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作者
：祁本章 (中山大学)
邮箱
：[email protected]
编者按
：本文主要摘译自下文，特此致谢！
[
1] Ai C, Norton E C. Interaction terms in logit and probit models[J]. Economics letters, 2003, 80(1): 123-129. -PDF-
[
2] Norton E C, Wang H, Ai C. Computing interaction effects and standard errors in logit and probit models[J]. The Stata Journal, 2004, 4(2): 154-167. -PDF-
目录
1. 引言
2. Ai 和 Norton (2003)
2.1 线性模型交互项
2.2 非线性模型交互项
2.3 推导与估计
3. Norton 等 (2004)
3.1 Logit 模型
3.2 Probit 模型
4. Stata 命令
5. 应用实例
5.1 Logit 模型应用
5.2 Probit 模型应用
6. 总结
7. 参考资料
8. 相关推文
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1. 引言
学者通常会使用交互项来估计某个变量对自变量和因变量间关系的影响。并且，这种交互项估计也更多停留在线性模型下，对于非线性模型，学者在应用上仍存在较大误区。为更好理解交互项、以及其在 Logit 和 Probit 模型中应用，本文将简要介绍 Ai 和 Norton (2003)、Norton 等 (2004) 的论文。在此基础上，具体介绍 Stata 相关命令和案例应用。
2. Ai 和 Norton (2003)
2.1 线性模型交互项
在线性模型中，对交互项系数的解释是直接的。设连续因变量
依赖于两个自变量
和
，它们之间的交互项
，一个包含与
和
无关的常数项的附加自变量向量，以及
是未知参数。如果
和
是连续的，自变量
和
的交互效应是
的期望值的交叉导数。等式如下：
如果
和
是二分的，那么
和
从 0 到 1 变化的交互效应可以通过取离散差得到。等式如下：
如果
独立于
和
，那么自变量
和
的交互作用对于连续和离散交互变量都是
。交互效应的统计显著性可用系数
的单次
检验进行检验。
2.2 非线性模型交互项
非线性模型和线性模型不同，例如，除了因变量
是虚拟变量，其他均类似于上例的模型。因变量的条件平均值为：
其中，
是标准正态累积分布。假设
和
是连续的，交互项
的交互效应是
期望值的交叉导数。结果如下：
然而，大多数应用经济学家计算的是交互项的边际效应，即：
很明显，
不等于真正的交互效应。
这些方程对于非线性模型有四个重要的含义：
即使
=0，交互效应也可能是非零的。而对于
的 Probit 模型，交互效应为：
交互效应的统计显著性不能用交互项系数
的简单
检验来检验；
与线性模型中的交互作用不同，在一个非线性模型中，单个不可分割变量的交互效应是以自变量为条件的；
对于不同的协变量值，交互效应可能有不同的符号。因此，
的符号并不一定表示交互效应的符号。
2.3 推导与估计
为了更好地改进应用计量经济学者的实践，论文中推导了一般非线性模型中交互效应的大小和标准误差的公式。这些公式很容易应用于 Logit、Probit 和其他非线性模型。
设
表示原始因变量，向量
为自变量的
向量，所以
，给定
的
的期望值为：
其中，函数
到
已知，并且是两次连续可微的。让
表示差分算子或导数算子，这取决于回归系数是离散的还是连续的。
本文的重点是通过计算交叉导数（或差分）来发现交互效应，而不仅仅是通过观察交互项上的系数。
和
对
的交互效应是：
其估计值设为：
为
的一致估计量，
的连续性和
的一致性确保了
对
的一致性。而对于估计值
的标准误，通过 Delta 方法可得公式如下：
而
的渐进方差的一致估计为：
是
的一致协方差估计。
统计量为
，且在某些正则条件下，
统计量具有渐近标准正态分布。对于给定的
，使用
统计量检验交互作用效应等于零的假设。这些公式包括许多常用模型，包括 Logit、Probit、Tobit、删失回归模型、带正态误差的对数变换模型、计数模型和持续时间模型。
3. Norton 等 (2004)
3.1 Logit 模型
在 Logit 模型中，
是常见的 Logit 累积分布函数：
当交互作用变量都是连续变量时，交互效应是相对于
和
的交叉导数：
当交互变量均为虚拟变量时，交互效应为离散双差：
当一个连续变量和一个虚拟变量相互作用时，相互作用效应是单个导数 (相对于
) 的离散差 (相对于
