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债券能够复制CDS吗？－谈谈CDS-Bond basis risk

风控斋 · 知乎专栏 · · 2016-12-30 07:42

正文

在一个理想的金融市场里，许多金融衍生产品可以在理论上被其它金融产品（标的或其它衍生品）完美复制。这里指的复制是静态复制，即在初始时刻用固定数量的头寸构建的合成投资组合可以在未来一切时点上复制目标衍生品的现金流，而不需要动态调整头寸。动态复制，比如股票期权可以根据delta通过实时调整标的股票和现金的比例来复制，原理类似，数学推导更加复杂一些，这里暂时不考虑。由于这种完美复制策略的存在，这些可完美复制的金融衍生品理论上讲是多余(redundant)的。

最典型的一个例子是CDS. 比如一个5年期200bp的CDS，就可以由同样期限，同一标的企业发行的多头公司浮动利率债券（treasury + 200bp) 和空头的平价无风险债券（如政府债券-riskless par floater）来完美复制，当然债券的面值应当与CDS相同。因此CDS的价格就可以表达为两个债券价格的差值：

$P_{CDS}(t) =c \int_{t}^{T} e^{-\int_{t}^{s} (r_{h} + \lambda_{h}) dh} ds - (1-R) \int_{t}^{T} \lambda_{s} e^{-\int_{t}^{s}( r_{h} + \lambda_{h}) dh} ds$
$P_{RiskyBond}(t) = \int_{t}^{T} (r_{s} + c) e^{-\int_{t}^{s} (r_{h} + \lambda_{h}) dh} ds + e^{-\int_{t}^{T} (r_{s} + \lambda_{s}) ds} + R \int_{t}^{T} \lambda_{s} e^{-\int_{t}^{s} r_{h} dh} ds$
$P_{RisklessBond} (t)= \int_{t}^{T} r_{s} e^{-\int_{t}^{s} r_{h} dh} ds + \int_{t}^{T} e^{-\int_{t}^{s} r_{h} dh} ds$

这里假设无风险利率 $r_{t}$ 和hazard rate $h_{t}$ 为时间的确定函数。随机过程的情况推导类似。

要说明的是对于有风险债券(risky bond)的定价公式中，后面两项分别代表不发生违约和发生违约时的本金偿付。前者100%本金在债券到期日(T)偿付，后者则在违约当期时支付回收率(R).

注意到

$\int_{t}^{T} r_{s} e^{-\int_{t}^{s} r_{h} dh} ds =1 - \int_{t}^{T} e^{-\int_{t}^{s} r_{h} dh} ds$

因此可得

$P_{RisklessBond} = 1$

因此

$P_{RiskyBond} - P_{RisklessBond} = - e^{-\int_{t}^{T} (r_{s} + \lambda_{s})ds} -\int_{t}^{T} \lambda_{s} e^{-\int_{t}^{s} (r_{h} + \lambda_{h} ) dh } ds + c\int_{t}^{T} e^{-\int_{t}^{s} (r_{h} + \lambda_{h}) dh}ds+ e^{-\int_{t}^{T} (r_{s} + \lambda_{s}) ds} + R\int_{t}^{T} \lambda_{s} e^{-\int_{t}^{s} (r_{s}+\lambda_{s})ds }$

化解后得到

$P_{CDS}(t) = P_{RiskyBond} (t)- P_{RisklessBond}(t)$

在实际的市场操作中，这样的策略是无法做到完美复制的。原因在于债券与 CDS市场的交易规则，流动性以及参与者的范围不同。因此，债券的收益率价差(yield spread)与CDS spread 存在一个差值，市场上称为 Bond-CDS basis, 或bond basis:

Bond CDS Basis = CDS spread - Bond Implied Credit Spread

影响bond basis 大小的主要有以下因素：

流动性。通常CDS的流动性更强，因此使得 basis 变低（负）；

对手风险。使得CDS spread 偏高，导致basis 变高（正）；

违约定义。 CDS对标的物认可的违约事件可有破产，延付，重组，等等, 参考 ISDA的master agreement确定。这可能与导致债券违约与清算的事件不同。

delivery option. CDS如果采取实物交割，通常有所谓的cheapest-to-deliver option. 即违约交割时， CDS 的买方可以在一定的限制下决定将何种类型的违约债券交割给卖方来换取赔付金。这种option会使 basis变高（正），　相当于期权的价格被加到 spread上。

在存在basis的情况下， CDS的定价公式不变，而risky bond的公式变为
$P_{RiskyBond}(t) = \int_{t}^{T} (r_{s} + c) e^{-\int_{t}^{s} (r_{h} + \lambda_{h}+ b_{h}) dh} ds + e^{-\int_{t}^{T} (r_{s} + \lambda_{s} + b_{s}) ds} + R \int_{t}^{T} \lambda_{s} e^{-\int_{t}^{s} r_{h} dh} ds$

债券能够复制CDS吗？－谈谈CDS-Bond basis risk

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