一套1400页的少儿科普书，竟让数学大师王元一口气读完，还写下万字感言

经朋友推荐，我在最近读了贵州人民出版社出版的一套“汉声数学图画书”(简称“汉声”)。这套书共41册，约1400页，通俗易懂且图文并茂，寓知识于日常生活常识，甚至游戏之中，读之趣味盎然，所以我一口气就读完了。

这套书是由18位美国数学家或数学教育工作者分头撰写的，并配有一些生动的图画。汉声杂志将它翻译成中文时，作了一点小改动，例如将美元图象换成了人民币图象。

这套书讲的概念，虽然有些已经涉及到中学乃至大学的数学内容，但小学生仍然是可以接受的，所以 读者范围除小学生外，中学生与大学生，中小学老师，甚至专业数学家也可以看看 ，至少可以从中知道怎样将一个数学概念讲给小朋友及外行听听。

这套书的内容包括介绍数学的重要概念；讲解一些数量常识和智力游戏；及数学的应用(统计)。重点应该是数学概念的讲解。现在，我对这三方面作一点简要介绍。

1. 正整数或自然数是数学的基础，但人们是什么时候开始使用数字的呢？

没有人知道。但它是经过很长的一段日子，才发展出来的！最早的阶段可能是 配对 。例如，一颗石子配一头牛，数石子即可知出门时有几头牛，回家时有没有丢失。第二个阶段可能是 三个概念 ：“一样多”， “比较少”，“比较多”。第三个阶段则是 命名 ，这也可能是从配对来的。例如“二” 对应于两个耳朵，两双眼睛，“五”对应于五个手指，“十”对应于两只手的手指，数字的第四阶段是 排序 ，第五阶段为 数数 ，这也是一种高级配对，即一组数字配一堆东西。

整数分成偶数与奇数。例如，鞋子是成对的，2，4， 6，……都是偶数。1个蓝球队由5个队员组成，5是一个奇数，1，3，5，……都是奇数。日常生活中充满了偶数与奇数。

零是一个重要的数，它不只是没有，例如零是所有测量的起点。用磅称来称东西前，磅称的指针指向零，放上东西后就指向它的重量了。又如火箭发射，发射时，喊五，四，三，二，一，“发射”，发射就是“零”，如果再喊一，二，三，四，五就是继续计算发射后的时间。这里也带出了负数的概念，发射前减的五，四，三，二，一，其实就是-5，-4，-3，-2，-1。再如温度计，它的刻度有零度，零上的温度是正的，零下的温度是负的。这些正负数与零可以用数轴表示出来，它们的加减法也是非常直观与自然的。

我们在计数时必需用到零。例如102表示百位是1，十位是0，个位是2，在日常生活中，也处处都能感受到零与负数。

乘法是相同数的连加，这样就有了乘法表，就可以将计算化简了。除法是分出来的，例如十二个苹果，分给三个人，问每个人分几个？略为估计一下，每人先分三个，于是还剩三个，每人再分一个就分完了。每人总共分得四个苹果， 即12÷3=4。

什么是分数呢？分数也是分出来的。如半杯水，半张饼，这就是两份中的一份，也就是1/2。我们还可以在一张画有圆与矩形的纸上，将圆与矩形都分成相等的四份取其中的三份，这就是四分之三，即3/4，这些在日常生活中，都是常见的。

这些内容都含于小学算术课程内，易于了解。参见“汉声”第1，2，3，4，5，7，11，22册。

2. 数学的另一基础是几何，直线是最常见的，例如书桌的边沿或一本书的一边的无限延长。

平行线是两根直线，它们无论怎样延长都不相交，例如带有横条的笔记本，每一行的空间都是由两条平行线拼成的，又如一张长方形纸，将一对对边对折一下，再将折痕用笔画出来，它与长方形的两条对边一起，就是三条平行线。再来看看一张方桌的相邻两边，它们构成一个角，方桌共有四个角，它们彼此是相等的。这时，相邻的两边的一边就称为另一边的垂线，或它们彼此垂直。

其次，我们看到的直线，只是这根直线的一段而已，即一个线段。所谓线段就是直线上两点之间的部分。过一点的两条直线形成一个角，称为它们的夹角，如果这两条直线互相垂直，则称它们的夹角为直角。

在一张纸上画三个点，记为A，B，C，假定它们不在一条直线 上，将A和B，B和C，及C和A连接起来，构成一个三角形，记为△ABC，它有三条边AB，BC，CA；有三个顶点A，B，C，每个项点都有一个角。如果有一个角为直角，则称为直角三角形；有两边相等的三角形称为等腰三角形：三条边均相等的三角形称为等边三角形。

类似地，过平面上四个点，其中任何三点都不在一条直线上，将这四个点依次连接起来，可得一个有四条边，四个角的图形，我们称它为四边形。如果四边形有一对对边平行，则称为梯形；四条边均相等，则称为菱形；如果四边形的四个角均为直角，则称为矩形；若矩形的四条边均相等，则称为正方形。当然正方形也是菱形。

我们还可以画出边数多于4的多边形。

将两条直线线段重叠在一起，并将各自的一个端点重合起来，就可以比出它们的长短，同样可以比出两个东西的高矮与宽窄。

另一个重要的图形就是圆，硬币，碗口，车轮子等都是日常生活中常见的圆。但怎样在纸上画出一个圆来呢？固定一个点，称为圆心。将圆规的一只脚钉在圆心上，另一只脚上装有铅笔，画一圈即得一个圆。由作图可知圆周上每一点与圆心的距离都相等，这段距离称为圆的半径，过圆心面一条直线，它与圆交于两点A，B，这两点之距离等于半径2倍，称为直径。直径与圆周上另外任意点C构成一个三角形△ABC。量一下就可知角C恒为直角。若将圆规的针头放在圆周的任意点A上，以圆的半径再画一圆，它与圆周交于B，再以B为中心画一圆， 它与圆周交于C，如此等等。第六个交点就是开始的点A。将这六个点依次连接起来，就得到一个正六边形。

这些内容基本上都含于小学算术之中，易于了解。参见“汉声”第6，8，9， 14， 16， 24册。

3. 将三角形的两边叠合对折起来，这条折线平分了这两条边的夹角，我们称这条折线为角平分线。

用折纸法即可知三角形的三条角平分线总是交于一点的，而且这个点总在三角形之内。再拿一个圆规，将圆心钉在这个交点上，我们总可以画出一个正好套进三角形的圆。具体地说，这个圆在三角形内，且与三角形的三条边相切，所谓相切是说，四与三角形的每条边都只相交于一点，而不是两点。

在一张纸上，将一条线段的两个端点叠合对折起来得到的直线，与原来的线段垂直，称为线段的中垂线。用折纸法可知三角形的三条边的三条中垂线总是交于一点的。这一点可以在三角形之内，也可以在三角形之外。以这个交点为圆心，我们总可以画一个正好套住三角形的圆。具体地说，这个圈过三角形的三个顶点。

所谓三角形的一条中线是指从三角形的一个项点至它的对边之中点的连线。用折纸法可以得到三角形的三条中线。这三条中线也交于一点，称为三角形的“重心”，以一张硬纸板，剪下三角形，再用一个图钉在下面顶住重心，三角形应该是平衡的。

虽然上面这些知识需在中学的平面几何课或解析几何课中学到，但用折纸法，小学生也能了解这些现象。

参见“汉声”第15册。

4. 什么是椭圆?

在日常生活中，椭圆是常常见到的，例如，当正看一个玻璃杯口时;它是圆形的，如果将杯子慢慢倾斜，杯口就逐渐变扁，变成了另外一个形状——椭圆，又如从远处看桌子上的一个碟子，或从墙边看墙上的挂钟，都是椭圆形的，但从桌边去看碟子，或从正面去看挂钟，就都成为圆形了。圆是椭圆的特例。

如何在纸上画出一个椭圆来呢?我们将两个图钉钉在一张纸上，用一根绳圈围住这两个图钉，用把支铅笔放在绳圈内，紧拉着绳圈绕着图钉移动，绕圈后，就画出一个椭圆来了。图钉所钉的点就是这个椭圆的两个焦点。

更进一步，我们还可以在一间黑暗的房间里，用一个手电筒来照墙。当正射墙壁时，出现了圆的光圈，当手电简稍作倾斜，光圈就变成椭圆形了:当手电筒倾斜到某一个角度后，椭圆会裂开，形成“抛物线”。如果继续倾斜手电筒，抛物线就越变越尖，这个形状叫“双曲线”。再倾斜手电筒，双曲线会变成两条相交的直线。

椭圆，抛物线与双曲线统称“圆锥曲线”。这是中学解析几何课的主要内容，但上面这些直观的讲授与实验，小学生是可以接受的。

参见“汉声”第31册。

5. 有一个故事"葛小大的一生"：星期一刚出生，星期二上教堂，星期三娶新娘，星期四侧在床，星期五快完蛋，星期六上天堂，星期日已下葬。葛大小这一生是怎么回事呢?

这里实际上是一个有限数系的循环现象：1，2，3，4，5，6，7；1，2，3，4，5，6，7；……。星期一到底是哪一个星期一?星期二又是哪一个星期二? ……。但有一点是明确的，即假定今天是星期二，我们将它记为1，如果n天之后再是星期二，则n-1必定是7的倍数，即用7可以除尽n-1，我们将这一情况记为n-1≡0 (mod7)，或n≡1 (mod 7)，称为n与1模7是同余的。

同余这个概念在日常生活中是常见的。例如时钟每隔12个小时就开始循环，如此循环不已。

同余是大学初等数论课开始的内容，但上述这些讲述对于学过除法的小学生是可以接受的。

参见“汉声”第10册。

6. 使用通常的阿拉伯数字记数，用10个数字记号0，1，2 ，…，9就够了，为什么用10个记号?

这很可能是由于人有10个指头，这就是我们熟知的十进位记数法。小孩子开始学算术四则运算时，也是借助于手指来帮忙的。

但记数法不一定要十进位，例如中国的老秤，1斤等于16两，这里的两与斤的关系就是16进位，这表明10是可以换成另一个整数的。

在电脑设计中，我们是通过电子开关来传递信号与处理数的，每一个电子开关都只能接受“开”与“关”的信号。这样用两个记号0(关)与1(开)最方便，在这里用的就是二进制。

关于二进制，有两个故事可以启发小孩子的想象力：我们将1米放大一倍为2米，再放大一倍为4米，继续放大一倍为8米，如此等等，放至第26次，其长度即够地球的赤道之长。放至第30次，即超过地球至月球的距离了。另有一个故事说，有一个国王要奖励国际象棋的发明者，发明者提出要麦子，象棋盘共有64个格子，他要求第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上加倍放，即2粒，第三个格子再加倍，即4粒，如此等等。则第64个格子上放的麦子，覆盖满地球也放不下啊！

关于五进制也很有用，例如选举时用“正”字来计票数，就是五进位。

大学的分析课中，一般会讲到各种进位法，但小学生也可以接受上述讲法，并易于学会它们的四则运算。

参见“汉声”第23， 38册。

7. 从一个游戏说起:有一纸袋糖，假定在袋外加一粒糖，然后将糖的总数加一倍，再加4粒糖，然后将总数平分，最后再减去3粒糖，问还剩下多少糖?

解答：我们列个式子如下：假定纸袋中共有x粒糖，则以后每一步的糖数分别为x+1，2x+2， 2x+6，x+3，x，所以最后剩下的仍为原来的那一纸袋糖。

上面解答中的x叫未知数，我们可以根据问题的题意列出式子一步一步来计算，又如，我们问什么数加7等于15？我们假设要求的这个数为x，则x+7=15，将等号两边都减去7，即得x=8。

这就是中学代数课开始时要学的东西，这样讲解，小学生是可以接受的。

参见“汉声”第21册。

8. 我们常常会看到一张交通图，上面有道路及一些筑物，如玩具店，图书馆，饭店，博物馆等。

我们可以将某些建筑物画出来，并标以“点”，(一些建筑物可以被略去)，再将连接这些点的道路用一条“线段”表示出来，这样我们就得到了一张“网络图”。一个点称奇点或偶点依照通过这个点的线段的条数为奇数或偶数而定。如果这张网络图是封闭的，例如一个城市的交通图。人们常常会问这样的问题：一个部递员将信送至每一个点，怎样走法最节省(指走的路最短)？

这个问题发端于著名的“海德堡的桥”问题(见第33册)。由此产生了数学的领域“图论”，在大学的图论课会讲这些内容，这里讲的知识，小学生是可以接受的。

参见“汉声”第33册。

9. 什么是拓扑学?

一根拉直的绳子，上面标有三个点，我们将绳子变弯曲之后，形状变了，但这三个点的次序未变，一个圆将平面分成圈内与圆外，若将圆拉成一个三角形，则圆之内与外仍分别在三角形之内与外，这是不变的。我们称这种不变的性质为“不变性”。把线及各种图形经过压缩卷曲，或其他方式扭曲之后，有些性质改变了，有些性质不会改变。形象地说，研究这些不变性的数学领域称为拓扑学。

如果用一把刀，沿着球面上一条封闭的曲线切下，总能将球切成两部分，即我们不可能沿着球面上的某一条封闭曲线切下，而不把球切成分离的两部分。具有这种性质的物体称它们属于一个“族”。我们称它为“零族”，或称它有“空格”0。面包圈就不一样了。过面包圈的里圈至外圈切一刀，面包圈仍保持完整，但如果再多切一刀，它就分成两部分了。所以面包圈属于“一族”的物体，或称它有空格1。像8字形的面包圈是空格为2的物体，我们还可以定义空格≥3的物体。

以上讲的是大学数学课程拓扑学的一点基本概念，这里的直观讲法与实验，小学生是可以接受的。

参见“汉声"第32册。

10 . 什么是概率论?

通俗地说，就是利用一些数据来预测未来的结果。例如，明天的天气如何？比方说，我们有一百天的气象记录和今天的天气情况差不多，而接下来的第二天曾有过七十天下雨的记录，气象预报员就可以说，明天下雨的概率是70%，一般说来，记录愈多，预测就愈准。

又如掷10个钱币，正面向上的可能共有11种情况，即0个正面，1个正面，…，与10个正面。我们可以先做一张表，分“正面数”与“次数”两栏。例如，投掷第5次时得到3个正面，我们“正面数”栏上记上“3”，及在“次数”栏中划上一笔，为便于计数，我们通常用“正”字记数，在此为正字划上最后一笔。 如果我们共投掷了一百次，例如，我们看到10个都是正面的次数为0，…，6个为正面的次数为42， 5个为正面的次数为48，…，0个为正面的次数为1。这时我们可以画另外一张图，横坐标为“正面数”，即0，1，2，…， 10。纵坐标为达到的次数，0上画1格，…，5上画48格，…，10上画0格。图象是由少至多，再由多至少，如果再投掷100次，所得的图象亦会是类似的，这就是投掷10个钱币，正面朝上的概率分布图。

如何估计工业产品合格否?如果产品数量很大，我们无法一一检查每个产品。我们常常随意拿出一小部分来，算算合格的百分比，即概率。由此来预测产品的合格率。这就是“抽样检查”。

概率论在中学数学课中有些组合讲法，严格的数学讲法要在大学的概率论课讲。但结合生活实际，小学生也可以接受概率的直观含义。

参见“汉声”第36册。

1. 古罗马人的数字与计数法在有些地方仍在延用，这是一种常识，我们应该知道，对应于1，2，3分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，但我们不能无限制地延续这个记号，于是添加了5的记号Ⅴ。

将Ⅰ放在Ⅴ的左边，即Ⅳ，它表示4。将Ⅰ放在Ⅴ的右边，即Ⅵ，它表示6。于是我们有Ⅶ，Ⅷ，它们分别表示7，8。以后还要再加一个记号Ⅹ ，它表示10。这样，我们就有了9的表示 Ⅸ， 11的表示Ⅺ，以及ⅩⅤ表示15，ⅩⅥ表示16，ⅩⅩⅩⅠ表示31等等。不难想象，往下数数时，我们还需要引进记号L(=50)， C(=100)， D(=500)，M(1000)等等。除记号繁杂外，记数时还需要用加减法，所以它不及阿拉伯敷字与计数法好。

2. 我们现在用“天平"来称东西，大概来源于古代人用双手提东西来比较两只手中的东西的重量。

我们用一根横杆，它的两端各挂一个盘子，横杆的中点立有一根支杆，使横杆处于平衡状态。我们在右边盘子里放上欲称的东西，左边盘子里放上法码，如果两边平衡了，即得知右边盘子里的东西的重量了。今天使用的称是里面装有弹簧，上面有一个盘子的形状。我们将欲称的东西放进盘子里，弹簀就会受到挤压，以其受压的程度来判定东西的重量。

3. 如何计长度?如何计量重量?如何测温度?这些都是日常生活中常见的问题。

通常用来计量长度的单位有 英制 ：1英尺为12英寸，1码为3英尺，1英里等于5280英尺。另一计量长度的单位为 公制 ，公制包括厘米，100厘米为1米，1000米为1公里，48英寸等于120厘米。

英制用来计量重量的单位是：盎司，磅，1磅等于16盎司，公制是克，公斤。1公斤等于1000克1公斤大约等于2.2磅。

温度的计量有 华氏 ，水沸腾的温度为华氏212度，水结冰的温度为华氏32度。另一温度的计量为 摄氏： 用摄氏温度计，水在摄氏0度时结冰，在摄氏100度时沸腾。这两种温度计，除刻度不同外，都是一样的。科学家还用标尺说明地震的强弱，风的强弱等。

4. 如何求出墙上一段弯曲的曲线的长度?如何求一个容器的表面积与体积?

这些都可以估算。例如，墙上画有一条曲线，我们可以用一根绳子沿着曲线对齐，将绳子的两端剪掉，量一下绳子的长度即可知墙上曲线的长度了。