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作者 | 蒋迅
本文发表在《数学文化》第9卷第2期，作者为蒋迅，好玩的数学获作者授权发布，特此感谢！
>>上篇回顾《立交桥布局中的曲线之美 (上)》
4.涡轮型立交桥
第三种立交桥叫涡轮型（
Turbine
）。也有人把它称为涡流型（
whirlpool
）。这是环状型立交桥的一个变形，在山区等地形复杂的地方往往有用武之地。比起苜蓿叶型，它少了一些交错，比起环状型，它又少了一些起伏，所以是道路设计者的一个理想的选择。最漂亮的例子大概是在美国佛罗里达州的洲际公路I-295上的一个涡轮型立交桥（见图7(b)），其对称性近乎完美。
图7.(a) 涡轮型立交桥的布局。
图7. (b) 佛罗里达州的一个涡轮型立交桥。
为了帮助读者理解这种立交桥的名字的来源，我们特地找了一个涡轮机叶片的例子和一个水的涡流的例子（图8）。
图8.(a) 涡轮机的叶片。
图8.(b) 水的涡流。
数学上最接近于这种类型立交桥的曲线应该是螺线了。螺线的种类有很多，比如阿基米德螺线、等角螺线（对数螺线）、双曲螺线、费马螺线、欧拉螺线、对数螺线等等。用哪种螺线来与此类交汇相比都不为过。下面我们用斐波那契螺线（
Fibonacci spiral
）来展示。欧拉螺线也很有意思。我们希望有机会另文介绍。斐波那契螺线又叫做黄金螺线（
golden spiral
），是对数螺线的一个特殊情况。在极坐标系中，对数螺线的方程是
或
其中 e 是自然对数的底，θ 是极角，r 是极半径，a 和 b 为螺线常数。常数 a 代表的是螺线初始时的半径，常数 b 代表的是增长因子。用参数方程，上述方程变为：
斐波那契螺线就是让增长因子与黄金分割数 φ 挂上钩。具体地说就是当 θ = π/2（或者 -π/2）时，半径增加的倍数正好是 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618。即：
对数螺线是自然界中常见的螺线。对数螺线有许多漂亮的性质，比如对数螺线是自我相似的，经放大后可与原图完全相同；对数螺线之臂的距离以几何级数递增；对数螺线上任意一点与原点连线与其本身形成一个褂讪的角；等等。除此之外，斐波那契螺线还有一个特殊的性质：给任意四个共线的点 A, B, C, D，分别是当角度为 θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π时对数螺线上的点。那么有交比等式：(A,D;B,C) = (A,D;C,B)。在所有对数螺线中，这个性质只在斐波那契螺线时成立。
用
和
制作斐波那契螺线也很方便。下面分别是用这两个软件得到的四条有不同起始点的斐波那契螺线。
图9. 四个斐波那契螺线的叠加。
5.风车型立交桥
风车型（
windmill
）立交桥类似于涡轮型立交桥，只是拐弯处比较急，使得它的效率比起涡轮型降低了很多。荷兰在1977年建设了这样一条高速交叉路口，这是它建成后的样子。后来这个路口被改造，已经变得非常复杂。
图10.(a) 风车型立交桥的布局。
图10.
(b) 荷兰建成的一个风车型立交桥。
风车型这个名字显然来自于风车的形状。它的四个左转路很像是风车的四个叶片。下面是在奥地利雷茨市的一个古老的风车（图11(a)）。
图11.(a) 位于奥地利的一个风车。
图11.(b) 纸风车。
下面左图是用
制作的风车的图案。图案的方程是：
建议读者在
上用不同的 a 和 b 的值来看看将会得到什么曲线。结果一定让你惊讶。
我们还可以从追踪曲线（
pursuit curve
）问题来得到类似风车的图案。追踪曲线是由追踪特定曲线轨迹一个或多个点所形成的曲线。追踪曲线中有类似被追踪者及追踪者的角色，追踪者形成的曲线即为追踪曲线。有一个特殊的追踪问题是说，在正方形的四个顶点上各有一个轨迹，每个点又是追踪相邻顶点轨迹的追?曲线，也被另一边的相邻顶点所追踪。这个问题又叫做“老鼠问题”（
mice problem
）。这四条曲线就形成了我们这里考虑的风车。这个追踪曲线也可以用
做出来，不过比较复杂一点。下面的图12(b)就是在
上做来的。
图12.(a) 用三角函数画出的风车。
图12.(b) 追踪曲线（
）
图12.(c) 追踪曲线（
）
Wolfram
有一个网页专门介绍这个问题。上面图12(c)是其效果图。
6.环岛型立交桥
高速公路上环岛型（
roundabout
）立交桥是由三层道路组成：两个垂直的道路和一个在中间一层的匝道。主要干道上的交通不受管制。所有需要转弯的车辆都右转上匝道，然后真正需要右转的从第一个路口出去，需要左转的车辆从第三个路口出去。下面是荷兰的一个三层环岛型立交桥（图13(b)）。
图13.(a) 环岛型立交型的布局。
图13.(b) 荷兰的一个三层环岛型立交桥。
从数学上看，在所有类型的立交桥当中，最缺少数学曲线之美的就是环岛型立交桥了：它不过是一个直角坐标系加一个单位圆。为统一起见，我们也把它的方程列在这里。单位圆的极坐标方程为
r=1
，直角坐标方程为
x
2
+ y
2
=1
，参数方程为
如果觉得这个太不过瘾的话，我们也可以联想一下其他数学概念。在抽象代数里，直和（
direct sum
）一般是用符合⊕来表示。例如，假定 R 是实数空间，那么直和 R⊕R 就是XY平面 R
2
。这个概念在抽象代数里发挥了重要作用。在数学形态学（
Mathematical morphology
）里，⊕是膨胀算子。另外，在天文学和占星学中，⊕代表地球。
7.混合型立交桥
在实际的规划设计中，大量的立交桥是上面五种桥型的变异和混合。将苜蓿叶型和环状型结合起来就得到了环状苜蓿叶型（
CloverStack
）。它不但可以拥有环状型立交桥的优点，造价也相对便宜。在苜蓿叶型上增加集散道（
cloverleaf with collector/distributor roads
）就解决了主干道上车流受干扰的麻烦。也有一半涡轮型和一半环状型的混合型（
Turbine-stack hybrid
），部分苜蓿叶型（
Parclo
），钻石型（
Diamond
），分道排球型（
Divided volleyball
），U形转弯型（
U-turns
），等等。我们不再一一介绍。
图14. 各种混合型和改进型立交桥
近年来，由于收费的需要，还发展了双喇叭型（
double-trumpet
）立交。我们也略去不谈。
8.立交桥和凯尔特结
所有的标准立交桥都有一个共同的特点：它们都具有多条交织的、畅通无阻的和具有一定对称性的曲线。在这一点上，立交桥很像凯尔特结（
Celtic knot
）。凯尔特结是一种由连续不断的缎带组成的结和程式化的图案，它们创造出精美复杂的曲线阵列（
比如篮子编织结
）。这些结被用于装饰基督教的纪念碑和文稿。凯尔特结作为凯尔特文化中的重要标志历来深受欧洲人的喜爱。
图15. 凯尔特结的两个例子。
上图的第二个凯尔特结是一位叫
Xah Lee
的写手上了颜色的，目的就是让人们可以清楚地看清结的走向。事实上，整个中间的十字架都是一条缎带。使用不同颜色是为了让读者看清路径，否则整条结都是一个颜色了。这这里，我们注意到凯尔特结的几何布局多样匀称和连续贯通。我们同样应该注意到凯尔特结的拓扑结构。总之，凯尔特结的这两个方面与高速公路的均匀性、对称性和连通性有着惊人的相似之处。对凯尔特结的数学性质研究似乎不多，但已经证明，凯尔特结和交错结（
alternating knot，即有交错的投影图
）是等价的。
也许有读者会注意到，凯尔特结很多用在了十字架上，而这个结构与前面提到的环岛型立交桥很像。这的确是事实，而且专门有一个词就是凯尔特十字（
Celtic cross
），描述的就是这类凯尔特结。但不幸的是，凯尔特十字被一个已被禁止的新纳粹党所采用，故德国政府禁止这个标志的公众展示。其政治和公众上对此标志的禁止是为了防止纳粹主义的复苏。我们也只好在此回避把凯尔特十字与本文的主题联系起来。
9.右转匝道的情况
以上的讨论都是关于左转的情况。右转的匝道一般都是钻石型的。在下面的图16(b)里，左转和右转都使用了钻石型，所以是全钻石型（
full diamond
）。
图16.(a) 钻石型立交型的布局。
图16.
(b) 美国俄克拉荷马市的一个全钻石型立交桥。
这种钻石型的立交桥可以对应于数学上的星形线（
astroid
）。星形线的直角坐标方程是
x
2
/3 + y
2
/3 = a
2
/3
，极坐标方程是
r = a(cos2/3θ + sin2/3θ)3/2
，参数方程是：
星形线是一个几何亏格为0的代数曲线的实数轨迹，其方程式为：
(x
2
+y
2
-a
2
)
3
+27a
2
x
2
y
2
=0
。因此，星形线为六次曲线，在实数平面上有四个尖瓣的奇点，分别是星形线的四个顶点，在无限远处还有两个复数的尖瓣的奇点，四个重根的复数奇点，因此星形线共有十个奇点。
星形线是一个特殊的超椭圆（
superellipse
）。超椭圆是指满足方程
