【物理数学】数学之恋

Don  Zagier／文    林开亮／译

一个著名的匈牙利数论专家曾给出如下的定义：

数学家就是将咖啡转化为定理的机器。¹

然而在我们波恩的研究所里并不缺乏数学家和定理，好的咖啡倒是很难得，因此我有时禁不住设想，我们数学家是不是可以做相反的事情。这就是说，存在着那些忍不住将咖啡转化为定理的人，而对另一些人，仅仅是思考数学就是纯粹的折磨！我稍后将来谈到后一点。然而，首先我要来看看其它问题 ：数学是什么？当今数学又是什么样子，我们做数学能得到什么？数学何以是优美的？我们如何将数学的乐趣传递给其他人，包括非数学家。

数学是何种类型的活动？

问数学是什么这个问题看起来也许是幼稚的，但这其实是一个很难回答的问题，而且哲学家已经为此艰难思索了好几个世纪。康德在他的《纯粹理性批判》的开头甚至问，怎么可能有纯数学？其他科学可以用它研究的对象来定义 ：天体、生物、人际关系，如此等等。对数学而言，情况并非如此简单。首先，数学并不总是研究相同的对象。数、代数公式、解析函数、几何结构当然是它研究的一些东西，但还有许多其

它东西也在考察范围内；而且严格说来，数学思想其实是对结构的一般性研究，而不是对预先指定的对象的个别研究。然而，问题甚至更为复杂 ：很难说清楚我们所研究的对象究竟位于何处。这些对象是内在的还是外在的，主观的还是客观的，仅仅出现在我们的脑海中还是存在于现实世界的某个地方？换言之，数学家的工作究竟是创造数学还是发现数学？

在支持“发现”的这一方面，我们首先有这样的事实：数学结果可以被“客观地”验证：数学家对一个定理的证明，只要没有错误，就可以使得其他所有数学家都信服。支持客观性的另一个论证是，不同的数学家研究同一个数学问题时，不论他们的性格与个人品味如何迥异，他们总会得到相同的答案。最后，对整体文明我们也可以说同样的话，因为不同的文明通常各自独立地发展出相同的数学。二次方程的求根公式、“毕达哥拉斯定理”（当然并非所有的地方都这么称呼）、开立方根的算术都曾被许多不同的古代文明发现过。

然而，同样你也可以为“创造”的观点来论证。首先，有一个纯主观的论证：数学家通常感觉到他们创造了一些属于他们的东西。其次，不同的数学家由其个人品味与经验研究那些如此不同的问题，从而得到如此不同的成果，以至于在许多情形，数学家可以根据其数学定理来识别。同样的，不同的文明有时会采取完全不同的数学路线，最终产生其独有的特殊类型的数学。例如，希腊人创造并强调了证明的观念，而经常做出相同发现的中国人往往将他们的结果表述为算法或计算口诀的形式。作为另一个例子，我们可以提及埃及人，像其他古代文明一样，他们发展起有理数（分数）的计算——这可以应用于经济、测量、天文等领域，但是以一种非常奇特的方式：不是将分数写成分子1/n与分母的商，他们只允许使用单位分数并将所有分数都表示为这种单位分数之和；更有甚者，他们只允许出现不同的分母，例如他们将2/5写作1/3+1/15，而不是1/5+1/5。

那么，数学活动究竟是发现还是创造呢？对大多数数学家而言，二者兼而有之。在任何时刻，对每一个问题，从公理和已经的结果出发，存在着大量可能的推导，恰如在围棋游戏中的每一局面可以引出许多种可能的走法一样。在某种意义下，所有这些推导“已经在那里”，但你需要不断地作出选择，正是这些不同的选择体现了数学家个人的能力、品味和性格。法国数学家古斯塔夫 •肖盖  (Gustave  Choquet)对此有一个漂亮的说法：数学家所寻求的定理自远古以来就存在了，但为了发现它，你必须要创造出一条路径。

数学：是艺术还是科学？

一个同样古老的相关问题是，数学究竟属于艺术还是科学？同样的，两种观点都可以得到辩护。在支持“艺术”这方面，也许我们首先可以提到的事实是，数学经常出现在艺术（在艺术这个词的通常意义下）中。在建筑方面，我们只需要想一想金字塔、帕台农神殿与克里斯多佛•雷恩（Christopher  Wren）、勒•柯布西耶（Le Corbusier）等建筑师设计的作品。在音乐方面，我们可以想到巴赫（Bach）、莫扎特（Mozart）和阿诺德•勋伯格（Arnold  Schoenberg）的作品；在绘画方面，我们想到阿波切特•丢勒（Albrecht  Dürer）或列昂纳多•达•芬奇（Leonardo  da  Vinci）的作品。然而，数学也有其固有的优美：我们也许可以想到五种正多面体（图 1）——这是自柏拉图（Plato）以来就知道的；或者更近一点的有美丽的分形图（图2），想必许多读者都曾见过的。

图 1 被称为柏拉图固体的正五面体

图 2 美丽的分形图

然而，当我们谈到数学的“艺术”方面时，我们很少想到数学与其它艺术之间的关系，不论这是何等的有趣，我们所想到的是，数学本身就是一门艺术。数学这门艺术中涉及的美学标准并不一定是视觉上的漂亮——虽然在柏拉图立方体和分形的例子中是如此，而是要抽象得多：精炼、简单、清晰的思想以及绝对具有说服力的论证。对非数学家而言，这些标准看来也许更像是智力上的而非美学上的，但在数学领域内工作很长一段时间的人无一不会培养起这种感觉。几乎所有的数学家都使用诸如“漂“和“优美”这样的词，而且事实上他们更频繁地用到这些词，而不是听起来更为科学的“正确”或“可信”。而且，更为有趣的是，对数学之美的这种感觉看来通常是引导数学家走出数学迷宫的最佳指南。艺术家根据美学标准可以作出他或她的选择（我应该写什么，我应该画什么，我应该谱什么曲子）。而科学家几乎从未有这种奢望，因为我们不能奢望大自然总是作出取悦于人类的选择，科学家必须忠于现实。数学介于两者之间：在做数学时坚持美学标准绝非必要，某个问题的正确解未必总是最漂亮的，但结果显示，在绝大多数情形，正确的数学路径正是从美学的观点来看最完美的那一条。当你想做出好的数学时，没有比找出最优美的解更好的一般策略了。

因此，数学很容易被视为一门艺术。然而，也有很令人信服的论证支撑另一个观点，即数学是一门科学。事实上，数学所具有的某种客观性很少为其它科学达到 ：数学的结果是有绝对保证的，因为它被证明过，而它的发现一经作出就永远不会过时 ——当然，后来的发展也许会引进一些新的面貌，但绝不会改变其真理。我们甚至可以说，从某种角度看，数学比其它科学更为“科学”，因为它对世界的偶然性的依赖更小。社会学和心理学依赖于当前存在的人类社会，生物学依赖于曾在地球上进化过的生物，甚至化学和物理学也依赖于我们所在的宇宙部分的自然定律；而数学，从某种角度来看，是绝对的。

当今数学

这里我只谈三个方面：当前的数学研究、数学的应用、计算机的影响。大多数人也许不知道，数学家仍然开展着许多研究，甚至会惊讶地发现，原来数学中还有许多历经了多年仍未可知的东西。事实上，每年我们都会得到成千上万个新定理，同时我们也继续解决着悬疑了几十年甚至上百年的老问题。近期的一个著名的例子是费马大定理的证明，它在  1637年提出，直到1995年才被安德鲁•怀尔斯（Andrew Wiles）证明。这样的例子还有许多²。在一百多年的研究之后，终于在1976年找到了所谓的四色定理的一个证明，该定理断言，一个不论何等复杂的地图，只需要四种颜色，就可以染色使得相邻的区域有不同的颜色（图 3）。开普勒猜想——断言装球的最紧方式是按金字塔的方式，就像市场上堆放橙子那样——在几年前也得到了证实。最近，三位印度数学家提出了检验一个大数是素数还是合数的第一个快速方法。然而，数学家不仅解决古老的问题，同时也不断地发现新的（例如在代数几何与数论之间的，拓扑与数学物理之间的）联系、甚至是全新的数学领域，例如分形理论、混沌理论、复杂度理论。

图 3四种颜色涂成的中国地图

关于数学的应用，最惊人的方面在于，它很少是计划的产物，而是在那些与应

用也许并没有明显关系的领域意外地出现。已经一次又一次地表明，恰恰是最纯的数学——那些因为其优美而研究出的数学、表明了如此完美的内在和谐并因此而愉悦了其发现者的数学——提供了科学或技术中一个重要问题的关键。因此，如果非欧几何和抽象矩阵演算没有被那些并不知道其潜在应用的数学家在更早的时候发展起来，也许就不会有  20世纪的两个最伟大物理学发现——相对论和量子力学。在我们日常生活使用的技术中也充满了这样的例子：倘若没有数学逻辑和布尔代数中非常抽象的发展，计算机是难以预想的；素数理论为对电子银行至关重要的密码学提供了新方法，拉东变换的极其成熟的几何理论为X线断层摄影术提供了基础，这一技术对于医疗诊断是不可或缺的；而所谓的“模糊数学”可以让洗衣机变得没有噪音，也可以使坐在高速列车上的乘客在列车拐弯时喝咖啡不会溢出。

最后，我将简单地谈谈计算机对当今数学的影响。这个影响比我们通常所认为的要小，计算机对数学家的取代程度，要小于打字机对作家的取代程度。计算机只是工具。虽然如此，计算机无疑极其有用。首先最明显的一点是 ：计算机可以完成冗长的数值或代数计算，而这些计算也许是人所无法完成或根本不愿意完成的 ；而且计算机对于模拟复杂系统来说是不可或缺的。但是，计算机的用处远不止于这一点。第一 ，为了发现或检验数学命题需要进行实验，计算机使之成为可能。当然，过去的数学家例如欧拉、高斯或黎曼为了发现新结果做了许多数值实验³ ，而计算机的无可匹敌的高速度大大增强了应用这种研究方法的可能性。当今数学中的许多深刻的猜想就是通过这种方法被提出的。更有甚者：计算机不仅使得实施冗长的计算成为可能，而且也可以给出复杂的证明。一个著名的例子是上面提到的四色定理的证明 ：它是基于一种复杂的策略，包括两千多个情形的分类讨论，因此可以通过给计算机编程用一种纯机械的方式检验解决。最后，从某方面讲，计算机的存在改变了我们的数学思维方式，即，计算机对算法和有效性的概念赋予了比以往更大的重要性。

作为结束，我想简短地谈谈数学何以带给我们如此多的乐趣。头脑中立即出现的一个回答——毫无疑问有其正确的成分——是，解决困难的问题非常有趣。除此之外，还有之前提到的审美感觉，即在阅读别人的工作或自己作出的发现中所见识到的结果和论证之漂亮与优美，所激发起的快乐。然而，在我看来，给我们数学信徒最大满足的是，能够不借助任何外在手段来证明“一小块真理”、能够洞窥到自然的一点神秘的特殊感觉。作为一个简单的例子，我们回顾一下很久以前欧几里得所表述的关于存在无穷多个素数的证明：

假定只存在有限多个素数，例如2,  3, 5一直到31。将所有这些素数2, 3,  5,…, 31全部乘起来，并给乘积加上1。该运算得到的结果将不被2, 3,  5,…,    31中的任何一个数整除，事实上，余数必定是1。然而，就像任何其他数一样，该数必定要么是素数，要么被一个更小的素数整除，这就与我们先前的假定矛盾，因为它不在我们所列的那有限多个素数里。

在如此简短的阐述之后，不论你是否能够理解这个论证的所有细节，我确信你必定看到我们取得了一些绝非平凡的成就：我们从一个问题出发（素数究竟只有有限多个还是有无限多个？），这个问题对作为人类的我们来说其实本来是无法回答的问题，因为我们只能研究很少的有限的一部分素数，然而，在很少的几句虽然有些微妙的话语里，我们找到了答案并以无可辩驳的方式证明了它。“来自内部”同时又描述了外部世界的一些东西的数学，是唯一一门能够通过纯粹思考 ——换言之，好像就是通过从其自身内部观察——发现（甚至证明）真理的科学⁴。能够如此做真是一种美妙的感觉。

我已经给出了理由以说明何以数学能够给某些人如此强烈的喜悦感。但这只对某些人才确实成立：数学不是人人都喜欢的。例如，与美食或优美的音乐不同，几乎所有人或多或少都能欣赏——尽管有的人更有激情而有的人则并不热衷，而数学对大多数人会激起很不相同的感觉：那些曾发现它是何等迷人的人会永远为之神魂颠倒 ；而大多数人都无法体会到数学与乐趣之间的任何联系。这里我不打算探讨这一现象的根源所在，虽然在这方面已经有一些非常有趣的研究。但非常明显的是，其根源主要是文化方面的，而且对数学存在潜在热情的人群比例比通常认为的要高得多。

图 4神奇的莫比乌斯带

主要的问题在于，大多数人从未见识过“真正的”数学，中小学数学讲授的数学几乎总是应用于日常生活或科学的一系列秘诀。它很少关乎数学的“优美”。然而，为了理解这个优美，你首先必须遇到它：如果你从未听过一支乐曲，你怎么能想象出音乐之优美？幸运的是，让非数学家遇到“真实的”数学是完全可能的。例如，可以通过我们前面提到的柏拉图正多面体，或者是欧拉公式e^iπ＋ 1＝0；或者是通过拉格朗日定理，它断言每个正整数可以写成四个完全平方数的和；或者是通过神奇的莫比乌斯带，它只有一个面和一条边（图4）。依我之见，看看这类对象有助于激发许多人对数学的兴趣，特别是那些从未感受到这一点的人，无论是年长的还是年少的。而这当然就是本文的目标所在 ：让你邂逅“美妙的”数学。

注：

¹ 很多人都认为此话出自保罗   •埃尔德什（Paul Erds），但实际上原创是阿尔弗雷德 •瑞尼(Alfrédő Rényi)——译者注

² 特别的，应该提及本世纪初俄罗斯数学家格里高利•佩雷尔曼（Grigori Perelman）对庞加莱猜想的证明——译者注

³ 为了表述一个关于素数分布的猜想，高斯计算了前  10万个素数（或是促使这一计算完成），该猜想直到他逝世 40年之后才被验证，黎曼也是通过数值计算发现了他的著名猜想。

⁴ 现在这个观点通常被称为“柏拉图主义”，源于柏拉图《美诺》，在那里苏格拉底用一系列聪明的问题引导一个未受教育的奴隶男孩理解并证明了以正方形的对角线为边长的正方形的面积是原正方形面积的两倍。尽管柏拉图从中引出了极其奇怪的结论说，该男孩有不朽的灵魂，而这里只是简单地回忆起前世的一个证明。