我独立发现的一个恒等式

一日无聊，想起了一个不定方程—— ，就我印象中的结论来说，这个方程只有一组正整数解： 且 。 我突发奇想，这个方程可以怎么推广呢？

我们观察 ，发现左边是一个立方，右边是一个平方，但其实左边的那个 1 也可以看作是平方或者立方的形式。 于是我想，等式右边的 加上一个什么数 （最好不要太大） 的三次方才能得到一个完全平方数呢？ 这个答案很简单，加上 27 就可以了，于是得到 。 和第一个式子对比，连猜带验证，得到第三个式子： 。 继续验证几个数，把这些式子整理一下：

这些式子的规律是简单的：