间，于是粒子的运动轨迹可用
来描述。在本讲义中，我们也会同时使用和这两种记法来描述粒子的运动轨迹。
粒子的速度定义为：
在本讲义中，我们通常会用变量上方加一个“点”来表示对时间的求导。所以我们也会写成。粒子的加速度定义为：
关于矢量求导的说明 矢量的导数是通过对其各个分量分别求导来定义的。因此，如果
那么
从几何角度来看，路径的导数与该路径相切（这一事实你们会在矢量微积分课程中学习到）。
在本课程中，我们将研究矢量微分方程。这些应被看作是三个相互耦合的微分方程——每个分量对应一个方程。我们会经常遇到需要对矢量的点积和叉积进行求导的情况。如果我们对每个分量运用链式法则，这些运算的含义就很容易理解了。例如，给定两个关于时间的矢量函数和，我们有：
以及
和往常一样，点积中各项的书写顺序无关紧要，但对于叉积我们必须更加小心，例如。
牛顿定律
牛顿力学是一个能让我们确定粒子在任何给定情形下的运动轨迹的理论框架。这个框架通常以被称为牛顿运动定律的三条公理呈现，内容大致如下：
- 第二定律：粒子的加速度（更确切地说，是动量的变化率）与作用在它上面的力成正比。
虽然尝试构建作为物理学定律基础的公理是很有意义的，但上述这种平淡、极简的表述稍显不足。例如，乍一看，第一定律似乎只是第二定律的一种特殊情况。（如果力消失了，加速度也就消失了，这等同于说速度是恒定的）。但事实要更微妙一些。接下来，我们将更深入地探究牛顿力学背后真正的内涵。
惯性参考系与牛顿第一定律
置于历史背景下来看，亚里士多德认为，如果不受外力作用，物体自然会趋于静止。出于对亚里士多德观点的反驳，牛顿希望强调第一定律是可以理解的。正如伽利略此前所认识到的那样，物体的自然状态是以恒定速度运动。这就是惯性定律的本质所在。
然而，如今我们已不受任何亚里士多德学说的束缚了。我们真的还需要第一定律吗？答案是肯定的，但它略有不同的含义。
我们已经介绍过参考系的概念：它是一个笛卡尔坐标系，我们借此来测量粒子的位置。但对于大多数你能想到的参考系而言，牛顿第一定律显然是不正确的。例如，假设我用以测量的坐标系正在旋转，那么，在我看来所有物体似乎都在绕着我旋转。如果我在我的坐标系中测量一个粒子的轨迹为，那么即便我让这个粒子不受外力作用，我肯定也不会得到的结果。在旋转的参考系中，粒子不会做匀速运动。
可以看出，如果希望牛顿第一定律能够成立，那我们就必须更谨慎地选择所讨论的参考系类型。我们将惯性参考系定义为这样一种参考系：当作用在粒子上的力消失时，粒子会以恒定速度运动。换句话说，在惯性参考系中
那么，牛顿第一定律的真正内涵可以更好地表述为：惯性参考系是存在的。
这些惯性参考系为后续的所有内容提供了背景设定。例如，我们马上要讨论的第二定律就应当在惯性参考系中进行表述。
确保处于惯性参考系的一种方法是确保自身不受外力作用：飞到外太空深处，远离引力及其他影响，关闭引擎然后静止在那里。这就是一个惯性参考系。不过，在大多数情况下，将你所在房间的坐标轴当作惯性参考系就足够了。当然，这些坐标轴相对于地球是静止的，而地球既绕自身轴旋转，又绕太阳旋转。这意味着地球并不能完全算作一个惯性参考系，我们将在第6节研究这一情况所带来的影响。
伽利略相对性原理
惯性参考系并非唯一的。给定一个惯性参考系，在其中粒子的坐标为，我们总能通过以下变换的任意组合来构建另一个惯性参考系，在该参考系中粒子的坐标为：
- 旋转变换：，这里是一个满足的矩阵。（如果，这也包含了反射变换，不过我们主要关注的是连续变换）;
很容易证明所有这些变换都能将一个惯性参考系映射到另一个惯性参考系。假设一个粒子相对于参考系做匀速运动，即。那么，对于上述的每一种变换，我们也会得到，这就表明该粒子在参考系中同样做匀速运动。换句话说，如果是一个惯性参考系，那么也是。这三种变换生成了一个被称为伽利略群的群。
上述三种变换并非是能在惯性参考系之间进行映射的唯一变换。但在大多数情况下，它们是唯一值得关注的变换！其他的变换形如（其中），这不过是对坐标进行一种简单的缩放。例如，我们可能在参考系中选择以米为单位来测量距离，而在参考系中以秒差距为单位来测量距离。
我们已经提到过牛顿第二定律要在惯性参考系中进行表述。但重要的是，具体选择哪个惯性参考系并不重要。实际上，对于所有的物理定律来说都是如此：它们在任何惯性参考系中都是一样的。这就是相对性原理。构成伽利略群的这三种变换定律能将一个惯性参考系映射到另一个惯性参考系。结合相对性原理，每一种变换都在向我们传达关于宇宙的一些重要信息：
前两点并不太令人意外：位置是相对的；方向是相对的。第三点或许需要更多的解释。首先，它告诉我们不存在所谓的“绝对静止”状态。你只能相对于其他物体处于静止状态。尽管这是事实（并且在后续的物理定律中依然成立），但说宇宙中不存在特殊的速度并不准确，光速就是特殊的。我们将在第7节看到这是如何改变相对性原理的。
所以位置、方向和速度是相对的，但加速度不是。你不需要相对于其他物体才有加速度的概念。简单地说自己在加速或者没有加速是完全合理的。实际上，这让我们又回到了牛顿第一定律：如果你没有加速，那么你就处于一个惯性参考系中。
相对性原理通常与爱因斯坦联系在一起，但实际上它至少可以追溯到伽利略时期。1632年，伽利略·伽利雷在他的著作《关于两大世界体系的对话》中，伽利略让萨尔维亚蒂这个角色谈到了速度变换（推进变换）的相对性： “把你和一些朋友关在一艘大船甲板下的主舱里，带上几只苍蝇、蝴蝶和其他一些小飞虫。准备一大碗水，里面养几条鱼；挂一个瓶子，让里面的水一滴一滴地滴入下方的一个宽口容器里。当船静止时，仔细观察那些小动物如何以相同的速度向船舱的各个方向飞行。鱼向各个方向随意游动；水滴落入下方的容器里；而且，当你向朋友扔东西时，你朝任何一个方向扔出的力度都无需更大，只要距离相等就行；双脚并拢起跳时，你向各个方向跳过的距离也相等。当你仔细观察完所有这些现象后（当然，当船静止时，一切必然是这样发生的），让船以你喜欢的任何速度匀速行驶，只要运动是平稳的，没有忽左忽右的晃动就行。你会发现上述所有现象丝毫没有变化，而且你也无法从其中任何一个现象判断出船是在行驶还是静止着。”
绝对时间
在上述讨论中，我们还隐含了一个最后的问题：时间坐标的选取。如果处于两个惯性参考系和中的观测者确定了用以测量持续时间的单位（比如秒、分钟、小时），那么他们剩下的唯一选择就是何时开始计时。换句话说，和中的时间变量仅相差：
这有时也被包含在构成伽利略群的那些变换之中。
这种在所有惯性参考系中都能以相同方式度量的统一的时间，被称作绝对时间。在我们讨论狭义相对论时，还得重新审视这一概念。和其他伽利略变换一样，改变时间原点的这种能力反映出了物理定律的一个重要性质。基本物理定律并不关心你何时开始计时。所有证据都表明，当下的物理定律和过去是一样的，它们具有时间平移不变性。
宇宙学
值得注意的是，宇宙本身并不遵循伽利略变换中的若干规则。宇宙中存在一个非常特殊的时刻，大约在137亿年前。那就是大爆炸发生的时刻（宽泛来讲，“大爆炸”的意思是“我们不清楚当时这里发生了什么情况”）。
同样，存在一个惯性参考系，在这个参考系中，宇宙的背景是静止的。这里的“背景”指的是充斥着整个宇宙、温度为2.7开尔文的光子海洋，也就是人们所知的宇宙微波背景辐射。它是宇宙在早期时填满整个空间的火球的余晖。不同的惯性参考系相对于这一背景处于运动状态，对辐射的测量结果也有所不同：在你行进的方向上，辐射看起来更偏蓝，而在你后退的方向上则更偏红。存在一个惯性参考系，在这个参考系中，这种背景辐射是均匀的，也就是说在各个方向上颜色都相同。
然而，就我们目前所知，宇宙并没有确定一个特殊的点，也没有确定一个特殊的方向。它在很大程度上是均匀且各向同性的。不过，值得强调的是，这种关于宇宙学的讨论丝毫不会使相对性原理失效。无论你处于哪个惯性参考系中，所有的物理定律都是一样的。大量证据表明，在宇宙的遥远区域，物理定律也是一样的。在大爆炸后的最初几微秒内，物理定律和现在是一样的。
牛顿第二定律
第二定律是牛顿力学框架的核心内容。它就是著名的“”，该定律告诉我们当粒子受到力作用时，其运动是如何受到影响的。第二定律的正确形式为：
这通常被称作动力学方程。括号中的量被称为动量，这里是粒子的质量，更确切地说，是惯性质量。它衡量的是粒子在受到给定的力作用时，对改变自身运动状态的抗拒程度。在大多数情况下，粒子的质量不随时间变化。在这种情况下，我们可以把第二定律写成更为常见的形式：
在本课程的大部分内容中，我们都会使用运动方程的这种形式。不过，在第节中，我们会简要探讨几种质量随时间变化的情况，那时就需要用到更通用的这种形式了。
在任何情形下，若不知道力是什么，牛顿第二定律实际上并不能告诉我们任何东西。我们将在下一节描述几个相关的例子。一般来说，力可能取决于粒子的位置以及速度，但不取决于任何更高阶导数。原则上，我们也可以考虑包含显式时间依赖的力，即，不过在本讲座中我们不会涉及这方面内容。最后，如果有多个（相互独立的）力作用在粒子上，那么我们只需将这些力相加，放在式的右边即可。
关于牛顿方程最重要的一点在于，它是一个二阶微分方程。这意味着只有当我们给定两个初始条件时，才会有唯一解。通常选取的这两个初始条件是在某个初始时刻的位置以及速度。然而，究竟要选择什么样的边界条件来确定运动轨迹，这取决于你试图解决的具体问题。例如，为了确定运动轨迹，有时需要同时指定初始时刻和末时刻的位置，这种情况并不罕见。
运动方程是二阶的这一事实蕴含着关于宇宙的深刻意义。从本质上讲，它适用于所有其他物理定律，无论是量子力学、广义相对论还是粒子物理学。事实上，所有初始条件必须成对出现——对于问题中的每个“自由度”都有两个初始条件——这一点对后续经典力学和量子力学的构建都有着重要影响。
就目前而言，运动方程是二阶的这一事实意味着：如果你得到某个情形的一个瞬时状态，并被问及“接下来会发生什么？”，那么仅靠这些是无法知晓答案的。仅仅知道粒子在某个时刻的位置是不够的；你还需要知道它们的速度。然而，一旦这两者都确定了，系统在未来所有时间的演化就完全确定了。
展望：牛顿力学的有效性
尽管牛顿运动定律对许多现象能给出极佳的近似描述，但在极端情况下，就会发现它存在不足。大体而言，牛顿物理学在以下三个方面需要用不同的理论框架来取代：
(1)当粒子的运动速度接近光速（米/秒）时，牛顿的绝对时间概念就不再适用，牛顿定律需要修正。由此产生的理论被称为狭义相对论，我们将在第7节进行阐述。正如我们将会看到的那样，尽管在狭义相对论中时空关系发生了巨大变化，但牛顿力学的大部分框架依然完好无损。
(2)在非常小的尺度下，需要进行更为彻底的变革。在这里，经典力学的整个框架都失效了，以至于最基本的概念，比如粒子的轨迹，都变得不明确了。适用于这些小尺度的新理论框架被称为量子力学。不过，仍有一些物理量是从经典世界延续到了量子世界，特别是能量和动量。
(3)当我们试图描述粒子间相互作用力时，我们需要引入一个新概念：场。它是关于空间和时间的函数。常见的例子就是电磁学中的电场和磁场。在本课程中，我们不会过多讨论场的相关内容。目前，我们只提及一点，那就是支配场的动力学方程始终是二阶微分方程，在本质上与牛顿方程类似。正因如此，场论又被称作“经典”理论。
最终，狭义相对论、量子力学以及场论的思想被融合进了量子场论。在这里，连粒子的概念都被纳入到场的概念之中。这是目前我们所拥有的用于描述周围世界的最佳框架。不过，我们有点说得太超前了。让我们首先回到牛顿力学的世界中来……
